Wzajemne położenie prostych (teoria)

Niech będą dane dwie proste $\dpi{120} l_{1}$ i $\dpi{120} l_{2}$ o wektorach kierunkowych odpowiednio $\dpi{120} \vec{v}=\left [ v_{1},v_{2},v_{3} \right ]$ i $\dpi{120} \vec{u}=\left [ u_{1},u_{2},u_{3} \right ]$ oraz przechodzące przez punkty $\dpi{120} P_{1}\left ( x_{1} ,y_{1},z_{1}\right )\in l_{1}$ , $\dpi{120} P_{2}\left ( x_{2} ,y_{2},z_{2}\right )\in l_{2}$ .

PROSTE RÓWNOLEGŁE

Proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe, tzn. istnieje $\dpi{120} k\in \mathbb{R}$ takie, że

$\dpi{120} \vec{u}=k\cdot \vec{v}$

Odległość prostych równoległych liczymy jako odległość punktów $\dpi{120} M_{1}$ i $\dpi{120} M_{2}$ , które otrzymujemy w sposób następujący. Znajdujemy płaszczyznę $\dpi{120} \pi$ prostopadłą do prostych $\dpi{120} l_{1},l_{2}$ . Punkt $\dpi{120} M_{1}$ jest punktem przecięcia płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ oraz prostej $\dpi{120} l_{1}$ , zaś $\dpi{120} M_{2}$ punktem przecięcia płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ oraz prostej $\dpi{120} l_{2}$ .

PROSTE PRZECINAJĄCE SIĘ

Proste przecinają się, gdy nie są równoległe i leżą w jednej płaszczyźnie. Oznacza to, że wektory $\dpi{120} \vec{v},\vec{u}$ oraz $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ są współpłaszczyznowe. Wtedy iloczyn mieszany $\dpi{120} \left ( \vec{v},\vec{u},\overrightarrow{P_{1}P_{2}} \right )=0$ , czyli:

$\dpi{120} \begin{vmatrix} v_{1} & v_{2}& v_{3}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3}\\ x_{2}-x_{1}& y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \end{vmatrix}=0$

Możemy wówczas mówić o kącie przecięcia takich prostych. Jest on określony zależnością:

$\dpi{120} \cos \measuredangle \left ( l_{1},l_{2} \right )= \cos \measuredangle \left ( \vec{v},\vec{u} \right )=\frac{v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}\cdot \sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}}$

PROSTE SKOŚNE

Proste są skośne, gdy nie leżą w jednej płaszczyźnie. A więc warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby proste były skośne jest by iloczyn mieszany $\dpi{120} \left ( \vec{v},\vec{u},\overrightarrow{P_{1}P_{2}} \right )\neq 0$ , tzn.

$\dpi{120} \begin{vmatrix} v_{1} & v_{2}& v_{3}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3}\\ x_{2}-x_{1}& y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \end{vmatrix}\neq 0$

Odległość prostych skośnych wyraża się wzorem:

$\dpi{120} d\left ( l_{1},l_{2} \right )=\frac{\left | \left ( \vec{v},\vec{u},\overrightarrow{P_{1}P_{2}} \right ) \right |}{\left | \vec{v}\times \vec{u} \right |}$

PROSTE PROSTOPADŁE

Proste prostopadłe mogą być zarówno prostymi skośnymi jak i prostymi przecinającymi się. Aby proste były prostopadłe ich wektory kierunkowe muszą być prostopadłe, a to oznacza, że:

$\dpi{120} \vec{v}\circ \vec{u}=0\Leftrightarrow v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}=0$