Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – teoria

Dana jest funkcja \dpi{120} f\left ( x,y \right ) określona na zbiorze \dpi{120} D\subset \mathbb{R}^{2}.

Funkcja \dpi{120} f\left ( x,y \right ) ma w punkcie \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right ) maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy istnieje taki promień \dpi{120} r>0, że dla każdego \dpi{120} \left ( x,y \right )\in K\left ( \left ( x_{0},y_{0} \right ),r \right ) wartości funkcji \dpi{120} f spełniają warunek:

\dpi{120} f\left ( x,y \right )\leqslant f\left ( x_{0},y_{0} \right )\; \; \; \left (f\left ( x,y \right )\geqslant f\left ( x_{0},y_{0} \right ) \right )

Twierdzenie 1. Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja \dpi{120} f\left ( x,y \right ) jest różniczkowalna w punkcie \dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right ) i ma  w nim ekstremum lokalne, to

warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych

Punkt \dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right ), w którym spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum nazywamy punktem stacjonarnym funkcji \dpi{120} f.

Twierdzenie 2. Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )\in D jest punktem stacjonarnym funkcji \dpi{120} f\left ( x,y \right ) oraz

warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennychto funkcja \dpi{120} f\left ( x,y \right ) ma w punkcie \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right ) ekstremum lokalne, a ponadto jeśli:

1. \dpi{120} f''_{xx}\left ( x_{0},y_{0} \right )<0 i \dpi{120} f''_{yy}\left ( x_{0},y_{0} \right )<0, to \dpi{120} f ma maksimum lokalne,

2. \dpi{120} f''_{xx}\left ( x_{0},y_{0} \right )>0 i \dpi{120} f''_{yy}\left ( x_{0},y_{0} \right )>0, to \dpi{120} f ma minimum lokalne.

Jeżeli w punkcie stacjonarnym \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )\in D funkcji \dpi{120} f mamy:

\dpi{120} W\left ( x_{0},y_{0} \right )=\begin{vmatrix} f''_{xx} \left ( x_{0},y_{0} \right )& f''_{xy} \left ( x_{0},y_{0}\right )\\ f''_{yx} \left ( x_{0},y_{0} \right )& f''_{yy} \left ( x_{0},y_{0} \right ) \end{vmatrix}<0

to funkcja \dpi{120} f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right ).

Zapraszamy do zadań! tutaj