Iloczyn kartezjański (zadania) - WYZNACZNIK

Przed rozpoczęciem zadań warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj, gdzie podajemy definicję iloczynu kartezjańskiego.

Zadanie 1. Znaleźć iloczyn kartezjański $\dpi{120} \large A\times B$ i $\dpi{120} \large B\times A$ zbiorów:

1) $\dpi{120} A=\left \{ 2,5 \right \},\: B=\left \{ 3,4 \right \}$

Rozwiązanie

Rozwiązanie przedstawimy w układzie współrzędnych.

$\dpi{120} A\times B$

Na osi $\dpi{120} OX$ zaznaczamy zbiór $\dpi{120} A=\left \{ 2,5 \right \}$ , zaś na osi $\dpi{120} OY$ zbiór $\dpi{120} B=\left \{ 3,4 \right \}$ . Jako $\dpi{120} A\times B$ otrzymujemy cztery punkty o współrzędnych $\dpi{120} \left ( 2,3 \right ), \left ( 2,4 \right ) ,\left ( 5,3 \right ),\left ( 5,4 \right )$ .

$\dpi{120} B\times A$

Na osi $\dpi{120} OX$ zaznaczamy zbiór $\dpi{120} B=\left \{ 3,4 \right \}$ , zaś na osi $\dpi{120} OY$ zbiór $\dpi{120} A=\left \{ 2,5 \right \}$ . Jako $\dpi{120} B\times A$ otrzymujemy cztery punkty o współrzędnych $\dpi{120} \left (3,2\right ), \left (3,5 \right ) ,\left (4,2 \right ),\left ( 4,5 \right )$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} A=\left( 1;4 \right \rangle,B=\left \langle -2;2 \right )$

Rozwiązanie

Rozwiązanie przedstawimy w układzie współrzędnych.

$\dpi{120} A\times B$

Na osi $\dpi{120} OX$ zaznaczamy zbiór $\dpi{120} A=\left (1;4\right \rangle$ , zaś na osi $\dpi{120} OY$ zbiór $\dpi{120} B=\left \langle -2;2 \right )$ . Jako $\dpi{120} A\times B$ otrzymujemy prostokąt zacieniowany na szaro.

$\dpi{120} B\times A$

Na osi $\dpi{120} OX$ zaznaczamy zbiór $\dpi{120} B=\left \langle -2;2 \right )$ , zaś na osi $\dpi{120} OY$ zbiór $\dpi{120} A=\left (1;4\right \rangle$ . Jako $\dpi{120} B\times A$ otrzymujemy prostokąt zacieniowany na szaro.

Uważajmy, gdzie przedziały były domknięte a gdzie otwarte. Zaznaczamy odpowiednio linie ciągłe i przerywane.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} A=\left \{ x\in R:1<x<3 \right \},B=\left \{ x\in R:-1<x\leqslant 2 \right \}$

Rozwiązanie

Rozwiązanie przedstawimy w układzie współrzędnych.

$\dpi{120} A\times B$

Na osi $\dpi{120} OX$ zaznaczamy zbiór $\dpi{120} A=\left (1;3\right )$ , zaś na osi $\dpi{120} OY$ zbiór $\dpi{120} B=\left(-1;2 \right \rangle$ . Jako $\dpi{120} A\times B$ otrzymujemy prostokąt zacieniowany na szaro.

$\dpi{120} B\times A$

Na osi $\dpi{120} OX$ zaznaczamy zbiór $\dpi{120} B=\left(-1;2 \right \rangle$ , zaś na osi $\dpi{120} OY$ zbiór $\dpi{120} A=\left (1;3\right )$ . Jako $\dpi{120} B\times A$ otrzymujemy prostokąt zacieniowany na szaro.

Uważajmy, gdzie przedziały były domknięte a gdzie otwarte. Zaznaczamy odpowiednio linie ciągłe i przerywane.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} A=\left \{ x\in R:-1<x<1\: \wedge \: 3\leqslant x<4 \right \},B=\left \{ x\in R:-2<x\leqslant -1\: \wedge \: 2<x\leqslant 3 \right \}$

Rozwiązanie

Rozwiązanie przedstawimy w układzie współrzędnych.

$\dpi{120} A\times B$

Na osi $\dpi{120} OX$ zaznaczamy zbiór $A=\left ( -1;1 \right )\cup \left \langle 3;4 \right )$ , zaś na osi $\dpi{120} OY$ zbiór $\dpi{120} B=\left ( -2;-1 \right \rangle\cup \left ( 2,3 \right \rangle$ . Jako $\dpi{120} A\times B$ otrzymujemy cztery prostokąty zacieniowane na szaro.

$\dpi{120} B\times A$

Na osi $\dpi{120} OX$ zaznaczamy zbiór $\dpi{120} B=\left ( -2;-1 \right \rangle\cup \left ( 2,3 \right \rangle$ , zaś na osi $\dpi{120} OY$ zbiór $A=\left ( -1;1 \right )\cup \left \langle 3;4 \right )$ . Jako $\dpi{120} B\times A$ otrzymujemy cztery prostokąty zacieniowane na szaro.

