Współrzedne sferyczne (teoria) - WYZNACZNIK

Współrzędne sferyczne $\dpi{120} R,\, \theta ,\, \varphi$ i współrzędne prostokątne $\dpi{120} x,\, y,\, z$ są związane wzorami przejścia

$\dpi{120} x=R\sin \theta \cos \varphi ,$ $\dpi{120} y=R\sin \theta \sin \varphi ,$ $\dpi{120} z=R\cos \theta$

$\dpi{120} x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ , $\dpi{120} \frac{z}{R}=\cos \theta$ , $\dpi{120} \frac{y}{x}=tg\, \varphi$

gdzie $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ jest odległością punktu $\dpi{120} \left (x,y,z \right )$ od początku układu współrzędnych, $α$ jest kątem, jaki tworzy wektor $[x, y, 0]$ z dodatnią częścią osi $O x,$ a $β$ jest kątem, jaki tworzy wektor $[x, y, z]$ $\dpi{120} \left [ x,y,z \right ]$ z dodatnią częścią osi $O z .$

Jakobian dla współrzędnych sferycznych wynosi:

$\dpi{120} J=R^{2}\sin \theta$

Całka potrójna wyraża się we współrzędnych sferycznych wzorem:

$\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}f\left ( x,y,z \right )dD=\underset{\left ( \Omega \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}f\left ( R\sin \theta \cos \varphi ,R\sin \theta \sin \varphi ,R \cos \theta \right )\cdot R^{2 } \sin \theta d\Omega$

gdzie $\dpi{120} \Omega$ jest zakresem zmienności zmiennych $\dpi{120} R,\, \theta ,\, \varphi$ w zbiorze $\dpi{120} V$ .

Zastosowania fizyczne

Dla bryły $\dpi{120} D$ o gęstości $\dpi{120} f\left ( x,y,z \right )$ :

masa to $\dpi{120} M=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}f\left ( x,y,z \right )dD$ , a objętość $\dpi{120} V=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}1\, dD$
moment statyczny obszaru $\dpi{120} D$ :

– względem płaszczyzny $\dpi{120} Oyz$ to $\dpi{120} M_{x}=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}xf\left ( x,y,z \right )dD$

– względem płaszczyzny $\dpi{120} Oxz$ to $\dpi{120} M_{y}=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}yf\left ( x,y,z \right )dD$

– względem płaszczyzny $\dpi{120} Oxy$ to $\dpi{120} M_{z}=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}zf\left ( x,y,z \right )dD$

środek ciężkości obszaru $\dpi{120} D$ ma współrzędne $\dpi{120} \left ( \frac{M_{x}}{M} ,\frac{M_{y}}{M},\frac{M_{z}}{M}\right )$
moment bezwładności obszaru $\dpi{120} D$ :

– względem płaszczyzny $\dpi{120} Oyz$ to $\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}x^{2}f\left ( x,y,z \right )dD$

– względem płaszczyzny $\dpi{120} Oxz$ to $\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}y^{2}f\left ( x,y,z \right )dD$

– względem płaszczyzny $\dpi{120} Oxy$ to $\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}z^{2}f\left ( x,y,z \right )dD$

– względem osi $\dpi{120} Ox$ to $\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (y^{2}+z^{2} \right )f\left ( x,y,z \right )dD$

– względem osi $\dpi{120} Oy$ to $\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (x^{2}+z^{2} \right )f\left ( x,y,z \right )dD$

– względem osi $\dpi{120} Oz$ to $\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (x^{2}+y^{2} \right )f\left ( x,y,z \right )dD$

– względem punktu $\dpi{120} \left (0,0,0 \right )$ to $\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (x^{2}+y^{2} +z^{2}\right )f\left ( x,y,z \right )dD$

Zapraszamy do zadań! tutaj