Równanie Bernoulliego – teoria

Równanie Bernoulliego jest to równanie różniczkowe postaci

\dpi{120} y'+p\left ( x \right )y=f\left ( x \right )y^{n}

gdzie funkcje \dpi{120} f\left ( x \right ) i \dpi{120} p\left ( x \right ) są ciągłe w pewnym przedziale \dpi{120} X, \dpi{120} n\in R,\: n\neq 0,\: n\neq 1. Dla \dpi{120} n=0 jest to równanie liniowe, zaś dla \dpi{120} n=1 otrzymujemy równanie o rozdzielonych zmiennych.

Rozwiązujemy je, dzieląc go przez \dpi{120} y^{n} i wprowadzając funkcję \dpi{120} t=y^{1-n}. Mamy wówczas:

\dpi{120} y'+p\left ( x \right )y=f\left ( x \right )y^{n}/:y^{n}

\dpi{120} y^{-n}y'+p\left ( x \right )y^{1-n}=f\left ( x \right )

Wykonujemy podstawienie:

\dpi{120} t=y^{1-n}

\dpi{120} t'=\left ( 1-n \right )y^{-n}\cdot y'

\dpi{120} y^{-n}\cdot y'=\frac{t'}{1-n}

Wstawiamy do równania i otrzymujemy:

\dpi{120} \frac{t'}{1-n}+p\left ( x \right )t=f\left ( x \right )

Jest to równanie liniowe, które omawialiśmy wcześniej tutaj. Rozwiązujemy je dowolną poznaną wcześniej metodą.

Zapraszamy do zadań! tutaj