Uważajmy, gdzie przedziały były domknięte a gdzie otwarte. Zaznaczamy odpowiednio linie ciągłe i przerywane.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Sprawdzić, czy prawdziwe są równości:

1) $\dpi{120} A\times \left ( B\cup C \right )=\left ( A\times B \right )\cup \left ( A\times C \right )$

Rozwiązanie

Niech element $\dpi{120} \left ( x,y \right )$ należy do lewej strony. Mamy:

$\dpi{120} \left ( x,y \right )\in A\times \left ( B\cup C \right )\Leftrightarrow$

Z definicji iloczynu kartezjańskiego otrzymujemy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow x\in A\; \wedge\; y\in \left ( B\cup C \right )\Leftrightarrow$

Z definicji sumy zbiorów mamy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow x\in A\; \wedge \; \left ( y\in B\: \vee \: y\in C \right )\Leftrightarrow$

Stosujemy prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow \underset{\left ( x,y \right )\in A\times B}{\underbrace{\left (x\in A\: \wedge\: y\in B \right )}} \; \vee \; \underset{\left ( x,y \right )\in A\times C}{\underbrace{\left ( x\in A\: \wedge \: y\in C \right )}}\Leftrightarrow$

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x,y \right )\in \left ( A\times B \right )\; \vee \; \left ( x,y \right )\in \left ( A\times C \right )\Leftrightarrow$

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x,y \right )\in \left ( A\times B \right )\cup \left ( A\times C \right )$

Co należało pokazać.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} A\times \left ( B\cap C \right )=\left ( A\times B \right )\cap \left ( A\times C \right )$

Rozwiązanie

Niech element $\dpi{120} \left ( x,y \right )$ należy do lewej strony. Mamy:

$\dpi{120} \left ( x,y \right )\in A\times \left ( B\cap C \right )\Leftrightarrow$

Z definicji iloczynu kartezjańskiego otrzymujemy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow x\in A\; \wedge\; y\in \left ( B\cap C \right )\Leftrightarrow$

Z definicji sumy zbiorów mamy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow x\in A\; \wedge \; \left ( y\in B\: \wedge \: y\in C \right )\Leftrightarrow$

Stosujemy prawo łączności koniunkcji:

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x\in A\: \wedge \: y\in B \right )\wedge y\in C\Leftrightarrow$

Wyrażenie $\dpi{120} x\in A$ możemy powtórzyć jeszcze raz.

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x\in A\: \wedge \: y\in B \right )\wedge \left (x\in A\: \wedge \: y\in C \right )\Leftrightarrow$

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x,y \right )\in \left ( A\times B \right )\; \wedge \; \left ( x,y \right )\in \left ( A\times C \right )\Leftrightarrow$

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x,y \right )\in \left ( A\times B \right )\cap \left ( A\times C \right )$

Co należało pokazać.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} A\times \left ( B\setminus C \right )=\left ( A\times B \right )\setminus \left ( A\times C \right )$

Rozwiązanie

Niech w tym przykładzie element $\dpi{120} \left ( x,y \right )$ należy do prawej strony (łatwiej). Mamy:

$\dpi{120} \left ( x,y \right )\in \left ( A\times B \right )\setminus \left ( A\times C \right )\Leftrightarrow$

Z definicji różnicy zbiorów otrzymujemy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x,y \right )\in \left ( A\times B \right )\: \wedge \left ( x,y \right )\notin \left ( A\times C \right )\Leftrightarrow$

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x,y \right )\in \left ( A\times B \right )\: \wedge \sim \left ( x,y \right )\in \left ( A\times C \right )\Leftrightarrow$

Z definicji iloczynu kartezjańskiego mamy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x\in A\: \wedge \: y\in B \right )\: \wedge \: \sim \left ( x\in A\: \wedge \: y\in C \right )\Leftrightarrow$

Stosujemy prawo de Morgana:

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x\in A\: \wedge \: y\in B \right )\: \wedge \: \left ( x\notin A\: \vee \: y\notin C \right )\Leftrightarrow$

Stosujemy prawo przemienności i łączności koniunkcji:

$\dpi{120} \Leftrightarrow y\in B\: \wedge \: \left [ x\in A\: \wedge \: \left ( x\notin A\: \vee \: y\notin C \right ) \right ]\Leftrightarrow$

Stosujemy prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow y\in B\: \wedge \: \left [ \left ( x\in A\: \wedge \: x\notin A \right ) \: \vee \: \left ( x\in A\: \wedge \: y\notin C \right )\right ]\Leftrightarrow$

Zauważmy, że wyrażenie $\dpi{120} x\in A\: \wedge \: x\notin A$ jest zawsze fałszywe. Zatem alternatywa w nawiasie kwadratowym zależy tylko od drugiego składnika. Mamy:

$\dpi{120} \Leftrightarrow y\in B\: \wedge \: \left ( x\in A\: \wedge \: y\notin C \right )\Leftrightarrow$

Ponownie stosujemy prawo przemienności i łączności koniunkcji:

$\dpi{120} \Leftrightarrow x\in A\: \wedge \: \left ( y\in B\: \wedge y\notin C \right )\Leftrightarrow$

$\dpi{120} \Leftrightarrow x\in A\: \wedge \: y\in \left ( B\setminus C \right )\Leftrightarrow$

$\dpi{120} \Leftrightarrow \left ( x,y \right )\in \left ( A\times \left ( B\setminus C \right ) \right )$

Co należało pokazać.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń