Dany jest zbiór , gdzie oraz zbiór liczbowy . Jeśli każdemu elementowi jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba , to mówimy, że została określona funkcja rzeczywista zmiennych, przekształcająca zbiór w zbiór .
POCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU
Dla danej funkcji , pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji w punkcie względem zmiennej nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego:
Dla oznaczenia pochodnej cząstkowej, wyznaczonej ze względu na zmienną , stosuje się zapis lub zapis za pomocą różniczek bądź .
Dla funkcji dwóch zmiennych wyznacza się dwie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:
Wszystkie zasady liczenia pochodnych poznane dla funkcji jednej zmiennej stosuje się również do funkcji wielu zmiennych. Patrz tutaj.
Jeżeli funkcja dwóch zmiennych ma obydwie pochodne cząstkowe i , to utworzony z nich wektor:
nazywamy gradientem funkcji .
POCHODNE CZĄSTKOWE DRUGIEGO RZĘDU
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu pochodnych cząstkowych względem zmiennych nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji i oznaczamy:
Pochodne nazywamy pochodnymi czystymi lub jednorodnymi, zaś pochodne mieszanymi drugiego rzędu.
Twierdzenie Schwarza
Jeżeli funkcja ma w pewnym obszarze ciągłe pochodne mieszane rzędu drugiego, to w każdym punkcie tego obszaru są one sobie równe |
Zapraszamy do zadań! tutaj