Położenie prostej i płaszczyzny (zadania)

Mamy 6 zadań. Niestety nie jesteśmy w stanie podać wszystkich rodzajów zadań dotyczących związków prostych i płaszczyzn. Jest ich bardzo dużo. Pamiętajcie, zawsze zastanówcie się jakie związki są pomiędzy wektorami kierunkowymi i wektorami normalnymi. Do dyspozycji macie iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany. tutaj Chcąc znaleźć wektor prostopadły do dwóch danych zawsze liczymy ich iloczyn wektorowy. To jest najczęściej wykorzystywana własność, oczywiście w połączeniu z innymi wzorami, które pojawiły się zakładkach Teoria. tutaj

Zadanie 1. Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą $\dpi{120} \large l_{1}$ i równoległej do prostej $\dpi{120} \large l_{2}$ :

1) $\dpi{120} l_{1}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{3},\; l_{2}:\left\{\begin{matrix} 3x+2z=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ -2x-3y+z-1=0 \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie

Do napisania równania płaszczyzny potrzebny jest jej wektor normalny $\dpi{120} \vec{n}$ oraz dowolny punkt należący do tej płaszczyzny. Punktem tym może być punkt $\dpi{120} P_{1}\in l_{1}$ , który odczytujemy z postaci prostej.

$\dpi{120} P_{1}=\left ( 1,1,-3 \right )$

Natomiast wektor normalny płaszczyzny jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych $\dpi{120} l_{1}$ i $\dpi{120} l_{2}$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}$

Wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{v}$ prostej $\dpi{120} l_{1}$ odczytujemy z postaci prostej:

$\dpi{120} \vec{v}=\left [ 1,2,3 \right ]$

Wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{u}$ prostej $\dpi{120} l_{2}$ liczymy jako:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 3,0,2 \right ]\times \left [ -2,-3,1 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 3 &0 & 2\\ -2 & -3 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 3 & 0\\ -2 & -3 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =0e_{1}-4e_{2}-9e_{3}-0e_{3}+6e_{1}-3e_{2}=6e_{1}-7e_{2}-9e_{3}=\left [ 6,-7,-9 \right ]$

Zatem wektor normalny płaszczyzny jest równy:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}=\left [ 1,2,3 \right ]\times \left [ 6,-7,-9 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 1& 2& 3\\ 6 & -7 & -9 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 1 & 2\\ 6 &-7 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-18e_{1}+18e_{2}-7e_{3}-12e_{3}+21e_{1}+9e_{2}=3e_{1}+27e_{2}-19e_{3}=\left [ 3,27,-19 \right ]$

Równanie płaszczyzny przyjmie postać:

$\dpi{120} 3x+27y-19z+D=0$

Współczynnik $\dpi{120} D$ wyliczamy wstawiając do tego równania punkt $\dpi{120} P_{1}=\left ( 1,1,-3 \right )$ :

$\dpi{120} 3\cdot 1+27\cdot 1-19\cdot \left ( -3 \right )+D=0\Rightarrow D=-87$

Otrzymaliśmy:

$\dpi{120} 3x+27y-19z-87=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} l_{1}:\frac{x+3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{3},\; l_{2}:\frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}.$

Rozwiązanie

$\dpi{120} P_{1}=\left ( -3,-1,3 \right )$

Natomiast wektor normalny płaszczyzny jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych $\dpi{120} l_{1}$ i $\dpi{120} l_{2}$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}$

Wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{v}$ prostej $\dpi{120} l_{1}$ odczytujemy z postaci prostej:

$\dpi{120} \vec{v}=\left [ 1,-2,3 \right ]$

Wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{u}$ prostej $\dpi{120} l_{2}$ również odczytujemy z równania prostej:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [-3,1,-1 \right ]$

