Grupy (zadania) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Zadanie 1. Zbadać, czy zbiór $\dpi{120} \large X$ z działaniem $\dpi{120} \large \ast$ jest grupą. Czy jest to grupa abelowa?

1) $\dpi{120} X=Z,\; a\ast b=a+b+1$

Rozwiązanie

Zbadamy, czy spełnione są aksjomaty grupy (patrz Teoria tutaj) oraz czy zdefiniowane działanie jest wewnętrzne.

wewnętrzne

Dla każdego $\dpi{120} a,b\in Z$ mamy $\dpi{120} a\ast b=a+b+1\in Z$ .

łączność: $\dpi{120} \left (a\ast b \right )\ast c=a\ast \left ( b\ast c \right )$

$\dpi{120} L=\left ( a\ast b \right )\ast c=\left ( a+b+1 \right )\ast c=a+b+1+c+1=a+b+c+2$

$\dpi{120} P=a\ast \left ( b\ast c \right )=a\ast \left ( b+c+1 \right )=a+b+c+1+1=a+b+c+2$

Stąd $\dpi{120} L=P$ , więc łączność spełniona.

istnienie elementu neutralnego $\dpi{120} e\in Z$ : $\dpi{120} a\ast e=e\ast a=a$

$\dpi{120} a\ast e=a+e+1$

Wyrażenie powyższe ma się równać $\dpi{120} a$ . Zatem:

$\dpi{120} a+e+1=a\Rightarrow e=-1\in Z$

istnienie elementu odwrotnego $\dpi{120} a^{-1}$ : $\dpi{120} a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$

$\dpi{120} a\ast a^{-1}=a+a^{-1}+1$

Wyrażenie powyższe ma się równać $\dpi{120} e=-1$ . Zatem:

$\dpi{120} a+a^{-1}+1=-1$

$\dpi{120} a^{-1}=-a-2\in Z$

Na przykład dla elementu $\dpi{120} a=4$ elementem odwrotnym jest $\dpi{120} a^{-1}=-4-2=-6$ .

W tym momencie pokazaliśmy, że jest to grupa. Aby stwierdzić, czy jest to grupa abelowa sprawdzamy przemienność.

przemienność: $\dpi{120} a\ast b=b\ast a$

$\dpi{120} a\ast b=a+b+1=b+a+1=b\ast a$

Zatem jest to grupa abelowa.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} X=\left ( 1,+\infty \right ),\; a\ast b=ab-a-b+2$

Rozwiązanie

Zbadamy, czy spełnione są aksjomaty grupy (patrz Teoria tutaj) oraz czy zdefiniowane działanie jest wewnętrzne.

wewnętrzne

Dla każdego $\dpi{120} a,b\in X$ mamy $\dpi{120} a\ast b=ab-a-b+2\in X$ .

łączność: $\dpi{120} \left (a\ast b \right )\ast c=a\ast \left ( b\ast c \right )$

$\dpi{120} L=\left ( a\ast b \right )\ast c=\left ( ab-a-b+2 \right )\ast c=$

$\dpi{120} =\left ( ab-a-b+2 \right )\cdot c-\left ( ab-a-b+2 \right )-c+2=$

$\dpi{120} =abc-ac-bc+2c-ab+a+b-2-c+2=$

$\dpi{120} =abc-ac-bc-ab+a+b+c$

$\dpi{120} P=a\ast \left ( b\ast c \right )=a\ast \left ( bc-b-c+2 \right )=$

$\dpi{120} =a\cdot \left ( bc-b-c+2 \right )-a-\left ( bc-b-c+2 \right )+2=$

$\dpi{120} =abc-ab-ac+2a-a-bc+b+c-2+2=$

$\dpi{120} =abc-ac-bc-ab+a+b+c$

Stąd $\dpi{120} L=P$ , więc łączność spełniona.

istnienie elementu neutralnego $\dpi{120} e\in Z$ : $\dpi{120} a\ast e=e\ast a=a$

$\dpi{120} a\ast e=ae-a-e+2$

Wyrażenie powyższe ma się równać $\dpi{120} a$ . Zatem:

$\dpi{120} ae-a-e+2=a$

$\dpi{120} ae-e=a+a-2$

$\dpi{120} e\left ( a-1 \right )=2a-2/:\left ( a-1 \right ),$ możemy dzielić przez $\dpi{120} a-1$ , gdyż $\dpi{120} a\in \left ( 1,+\infty \right )$

$\dpi{120} e=\frac{2\left ( a-1 \right )}{a-1}=2$

istnienie elementu odwrotnego $\dpi{120} a^{-1}$ : $\dpi{120} a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$

$\dpi{120} a\ast a^{-1}=aa^{-1}-a-a^{-1}+2$

Wyrażenie powyższe ma się równać $\dpi{120} e=2$ . Zatem:

$\dpi{120} aa^{-1}-a-a^{-1}+2=2$

$\dpi{120} aa^{-1}-a^{-1}=a$

$\dpi{120} a^{-1}\left ( a-1 \right )=a$

$\dpi{120} a^{-1}=\frac{a}{a-1}$

Na przykład dla elementu $\dpi{120} a=3$ elementem odwrotnym jest $\dpi{120} a^{-1}=\frac{3}{3-1}=\frac{3}{2}$ .

W tym momencie pokazaliśmy, że jest to grupa. Aby stwierdzić, czy jest to grupa abelowa sprawdzamy przemienność.

przemienność: $\dpi{120} a\ast b=b\ast a$

$\dpi{120} a\ast b=ab-a-b+2=ba-b-a+2=b\ast a$

Zatem jest to grupa abelowa.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń