Położenie prostej i płaszczyzny (teoria)

Jeżeli prosta $\dpi{120} l$ jest dana w postaci krawędziowej

$\dpi{120} l:\left\{\begin{matrix} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 \end{matrix}\right.,$

zaś płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ dana jest równaniem ogólnym

$\dpi{120} \pi :Ax+By+Cz+D=0,$

to ich wzajemne położenie najszybciej jest zbadać rozwiązując układ równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\\ Ax+By+Cz+D=0\; \; \; \; \; \end{matrix}\right..$

Jeżeli powyższy układ jest:

oznaczony (ma jedno rozwiązanie), to prosta ma z płaszczyzną jeden punkt wspólny, czyli przecina płaszczyznę.
nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), to prosta ma z płaszczyzną nieskończenie wiele punktów wspólnych, czyli prosta leży w płaszczyźnie $\dpi{120} \pi$ .
sprzeczny (brak rozwiązań), to prosta nie ma z płaszczyzną punktów wspólnych, czyli jest prostą równoległą do płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ i nie zawiera się w niej.

Niech prosta $\dpi{120} l$ będzie dana w postaci kierunkowej:

$\dpi{120} l:\frac{x-x_{1}}{u_{1}}=\frac{y-y_{1}}{u_{2}}=\frac{z-z_{1}}{u_{3}}$

i płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ :

$\dpi{120} \pi :Ax+By+Cz+D=0.$

Prosta $\dpi{120} l$ o kierunku $\dpi{120} \vec{u}=\left [ u_{1},u_{2},u_{3}\right ]$ przechodzi przez punkt $\dpi{120} P_{1}=\left ( x_{1},y_{1},z_{1} \right )$ , zaś płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ ma wektor normalny $\dpi{120} \vec{n}=\left [ A,B,C \right ]$ .

PROSTA JEST RÓWNOLEGŁA DO PŁASZCZYZNY

Wektor kierunkowy prostej jest wówczas prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny, co oznacza, że:

$\dpi{120} \vec{u}\circ \vec{n}=0\Leftrightarrow u_{1}\cdot A+u_{2}\cdot B+u_{3}\cdot C=0.$

Wówczas wzór na odległość prostej od płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} d\left ( l,\pi \right )=d\left ( P_{1},\pi \right )=\frac{\left | Ax_{1} +By_{1}+Cz_{1}+D\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.$

Punkt $\dpi{120} P_{1}$ może być punktem wynikającym z postaci prostej.

PROSTA ZAWIERA SIĘ W PŁASZCZYZNY

Prosta $\dpi{120} l$ leży w płaszczyźnie $\dpi{120} \pi$ jeżeli $\dpi{120} l$ jest równoległa do $\dpi{120} \pi$ oraz dowolny punkt prostej spełnia równanie płaszczyzny. Tym punktem może być punkt $\dpi{120} P_{1}$ . Zatem spełnione są równości:

$\dpi{120} l\subset \pi \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\cdot A+u_{2}\cdot B+u_{3}\cdot C=0\\ Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D=0 \end{matrix}\right..$

PROSTA PRZECINA PŁASZCZYZNĘ

Prosta $\dpi{120} l$ przecina płaszczyznę $\dpi{120} \pi$ pod pewnym kątem $\dpi{120} \alpha$ , który wyznaczamy ze wzoru:

$\dpi{120} \sin \measuredangle \left ( l,\pi \right )= \sin \alpha =\frac{\left | \vec{u}\circ \vec{n} \right |}{\left | \vec{u} \right |\cdot \left | \vec{n} \right |}.$

Szczególnym przypadkiem takiej prostej jest prosta prostopadła do płaszczyzny. Możemy oczywiście skorzystać z wcześniejszego wzoru. Wówczas $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{\left | \vec{u}\circ \vec{n} \right |}{\left | \vec{u} \right |\cdot \left | \vec{n} \right |}=1$ , ale szybciej jest zauważyć, że wektor normalny płaszczyzny i wektor kierunkowy prostej są równoległe. To z kolei oznacza, że wektory te są proporcjonalne:

$\dpi{120} \vec{u}=k\cdot \vec{n}\Leftrightarrow \frac{u_{1}}{A}=\frac{u_{2}}{B}=\frac{u_{3}}{C}.$