Pochodne cząstkowe – zadania

Mamy 2 zadania. W pierwszym liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego.  Jak zwykle początkowe przykłady łatwe, później coraz trudniejsze. W drugim ćwiczymy liczenie pochodnych zarówno rzędu pierwszego jak i drugiego. Są one uwikłane w pewne równania. Inna treść zadania, ale w rzeczywistości sprawdza umiejętność liczenia pochodnych cząstkowych. Podpunkt 3) w zadaniu 2 wymaga biegłości w rachunkach. Wymagana wiedza dotycząca pochodnych funkcji jednej zmiennej tutaj.

 

Zadanie 1. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji:

Zadanie 2. Udowodnić, że funkcja \dpi{120} \large f\left ( x,y \right ) spełnia równanie: 

3) \dpi{120} f\left ( x,y \right )=\sqrt{x^{2}+y^{2}};\; \; \frac{d^{2}f}{dx^{2}}\cdot \frac{d^{2}f}{dy^{2}}-\left ( \frac{d^{2}f}{dxdy} \right )^{2}=0.