Zatem wektor normalny płaszczyzny jest równy:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}=\left [ 1,-2,3 \right ]\times \left [ -3,1,-1 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 1& -2& 3\\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 1 & -2\\ -3 &1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =2e_{1}-9e_{2}+e_{3}-6e_{3}-3e_{1}+e_{2}=-e_{1}-8e_{2}-5e_{3}=\left [ -1,-8,-5 \right ]$

Równanie płaszczyzny przyjmie postać:

$\dpi{120} -x-8y-5z+D=0$

Współczynnik $\dpi{120} D$ wyliczamy wstawiając do tego równania punkt $\dpi{120} P_{1}=\left ( -3,-1,3\right )$ :

$\dpi{120} -1\cdot \left ( -3 \right )-8\cdot \left ( -1 \right )-5\cdot 3+D=0\Rightarrow D=4$

Otrzymaliśmy:

$\dpi{120} -x-8y-5z+4=0/\cdot \left ( -1 \right )$

$\dpi{120} x+8y+5z-4=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Znaleźć równanie płaszczyzny wyznaczonej przez proste $\dpi{120} \large l_{1}$ i $\dpi{120} \large l_{2}$ :

1) $\dpi{120} l_{1}:\left\{\begin{matrix} x+z-1=0\\ x-2y+3=0 \end{matrix}\right.,\; l_{2}:\left\{\begin{matrix} 3x+y-z+13=0\\ y+2z-8=0\; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie

Do napisania równania płaszczyzny potrzebny jest wektor normalny i punkt należący do płaszczyzny. Wektor normalny $\dpi{120} \vec{n}$ jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych $\dpi{120} l_{1}$ i $\dpi{120} l_{2}$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}$

Liczymy wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{v}$ prostej $\dpi{120} l_{1}$ :

$\dpi{120} \vec{v}=\left [ 1,0,1 \right ]\times \left [ 1,-2,0 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 1 &0 & 1\\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 1 & 0\\ 1 & -2 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =0e_{1}+e_{2}-2e_{3}-0e_{3}+2e_{1}-0e_{2}=2e_{1}+e_{2}-2e_{3}=\left [ 2,1,-2 \right ]$

Liczymy wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{u}$ prostej $\dpi{120} l_{2}$ :

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 3,1,-1 \right ]\times \left [ 0,1,2\right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 3 &1& -1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 3 & 1\\ 0 & 1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =2e_{1}+0e_{2}+3e_{3}-0e_{3}+e_{1}-6e_{2}=3e_{1}-6e_{2}+3e_{3}=\left [ 3,-6,3 \right ]$

Zatem wektor normalny wynosi:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}=\left [ 2,1,-2 \right ]\times \left [ 3,-6,3 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 2 & 1 & -2\\ 3 & -6 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 2 &1 \\ 3 &-6 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =3e_{1}-6e_{2}-12e_{3}-3e_{3}-12e_{1}-6e_{2}=-9e_{1}-12e_{2}-15e_{3}=\left [ -9,-12,-15 \right ]$

Równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} -9x-12y-15z+D=0$

Punkt $\dpi{120} P$ wyliczamy np. z postaci prostej $\dpi{120} l_{1}$ :

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x+z-1=0\\ x-2y+3=0 \end{matrix}\right.$

Przyjmijmy np. $\dpi{120} x=0$ , wówczas

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix}z-1=0\\ -2y+3=0 \end{matrix}\right.$

Stąd:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix}z=1\\ y=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.$

Otrzymaliśmy, że $\dpi{120} P=\left ( 0,\frac{3}{2},1 \right )$ . Wstawiamy go do równania płaszczyzny:

$\dpi{120} -9\cdot 0-12\cdot \frac{3}{2}-15\cdot 1+D=0\Rightarrow D=33$

Ostatecznie:

$\dpi{120} -9x-12y-15z+33=0/\cdot \left ( -1 \right )$

$\dpi{120} 9x+12y+15z-33=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} l_{1}:\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-2},\; l_{2}:\left\{\begin{matrix} x-2z=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ x-y+z+1=0 \end{matrix}\right..$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}$

Wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{v}$ odczytujemy z postaci prostej $\dpi{120} l_{1}$ :

$\dpi{120} \vec{v}=\left [ 3,1,-2 \right ]$

Liczymy wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{u}$ prostej $\dpi{120} l_{2}$ :

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 1,0,-2 \right ]\times \left [ 1,-1,1\right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 1 &0& -2\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 1 & 0\\ 1 & -1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =0e_{1}-2e_{2}-e_{3}-0e_{3}-2e_{1}-e_{2}=-2e_{1}-4e_{2}-e_{3}=\left [ -2,-4,-1 \right ]$

Zatem wektor normalny wynosi:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}=\left [ 3,1,-2 \right ]\times \left [ -2,-4,-1 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 3 & 1 & -2\\ -2 & -4 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 3 &1 \\ -2 &-4 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-e_{1}+4e_{2}-12e_{3}+2e_{3}-8e_{1}+3e_{2}=-9e_{1}+7e_{2}-10e_{3}=\left [ -9,7,-10 \right ]$

Równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} -9x+7y-10z+D=0$

Punkt $\dpi{120} P$ odczytujemy z postaci prostej $\dpi{120} l_{1}$ :

$\dpi{120} P=\left ( 3,2,-2 \right )$

Wstawiamy go do równania płaszczyzny:

$\dpi{120} -9\cdot 3+7\cdot 2-10\cdot \left ( -2 \right )+D=0\Rightarrow D=-7$

Ostatecznie:

$\dpi{120} -9x+7y-10z-7=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} l_{1}:\left\{\begin{matrix} x-2y+z-2=0\\ 2x-y+z+1=0 \end{matrix}\right.,\; l_{2}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-2}{-3}$ inny przypadek i inny schemat.

Rozwiązanie

Do napisania równania płaszczyzny potrzebny jest wektor normalny i punkt należący do płaszczyzny.

Policzmy najpierw wektory kierunkowe tych prostych. Okaże się, że są to proste równoległe i schemat, który stosowaliśmy w poprzednich podpunktach nie będzie miał zastosowania, gdyż wektory $\dpi{120} \vec{v}$ i $\dpi{120} \vec{u}$ będą równoległe. Liczenie wówczas wektora normalnego z zależności $\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \vec{u}$ nie ma sensu.

Wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{u}$ odczytujemy z postaci prostej $\dpi{120} l_{2}$ :

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 1,-1,-3 \right ]$

Liczymy wektor kierunkowy $\dpi{120} \vec{v}$ prostej $\dpi{120} l_{1}$ :

$\dpi{120} \vec{v}=\left [ 1,-2,1 \right ]\times \left [ 2,-1,1\right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 1 &-2& 1\\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 1 & -2\\ 2 & -1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-2e_{1}+2e_{2}-e_{3}+4e_{3}+e_{1}-e_{2}=-e_{1}+e_{2}+3e_{3}=\left [ -1,1,3 \right ]$

Widzimy, że wektory $\dpi{120} \vec{v}$ i $\dpi{120} \vec{u}$ są proporcjonalne: $\dpi{120} \vec{v}=-1\cdot \vec{u}$ . Stąd wniosek, że są równoległe.

Potrzebny jest nam jeszcze jeden wektor leżący w tej płaszczyźnie, który nie jest równoległy do tych wektorów. Za taki wektor możemy przyjąć wektor $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ , gdzie $\dpi{120} P_{1}\in l_{1},P_{2}\in l_{2}$ . Punkt $\dpi{120} P_{2}$ odczytujemy z postaci prostej:

$\dpi{120} P_{2}=\left ( 1,-2,2 \right )$

Punkt $\dpi{120} P_{1}$ liczymy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x-2y+z-2=0\\ 2x-y+z+1=0 \end{matrix}\right.$

Przyjmijmy np. $\dpi{120} x=0$ , wówczas:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -2y+z-2=0\\ -y+z+1=0 \end{matrix}\right.$ Rozwiązując go dowolną metodą otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=-3\\ z=-4 \end{matrix}\right.$

Mamy, że $\dpi{120} P_{1}=\left ( 0,-3,-4 \right )$ .

