Równanie Bernoulliego – teoria

Data wpisu 26 października 2019 przez Joanna Piasecka

Równanie Bernoulliego jest to równanie różniczkowe postaci

$\dpi{120} y'+p\left ( x \right )y=f\left ( x \right )y^{n}$

gdzie funkcje $\dpi{120} f\left ( x \right )$ i $\dpi{120} p\left ( x \right )$ są ciągłe w pewnym przedziale $\dpi{120} X$ , $\dpi{120} n\in R,\: n\neq 0,\: n\neq 1$ . Dla $\dpi{120} n=0$ jest to równanie liniowe, zaś dla $\dpi{120} n=1$ otrzymujemy równanie o rozdzielonych zmiennych.

Rozwiązujemy je, dzieląc go przez $\dpi{120} y^{n}$ i wprowadzając funkcję $\dpi{120} t=y^{1-n}$ . Mamy wówczas:

$\dpi{120} y'+p\left ( x \right )y=f\left ( x \right )y^{n}/:y^{n}$

$\dpi{120} y^{-n}y'+p\left ( x \right )y^{1-n}=f\left ( x \right )$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} t=y^{1-n}$

$\dpi{120} t'=\left ( 1-n \right )y^{-n}\cdot y'$

$\dpi{120} y^{-n}\cdot y'=\frac{t'}{1-n}$

Wstawiamy do równania i otrzymujemy:

$\dpi{120} \frac{t'}{1-n}+p\left ( x \right )t=f\left ( x \right )$

Jest to równanie liniowe, które omawialiśmy wcześniej tutaj. Rozwiązujemy je dowolną poznaną wcześniej metodą.

Zapraszamy do zadań! tutaj