Kategoria: Geometria

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 6 zadań. Niestety nie jesteśmy w stanie podać wszystkich rodzajów zadań dotyczących związków prostych i płaszczyzn. Jest ich bardzo dużo. Pamiętajcie, zawsze zastanówcie się jakie związki są pomiędzy wektorami kierunkowymi i wektorami normalnymi. Do dyspozycji macie iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany. tutaj Chcąc znaleźć wektor prostopadły do dwóch danych zawsze liczymy ich iloczyn wektorowy. Read more about Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny – zadania[…]

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Jeżeli prosta  jest dana w postaci krawędziowej zaś płaszczyzna  dana jest równaniem ogólnym to ich wzajemne położenie najszybciej jest zbadać rozwiązując układ równań: Jeżeli powyższy układ jest: oznaczony (ma jedno rozwiązanie), to prosta ma z płaszczyzną jeden punkt wspólny, czyli przecina płaszczyznę. nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), to prosta ma z płaszczyzną nieskończenie wiele punktów Read more about Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny – teoria[…]

Wzajemne położenie prostych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 4 zadania. W zadaniu 1 liczymy odległości między prostymi. podpunkty 1) i 2) dotyczą prostych  skośnych, zaś 3) i 4) prostych równoległych. Są to dwa różne schematy. Zadanie 2 i zadanie 4 to sprawdzenie wzajemnego położenia prostych. W zadaniu 3 liczymy kąt pomiędzy prostymi przecinającymi się. Wszędzie wykorzystujemy iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany. Patrz Read more about Wzajemne położenie prostych – zadania[…]

Wzajemne położenie prostych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będą dane dwie proste i o wektorach kierunkowych odpowiednio  i  oraz przechodzące przez punkty , . PROSTE RÓWNOLEGŁE Proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe, tzn. istnieje takie, że Odległość prostych równoległych liczymy jako odległość punktów  i , które otrzymujemy w sposób następujący. Znajdujemy płaszczyznę  prostopadłą do prostych . Punkt  jest punktem Read more about Wzajemne położenie prostych – teoria[…]

Wzajemne położenie płaszczyzn – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. Wykorzystujemy w nich wzory na odległość płaszczyzn równoległych, kąt miedzy płaszczyznami. Patrz zakładka Wzory tutaj lub Teoria tutaj. W zadaniu 3 mamy pośrednio pokazane jak przejść od postaci parametrycznej równania płaszczyzny do postaci ogólnej równania płaszczyzny. Cały czas potrzebna jest wiedza dotycząca iloczynu wektorowego i skalarnego. tutaj   Zadanie 1. Obliczyć odległość płaszczyzn Read more about Wzajemne położenie płaszczyzn – zadania[…]

Wzajemne położenie płaszczyzn – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będą dane dwie płaszczyzny: WARUNEK RÓWNOLEGŁOŚCI PŁASZCZYZN ODLEGŁOŚĆ PŁASZCZYZN RÓWNOLEGŁYCH gdzie  – dowolny punkt. Jeżeli płaszczyzny i mają postać: odległość tak rozumianych płaszczyzn wynosi: PŁASZCZYZNY POKRYWAJĄCE SIĘ  PŁASZCZYZNY PRZECINAJĄCE SIĘ Miara kąta dwuściennego: PŁASZCZYZNY PROSTOPADŁE  

Wzajemne położenie płaszczyzn – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będą dane dwie płaszczyzny: Wzajemne położenie tych płaszczyzn określają ich wektory normalne  oraz . Są cztery przypadki wzajemnego położenia płaszczyzn. 1. PŁASZCZYZNY RÓWNOLEGŁE Ich wektory normalne  i  są wówczas równoległe, a więc ich współrzędne są proporcjonalne. Dostajemy zatem warunek: Odległością płaszczyzn równoległych jest odległość dowolnego punktu  należącego do jednej z płaszczyzn od drugiej płaszczyzny. Read more about Wzajemne położenie płaszczyzn – teoria[…]

Prosta w przestrzeni – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 4 zadania. Podobnie jak w zadaniach dotyczących płaszczyzn, podstawą jest poprawne zastosowanie iloczynu wektorowego. Rada: zawsze zacznijmy od zastanowienia się, które wektory są do siebie prostopadłe. Warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj.   Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty  i : Zadanie 2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt  i  prostopadłej do Read more about Prosta w przestrzeni – zadania[…]

Prosta w przestrzeni – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

RÓWNANIE KRAWĘDZIOWE PROSTEJ Rozważmy dwie nierównoległe płaszczyzny  i  odpowiednio o równaniach: Płaszczyzny te przecinają się wzdłuż pewnej prostej . Dlatego też układ równań określa prostą w przestrzeni i nazywany jest postacią krawędziową prostej. Z postaci tej nie widać bezpośrednio kierunku prostej . RÓWNANIE PARAMETRYCZNE PROSTEJ Niech będzie dany punkt  oraz niezerowy wektor  wyznaczający kierunek prostej Read more about Prosta w przestrzeni – teoria[…]

Płaszczyzna w przestrzeni – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 5 zadań. W każdym z nich mamy napisać równanie płaszczyzny mając różne dane. Podstawą jest umiejętność liczenia iloczynu wektorowego. Patrz tutaj. Pamiętajmy,  że wektor powstały w wyniku iloczynu wektorowego jest prostopadły do składowych tego iloczynu. Prosimy zajrzeć do zakładki Teoria tutaj, gdzie podane są podstawowe postaci prostych.   Zadanie 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej Read more about Płaszczyzna w przestrzeni – zadania[…]