Możemy obliczyć współrzędne wektora $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 1-0,-2-\left ( -3 \right ),2-\left ( -4 \right ) \right ]=\left [ 1,1,6 \right ]$

Wektor normalny wynosi:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{v}\times \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ -1,1,3 \right ]\times \left [ 1,1,6 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -1 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -1 &1 \\ 1 &1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =6e_{1}+3e_{2}-e_{3}-e_{3}-3e_{1}+6e_{2}=3e_{1}+9e_{2}-2e_{3}=\left [ 3,9,-2 \right ]$

Równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 3x+9y-2z+D=0$

Wstawiamy punkt np. $\dpi{120} P_{1}=\left ( 0,-3,-4 \right )$ do równania płaszczyzny i wyliczamy $\dpi{120} D$ :

$\dpi{120} 3\cdot 0+9\cdot \left ( -3 \right )-2\cdot \left ( -4 \right )+D=0\Rightarrow D=19$

Ostatecznie:

$\dpi{120} 3x+9y-2z+19=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt $\dpi{120} \large A$ i prostopadłej do prostej $\dpi{120} \large l$ :

1) $\dpi{120} A=\left ( 2,1,1 \right ),\; l:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{1},$

Rozwiązanie

Jeżeli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to wektor kierunkowy prostej jest również prostopadły do tej płaszczyzny. Możemy zatem przyjąć jako wektor normalny płaszczyzny wektor kierunkowy prostej. Mamy:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}=\left [ 2,-2,1 \right ]$

Zatem równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 2x-2y+z+D=0$

Wiemy, że punkt $\dpi{120} A=\left (2,1,1 \right )$ należy do tej płaszczyzny, więc:

$\dpi{120} 2\cdot 2-2\cdot 1+1\cdot 1+D=0\Rightarrow D=-3$

Otrzymujemy równanie płaszczyzny:

$\dpi{120} 2x-2y+z-3=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} A=\left ( 0,2,3 \right ),\; l:\left\{\begin{matrix} x+y+z=0\; \; \; \; \; \; \; \; \\ 2x-y+3z+1=0 \end{matrix}\right..$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}$

Liczymy wektor kierunkowy prostej:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 1,1,1 \right ]\times \left [ 2,-1,3 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 1& 1\\ 2 & -1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =3e_{1}+2e_{2}-e_{3}-2e_{3}+e_{1}-3e_{2}=4e_{1}-e_{2}-3e_{3}=\left [ 4,-1,-3 \right ]$

Zatem równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 4x-y-3z+D=0$

Wiemy, że punkt $\dpi{120} A=\left (0,2,3 \right )$ należy do tej płaszczyzny, więc:

$\dpi{120} 4\cdot 0-1\cdot 2-3\cdot 3+D=0\Rightarrow D=11$

Otrzymujemy równanie płaszczyzny:

$\dpi{120} 4x-y-3z+11=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Przy jakich wartościach współczynników $\dpi{120} \large B$ i $\dpi{120} \large C$ płaszczyzna $\dpi{120} \large \pi : 2x-By+Cz-4=0$ jest prostopadła do prostej $\dpi{120} \large l:$ $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=1+2t\; \\ y=2-t\; \; \; \\ z=-3-3t \end{matrix}\right.,\; \; \; \;$ $\dpi{120} \large t\in \mathbb{R}.$

Rozwiązanie

Jeżeli płaszczyzna jest prostopadła do prostej, to wektor normalny płaszczyzny jest równoległy do danej prostej. Stąd wynika, że wektor normalny jest równoległy do wektora kierunkowego prostej.

