Ekstrema lokalne funkcji dwu zmiennych (wzory)

Schemat badania ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych:

1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji.

2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu $\dpi{120} f'_{x}$ , $\dpi{120} f'_{y}$ .

3. Rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (warunek konieczny istnienia ekstremum):

$warunek konieczny ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych$

Rozwiązaniem układu są tzw. punkty stacjonarne $\dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right )$ .

4. Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu $\dpi{120} f''_{xx},\: f''_{yy},\: f''_{xy},\: f''_{yx}$ . Powinniśmy otrzymać $\dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}$ .

5. Sprawdzamy znak wyznacznika w punktach stacjonarnych:

$wrońskian$

a) jeśli $\dpi{120} W\left ( x_{0},y_{0} \right )<0$ , to w punkcie $\dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right )$ nie ma ekstremum.

b) jeśli $\dpi{120} W\left ( x_{0},y_{0} \right )>0$ , to w punkcie $\dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right )$ jest ekstremum. Przechodzimy do punktu 6.

6. Sprawdzamy czy w punkcie $\dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right )$ mamy minimum czy maksimum. Jeśli

a) $\dpi{120} f''_{xx}\left ( x_{0},y_{0} \right )<0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( x_{0},y_{0} \right )<0$ , to $\dpi{120} f$ ma maksimum lokalne,

b) $\dpi{120} f''_{xx}\left ( x_{0},y_{0} \right )>0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( x_{0},y_{0} \right )>0$ , to $\dpi{120} f$ ma minimum lokalne.

Zapraszamy do zadań! tutaj