Wzajemne położenie prostych – zadania

1)     

Rozwiązanie

Najpierw należy ustalić jakie jest wzajemne położenie tych prostych. Do tego potrzebne są nam wektory kierunkowe tych prostych. Wektor kierunkowy prostej odczytujemy bezpośrednio z postaci prostej (mianowniki). Ma on współrzędne . Natomiast wektor kierunkowy prostej liczymy z zależności:

Jak widać nie są to proste równoległe, gdyż wektory kierunkowe nie są proporcjonalne,tzn. nie istnieje takie, że . Należy sprawdzić iloczyn mieszany , gdzie i . Jeżeli jest on równy zero, to proste przecinają się i ich odległość wynosi zero. Jeżeli zaś jest różny od zera, to proste są skośne i odległość liczymy ze wzoru:

Potrzebne są nam jeszcze dowolne punkty i . Punkt odczytujemy z postaci prostej . Ma on współrzędne . Natomiast liczymy rozwiązując układ:

Przyjmijmy np. . Wówczas:

Rozwiązując go dowolną metodą otrzymujemy rozwiązanie

Otrzymaliśmy punkt .

Liczymy współrzędne wektora:

Policzmy iloczyn mieszany:

Zatem są to proste skośne. Do wzoru na odległość prostych skośnych potrzebna jest nam jeszcze długość wektora . A więc:

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

2) 

Rozwiązanie

Najpierw należy ustalić jakie jest wzajemne położenie tych prostych. Do tego potrzebne są nam wektory kierunkowe tych prostych. Wektor kierunkowy prostej odczytujemy bezpośrednio z postaci prostej (mianowniki). Ma on współrzędne . Natomiast wektor kierunkowy prostej liczymy z zależności:

Jak widać nie są to proste równoległe, gdyż wektory kierunkowe nie są proporcjonalne,tzn. nie istnieje takie, że . Należy sprawdzić iloczyn mieszany , gdzie i . Jeżeli jest on równy zero, to proste przecinają się i ich odległość wynosi zero. Jeżeli zaś jest różny od zera, to proste są skośne i odległość liczymy ze wzoru:

Potrzebne są nam jeszcze dowolne punkty i . Punkt odczytujemy z postaci prostej . Ma on współrzędne . Natomiast liczymy rozwiązując układ:

Przyjmijmy np. . Wówczas:

Rozwiązując go otrzymujemy rozwiązanie

Otrzymaliśmy punkt .

Liczymy współrzędne wektora:

Policzmy iloczyn mieszany:

Zatem są to proste skośne. Do wzoru na odległość prostych skośnych potrzebna jest nam jeszcze długość wektora . A więc:

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

3)  

Rozwiązanie

Najpierw należy ustalić jakie jest wzajemne położenie tych prostych. Do tego potrzebne są nam wektory kierunkowe tych prostych.  Wektor kierunkowy  prostej  liczymy jako:

Wektor kierunkowy  prostej  liczymy jako:

Jak widać są to proste równoległe, gdyż wektory kierunkowe są proporcjonalne,tzn. istnieje  takie, że . Należy znaleźć płaszczyznę prostopadłą do tych prostych. Następnie wskazać punkty i przecięcia tej płaszczyzny z prostymi i . Odległość płaszczyzn równoległych i będzie równa odległości pomiędzy punktami .

Ponieważ płaszczyzna ma być prostopadła do prostych, więc jej wektor normalny jest równoległy do wektorów kierunkowych tych prostych. Możemy więc za wektor normalny przyjąć którykolwiek z wektorów kierunkowych. Zatem:

Płaszczyzna ma równanie:

Przyjmijmy np. i poszukajmy punktów przecięcia tej płaszczyzny z prostymi. Dostaniemy do rozwiązania dwa układy równań, którego rozwiązania będą szukanymi punktami i . Mamy:

                      oraz                     

Rozwiązujemy je dowolnymi metodami. Rozwiązaniem pierwszego układu jest:

Drugiego zaś:

Odległość tych punktów jest równa , gdyż:

Zatem odległość prostych i jest również równa .

4)

Rozwiązanie

Najpierw należy ustalić jakie jest wzajemne położenie tych prostych. Do tego potrzebne są nam wektory kierunkowe tych prostych.  Wektor kierunkowy  prostej  liczymy jako:

Wektor kierunkowy odczytujemy z postaci prostej . Mamy:

Jak widać są to proste równoległe, gdyż wektory kierunkowe są proporcjonalne,tzn. istnieje  takie, że . Należy znaleźć płaszczyznę prostopadłą do tych prostych. Następnie wskazać punkty i przecięcia tej płaszczyzny z prostymi i . Odległość płaszczyzn równoległych i będzie równa odległości pomiędzy punktami .

Ponieważ płaszczyzna ma być prostopadła do prostych, więc jej wektor normalny jest równoległy do wektorów kierunkowych tych prostych. Możemy więc za wektor normalny przyjąć którykolwiek z wektorów kierunkowych. Zatem:

Płaszczyzna ma równanie:

Ponieważ z postaci prostej widzimy punkt do niej należący, więc możemy przyjąć, że . Wstawiamy do równania płaszczyzny i wyliczamy współczynnik :

Zatem równanie płaszczyzny przyjmie postać:

Należy jeszcze obliczyć punkt przecięcia tej płaszczyzny  z prostą . Rozwiązujemy układ (dowolna metoda):

Otrzymujemy:

Odległość tych punktów jest równa:

Zatem odległość prostych i jest również równa .

