Wzajemne położenie płaszczyzn (wzory)

Niech będą dane dwie płaszczyzny:

$\dpi{120} \pi _{1}:\; A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$

$\dpi{120} \pi _{2}:\; A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$

WARUNEK RÓWNOLEGŁOŚCI PŁASZCZYZN

$\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$

ODLEGŁOŚĆ PŁASZCZYZN RÓWNOLEGŁYCH

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1},\pi _{2} \right )=d\left ( P_{0},\pi_{2} \right )=\frac{\left | A_{2}x_{0}+B_{2}y_{0}+C_{2}z_{0}+D_{2} \right |}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$

gdzie $\dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )\in \pi _{1}$ – dowolny punkt.

Jeżeli płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ mają postać:

$\dpi{120} \pi _{1}:\; Ax+By+z+D_{1}=0$

$\dpi{120} \pi _{2}:\; Ax+By+z+D_{2}=0$

odległość tak rozumianych płaszczyzn wynosi:

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}$

PŁASZCZYZNY POKRYWAJĄCE SIĘ

$\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{D_{1}}{D_{2}}$

PŁASZCZYZNY PRZECINAJĄCE SIĘ

Miara kąta dwuściennego:

$\dpi{120} \cos \left ( \pi _{1},\pi _{2} \right )= \cos \measuredangle \left ( \overrightarrow{n_{1}} ,\overrightarrow{n_{2}}\right )=\frac{\overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{2}}}{\left | \overrightarrow{n_{1}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{n_{2}} \right |}=\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}} }$

PŁASZCZYZNY PROSTOPADŁE

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{2}}=0\Leftrightarrow A_{1}\cdot A_{2}+B_{1}\cdot B_{2}+C_{1}\cdot C_{2}=0$