Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj.
Zadanie 1. Rozwiąż równania jednorodne:
1)
Rozwiązanie Wykonujemy podstawienie: Wstawiamy do równania: Wstawiamy Całkujemy stronami: Wykorzystujemy wzór na całkę po lewej stronie równania Stałą zapisujemy jako Z własności Opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie Wracamy do podstawienia Jest to końcowe rozwiązanie.:
. Mamy:
.
otrzymujemy:
mamy:
. Mamy:
2)
Rozwiązanie
Najpierw musimy doprowadzić funkcję po prawej stronie równania do postaci :
Równanie różniczkowe przyjmie postać:
Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do równania:
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych:
przy założeniu, że
Wstawiamy :
Całkujemy stronami:
Zauważmy, że w całce po lewej stronie równania pochodna mianownika wynosi . Zatem całkę tą możemy zapisać jako:
Korzystamy ze wzoru całkowego . Zatem:
Wracając do równania otrzymujemy:
Dla otrzymujemy rozwiązania, które odrzuciliśmy przedtem w założeniach
i
. Dołączamy je teraz, a to wiąże się z kolejną zmianą stałej. Otrzymujemy:
Wracamy do podstawienia . Mamy:
To jest nasze końcowe rozwiązanie.
3)
Rozwiązanie Najpierw musimy doprowadzić funkcję po prawej stronie równania do postaci Równanie różniczkowe przyjmie postać: Wykonujemy podstawienie: Wstawiamy do równania: Sprowadzamy do wspólnego mianownika: Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych: Wstawiamy Całkujemy stronami: Zauważmy, że całkę po lewej stronie równania możemy zapisać jako sumę dwóch całek: Wykorzystaliśmy wzór całkowy Wracamy do podstawienia To jest nasze końcowe rozwiązanie.
:
:
. Wracając do równania otrzymujemy:
. Mamy:
Zadanie 2. Rozwiąż równania jednorodne z warunkami początkowymi:
1)
Rozwiązanie
Korzystamy z własności logarytmów . Otrzymujemy:
Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do równania:
Wstawiamy :
Całkujemy stronami:
Liczymy całkę po lewej stronie przez podstawienie:
Zatem:
Wracając do równania:
Dla otrzymujemy rozwiązanie
, które wcześniej odrzuciliśmy w założeniach. Mamy:
Wracamy do podstawienia . Mamy:
Uwzględniamy warunek początkowy . Otrzymujemy:
Zatem rozwiązanie ma postać:
2)
Rozwiązanie Wykonujemy podstawienie: Wstawiamy do równania: Wstawiamy Całkujemy stronami: Liczymy całkę po lewej stronie: Wracając do równania: Wracamy do podstawienia Uwzględniamy warunek początkowy Zatem rozwiązanie ma postać:
:
. Mamy:
. Otrzymujemy:
3)
Rozwiązanie Wykonujemy podstawienie: Wstawiamy do równania: Wstawiamy Całkujemy stronami: Wracamy do podstawienia Uwzględniamy warunek początkowy Zatem rozwiązanie ma postać:
:
. Mamy:
. Otrzymujemy:
Zadanie 3. Znaleźć krzywe, dla których długość rzutu odcinka stycznej do punktu przecięcia z osią odciętych na oś odciętych jest równa sumie rzędnej i odciętej punktu styczności.
Rozwiązanie
Najpierw wykonajmy rysunek pomocniczy.
Niech będzie dowolnym punktem na krzywej
. Poprowadźmy styczną do krzywej
w punkcie
. Równanie stycznej ma postać:
Obliczmy współrzędne punktu . Jest to miejsce zerowe stycznej, a więc podstawiamy do równania stycznej
.
Zatem punkt ma współrzędne
. Długość rzutu odcinka stycznej do punktu przecięcia z osią odciętych na oś odciętych to
. Mamy:
Pomijamy wartość bezwzględną (zakładając, że ). Otrzymujemy równanie różniczkowe odpowiadające warunkom zadania:
Pomijamy dla wygody wskaźniki przy
i
. Mamy:
Przekształcamy równanie tak, aby pochodna znalazła się w liczniku.
Jest to równanie jednorodne. Należy je jeszcze raz przekształcić, aby było to wyraźnie widoczne.
Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do równania:
Wstawiamy :
Całkujemy stronami:
Liczymy całkę po lewej stronie równania:
Wracając do równania mamy:
Stałą zapisujemy w postaci
.
Wracamy do podstawienia . Mamy:
Równanie reprezentuje rodzinę krzywych spełniających warunki zadania.