1)

Rozwiązanie

Zawsze należy zacząć od znalezienia wektorów kierunkowych prostych. Wówczas od razu widzimy, czy są równoległe (wektory proporcjonalne). Jeżeli nie są równoległe to badamy iloczyn mieszany  , gdzie i . Jeżeli jest on równy zero, to proste przecinają się. Jeżeli zaś jest różny od zera, to proste są skośne.

Zatem szukamy wektora kierunkowego  prostej :

Liczymy wektor kierunkowy  prostej :

Jak widać nie są to proste równoległe, gdyż wektory kierunkowe nie są proporcjonalne,tzn. nie istnieje takie, że . Sprawdzamy iloczyn mieszany , gdzie i . Wybierzmy dwa dowolne punkty z prostych  i .

Prosta :

Niech np. , wówczas 

Otrzymujemy:

Zatem . 

Dla prostej :

Niech np. , wówczas

Otrzymujemy:

Zatem . 

Liczymy wektor :

Badamy iloczyn mieszany:

Stąd wniosek, że są to proste przecinające się. Można jeszcze sprawdzić, czy są prostopadłe. Wtedy . Mamy:

Nie są prostopadłe.

Równanie płaszczyzny wyznaczone przez te proste piszemy bardzo szybko, gdyż mamy dwa wektory kierunkowe i punkt (nawet dwa) należący do tej płaszczyzny:

Jest to postać parametryczna płaszczyzny. U nas:

Gdyby była narzucona inna postać płaszczyzny np. ogólna należy obliczyć wektor normalny .

2) 

Rozwiązanie

Zawsze należy zacząć od znalezienia wektorów kierunkowych prostych. Wówczas od razu widzimy, czy proste są równoległe (wektory proporcjonalne). Jeżeli nie są równoległe to badamy iloczyn mieszany  , gdzie i . Jeżeli jest on równy zero, to proste przecinają się. Jeżeli zaś jest różny od zera, to proste są skośne.

Wektor kierunkowy prostej  odczytujemy z postaci prostej:

Liczymy wektor kierunkowy  prostej :

Jak widać nie są to proste równoległe, gdyż wektory kierunkowe nie są proporcjonalne,tzn. nie istnieje takie, że . Sprawdzamy iloczyn mieszany , gdzie i . Wybierzmy dwa dowolne punkty z prostych  i .

Punkt odczytujemy z postaci prostej:

Dla prostej :

Niech np. , wówczas

Otrzymujemy:

Zatem . 

Liczymy wektor :

Badamy iloczyn mieszany:

Stąd wniosek, że są to proste przecinające się. Można jeszcze sprawdzić, czy są prostopadłe. Wtedy . Mamy:

Nie są prostopadłe.

Równanie płaszczyzny wyznaczone przez te proste piszemy bardzo szybko, gdyż mamy dwa wektory kierunkowe i punkt (nawet dwa) należący do tej płaszczyzny:

Jest to postać parametryczna płaszczyzny. U nas:

Gdyby była narzucona inna postać płaszczyzny np. ogólna należy obliczyć wektor normalny .

3) 

Rozwiązanie

Zawsze należy zacząć od znalezienia wektorów kierunkowych prostych. Wówczas od razu widzimy, czy proste są równoległe (wektory proporcjonalne). Jeżeli nie są równoległe to badamy iloczyn mieszany  , gdzie i . Jeżeli jest on równy zero, to proste przecinają się. Jeżeli zaś jest różny od zera, to proste są skośne.

Wektor kierunkowy prostej  odczytujemy z postaci prostej:

Liczymy wektor kierunkowy  prostej :

Jak widać nie są to proste równoległe, gdyż wektory kierunkowe nie są proporcjonalne,tzn. nie istnieje takie, że . Sprawdzamy iloczyn mieszany , gdzie i . Wybierzmy dwa dowolne punkty z prostych  i .

Punkt odczytujemy z postaci prostej:

Dla prostej :

Niech np. , wówczas

Otrzymujemy:

Zatem .

Liczymy wektor :

Badamy iloczyn mieszany:

Stąd wniosek, że są to proste przecinające się. Można jeszcze sprawdzić, czy są prostopadłe. Wtedy . Mamy:

Nie są prostopadłe.

Równanie płaszczyzny wyznaczone przez te proste piszemy bardzo szybko, gdyż mamy dwa wektory kierunkowe i punkt (nawet dwa) należący do tej płaszczyzny:

Jest to postać parametryczna płaszczyzny. U nas:

Gdyby była narzucona inna postać płaszczyzny np. ogólna należy obliczyć wektor normalny .

1) 

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór:

Liczymy wektory kierunkowe  i  prostych   i .

Długości tych wektorów są równe:

Liczymy iloczyn skalarny:

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

2) 

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór:

Liczymy wektory kierunkowe  i  prostych   i .

Długości tych wektorów są równe:

Liczymy iloczyn skalarny:

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

Rozwiązanie

Odczytajmy z postaci równań prostych ich wektory kierunkowe i punkty do nich należące:

Zbadajmy iloczyn mieszany wektorów . Potrzebny jest nam jeszcze wektor:

Liczymy:

Jeżeli , to proste się przecinają, w przeciwnym razie są to proste skośne.

Zatem dla   proste przecinają się.

Sprawdźmy następnie dla jakiego będą to proste prostopadłe:

Dla proste są prostopadłe.

Pozostał jeszcze przypadek prostych równoległych. Dla jakiego współrzędne będą proporcjonalne:

Rozwiązujemy dwa równania:

Z pierwszego mamy:

Stąd wynika, że nie istnieje takie, że proste są równoległe. Drugiego nie musimy rozwiązywać, gdyż jest to układ równań.

Podsumowując, dla proste przecinają się, dla są to proste skośne, a w szczególnym przypadku dla proste są prostopadłe.