Pochodne cząstkowe (teoria) - WYZNACZNIK

Dany jest zbiór $\dpi{120} X\subseteq \mathbb{R}^{n}$ , gdzie $\dpi{120} n\geqslant 2$ oraz zbiór liczbowy $\dpi{120} Y\subseteq \mathbb{R}$ . Jeśli każdemu elementowi $\dpi{120} \left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )\in X$ jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba $\dpi{120} y\in Y$ , to mówimy, że została określona funkcja rzeczywista $\dpi{120} n$ zmiennych, przekształcająca zbiór $\dpi{120} X$ w zbiór $\dpi{120} Y$ .

POCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU

Dla danej funkcji $\dpi{120} f:X\rightarrow Y$ , pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji $\dpi{120} f$ w punkcie $\dpi{120} x$ względem zmiennej $\dpi{120} x_{j},\: j=1,2,...,n$ nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego:

$pochodna cząstkowa$

Dla oznaczenia pochodnej cząstkowej, wyznaczonej ze względu na zmienną $\dpi{120} x_{j}$ , stosuje się zapis $\dpi{120} f'_{x_{j}}$ lub zapis za pomocą różniczek $\dpi{120} \frac{\delta f}{\delta x_{j}}$ bądź $\dpi{120} \frac{df}{dx_{j}}$ .

Dla funkcji dwóch zmiennych $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ wyznacza się dwie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

$\dpi{120} \frac{\delta f}{\delta x}=f'_{x}\left ( x,y \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x+\Delta x,y \right )-f\left ( x,y \right )}{\Delta x}$

$\dpi{120} \frac{\delta f}{\delta y}=f'_{y}\left ( x,y \right )=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f\left ( x,y +\Delta y\right )-f\left ( x,y \right )}{\Delta y}$

Wszystkie zasady liczenia pochodnych poznane dla funkcji jednej zmiennej stosuje się również do funkcji wielu zmiennych. Patrz tutaj.

Jeżeli funkcja dwóch zmiennych $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ ma obydwie pochodne cząstkowe $\dpi{120} f'_{x}$ i $\dpi{120} f'_{y}$ , to utworzony z nich wektor:

$\dpi{120} grad\; f=\left [ f'_{x}\left ( x,y \right ),f'_{y} \left ( x,y \right )\right ]$

nazywamy gradientem funkcji $\dpi{120} f$ .

POCHODNE CZĄSTKOWE DRUGIEGO RZĘDU

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu pochodnych cząstkowych $\dpi{120} \frac{d f}{d x}=f'_{x},\: \frac{d f}{d y}=f'_{y}$ względem zmiennych $\dpi{120} x,y$ nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ i oznaczamy:

$pochodne cząstkowe rzędu drugiego$

Pochodne $\dpi{120} \frac{d^{2}f}{dx^{2}}=f''_{xx},\: \frac{d^{2}f}{dy^{2}}=f''_{yy}$ nazywamy pochodnymi czystymi lub jednorodnymi, zaś pochodne $\dpi{120} \frac{d^{2}f}{dxdy}=f''_{xy},\: \frac{d^{2}f}{dydx}=f''_{yx}$ mieszanymi drugiego rzędu.

Twierdzenie Schwarza

Jeżeli funkcja $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ ma w pewnym obszarze ciągłe pochodne mieszane rzędu drugiego, to w każdym punkcie tego obszaru są one sobie równe

$twierdzenie schwarza$

Zapraszamy do zadań! tutaj