Ekstrema lokalne funkcji dwu zmiennych teoria

Dana jest funkcja $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ określona na zbiorze $\dpi{120} D\subset \mathbb{R}^{2}$ .

Funkcja $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ ma w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )$ maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy istnieje taki promień $\dpi{120} r>0$ , że dla każdego $\dpi{120} \left ( x,y \right )\in K\left ( \left ( x_{0},y_{0} \right ),r \right )$ wartości funkcji $\dpi{120} f$ spełniają warunek:

$\dpi{120} f\left ( x,y \right )\leqslant f\left ( x_{0},y_{0} \right )\; \; \; \left (f\left ( x,y \right )\geqslant f\left ( x_{0},y_{0} \right ) \right )$

Twierdzenie 1. Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ jest różniczkowalna w punkcie $\dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right )$ i ma w nim ekstremum lokalne, to

$warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych$

Punkt $\dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right )$ , w którym spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum nazywamy punktem stacjonarnym funkcji $\dpi{120} f$ .

Twierdzenie 2. Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )\in D$ jest punktem stacjonarnym funkcji $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ oraz

$warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych$ to funkcja $\dpi{120} f\left ( x,y \right )$ ma w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )$ ekstremum lokalne, a ponadto jeśli:

1. $\dpi{120} f''_{xx}\left ( x_{0},y_{0} \right )<0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( x_{0},y_{0} \right )<0$ , to $\dpi{120} f$ ma maksimum lokalne,

2. $\dpi{120} f''_{xx}\left ( x_{0},y_{0} \right )>0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( x_{0},y_{0} \right )>0$ , to $\dpi{120} f$ ma minimum lokalne.

Jeżeli w punkcie stacjonarnym $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )\in D$ funkcji $\dpi{120} f$ mamy:

$\dpi{120} W\left ( x_{0},y_{0} \right )=\begin{vmatrix} f''_{xx} \left ( x_{0},y_{0} \right )& f''_{xy} \left ( x_{0},y_{0}\right )\\ f''_{yx} \left ( x_{0},y_{0} \right )& f''_{yy} \left ( x_{0},y_{0} \right ) \end{vmatrix}<0$

to funkcja $\dpi{120} f$ nie ma ekstremum lokalnego w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )$ .

Zapraszamy do zadań! tutaj