U nas wektor normalny płaszczyzny wynosi:

$\dpi{120} \vec{n}=\left [ 2,-B,C \right ]$

zaś wektor kierunkowy prostej ma współrzędne:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 2,-1,-3 \right ]$

Aby te wektory były równoległe, ich współrzędne muszą być proporcjonalne:

$\dpi{120} \frac{2}{2}=\frac{-B}{-1}=\frac{C}{-3}$

Stąd:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} B=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \frac{C}{-3}=1\Rightarrow C=-3 \end{matrix}\right.$

Dla $\dpi{120} B=1$ i $\dpi{120} C=-3$ płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ i prosta $\dpi{120} l$ są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Znaleźć rzut prostokątny punktu $\dpi{120} \large A=\left ( 0,0,1 \right )$ na płaszczyznę $\dpi{120} \large \pi :x+y-2z+4=0$ .

Rozwiązanie

Należy najpierw znaleźć prostą prostopadłą do płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ przechodzącą przez punkt $\dpi{120} A$ . Punkt $\dpi{120} A'$ przecięcia prostej prostopadłej z płaszczyzną $\dpi{120} \pi$ będzie szukanym rzutem.

Szukamy prostej prostopadłej do płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ . Wektor normalny tej płaszczyzny możemy przyjąć jako wektor kierunkowy prostej. Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}=\vec{n}=\left [ 1,1,-2 \right ]$

Ponieważ prosta przechodzi przez punkt $\dpi{120} A$ , więc możemy zapisać równanie parametryczne prostej:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=0+1\cdot t\\ y=0+1\cdot t\\ z=1-2\cdot t \end{matrix}\right.\; \; \; t\in \mathbb{R}$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x= t\; \; \; \; \; \; \\ y= t\; \; \; \; \; \; \; \\ z=1-2 t \end{matrix}\right.\; \; \; t\in \mathbb{R}$

Szukamy teraz punktu przecięcia tej prostej z płaszczyzną $\dpi{120} \pi$ . W tym celu wstawiamy do równania płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ , $\dpi{120} x,y,z$ wynikające z postaci prostej. Mamy:

$\dpi{120} t+t-2\cdot \left ( 1-2t \right )+4=0$

$\dpi{120} 2t-2+4t+4=0$

$\dpi{120} 6t=-2/:6$

$\dpi{120} t=-\frac{1}{3}$

Zatem szukanym punktem $\dpi{120} A'$ jest:

$\dpi{120} A'=\left ( -\frac{1}{3} ,-\frac{1}{3},1-2\cdot \left ( -\frac{1}{3} \right )\right )=\left ( -\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{5}{3} \right )$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 6. Znaleźć rzut prostopadły prostej $\dpi{120} \large l$ na płaszczyznę $\dpi{120} \large \pi$ :

$\dpi{120} l:x=y=z,\; \pi :x+2y+3z-6=0,$

Rozwiązanie

Szukany rzut prostopadły $\dpi{120} l'$ prostej $\dpi{120} l$ na płaszczyzną $\dpi{120} \pi$ jest prostą będącą krawędzią przecięcia płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ z płaszczyzną $\dpi{120} \pi '$ zawierającą prostą $\dpi{120} l$ i prostopadłą do płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ .

Aby znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej $\dpi{120} \pi '$ , zauważmy, że wektory: $\dpi{120} \vec{u}$ kierunkowy prostej $\dpi{120} l$ i $\dpi{120} \vec{n}$ normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ , są równoległe do szukanej płaszczyzny $\dpi{120} \pi '$ . Zatem jej wektor normalny $\dpi{120} \overrightarrow{n'}$ musi być do nich prostopadły, zatem:

$\dpi{120} \overrightarrow{n'}=\vec{n}\times \vec{u}=\left [ 1,2,3 \right ]\times \left [ 1,1,1 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} &e_{2} & e_{3}\\ 1& 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 1 & 2\\ 1 & 1 \end{matrix}=$