Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – teoria

Współrzędne sferyczne \dpi{120} R,\, \theta ,\, \varphi i współrzędne prostokątne \dpi{120} x,\, y,\, z są związane wzorami przejścia

\dpi{120} x=R\sin \theta \cos \varphi ,                \dpi{120} y=R\sin \theta \sin \varphi ,                    \dpi{120} z=R\cos \theta

\dpi{120} x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},                       \dpi{120} \frac{z}{R}=\cos \theta,                                     \dpi{120} \frac{y}{x}=tg\, \varphi

gdzie \dpi{120} R=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} jest odległością punktu\dpi{120} \left (x,y,z \right ) od początku układu współrzędnych, \dpi{120} \varphi jest kątem, jaki tworzy wektor \dpi{120} \left [ x,y,0 \right ] z dodatnią częścią osi \dpi{120} Ox, a \dpi{120} \theta jest kątem, jaki tworzy wektor \dpi{120} \left [ x,y,z \right ] z dodatnią częścią osi \dpi{120} Oz.

Jakobian dla współrzędnych sferycznych wynosi:

\dpi{120} J=R^{2}\sin \theta

Całka potrójna wyraża się we współrzędnych sferycznych wzorem:

\dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}f\left ( x,y,z \right )dD=\underset{\left ( \Omega \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}f\left ( R\sin \theta \cos \varphi ,R\sin \theta \sin \varphi ,R \cos \theta \right )\cdot R^{2 } \sin \theta d\Omega

gdzie \dpi{120} \Omega jest zakresem zmienności zmiennych \dpi{120} R,\, \theta ,\, \varphi w zbiorze \dpi{120} V.

Zastosowania fizyczne

Dla bryły \dpi{120} D o gęstości \dpi{120} f\left ( x,y,z \right )

  • masa to \dpi{120} M=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}f\left ( x,y,z \right )dD, a objętość  \dpi{120} V=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}1\, dD
  • ˆmoment statyczny obszaru \dpi{120} D:

  – względem płaszczyzny \dpi{120} Oyz to \dpi{120} M_{x}=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}xf\left ( x,y,z \right )dD

– względem płaszczyzny \dpi{120} Oxz to \dpi{120} M_{y}=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}yf\left ( x,y,z \right )dD

– względem płaszczyzny \dpi{120} Oxy to \dpi{120} M_{z}=\underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}zf\left ( x,y,z \right )dD

  • środek ciężkości obszaru \dpi{120} D ma współrzędne \dpi{120} \left ( \frac{M_{x}}{M} ,\frac{M_{y}}{M},\frac{M_{z}}{M}\right )
  • moment bezwładności obszaru \dpi{120} D:

 – względem płaszczyzny \dpi{120} Oyz to \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}x^{2}f\left ( x,y,z \right )dD

– względem płaszczyzny \dpi{120} Oxz to \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}y^{2}f\left ( x,y,z \right )dD

– względem płaszczyzny \dpi{120} Oxy to \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}z^{2}f\left ( x,y,z \right )dD

– względem osi \dpi{120} Ox to \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (y^{2}+z^{2} \right )f\left ( x,y,z \right )dD

– względem osi \dpi{120} Oy to \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (x^{2}+z^{2} \right )f\left ( x,y,z \right )dD

– względem osi \dpi{120} Oz to \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (x^{2}+y^{2} \right )f\left ( x,y,z \right )dD

– względem punktu \dpi{120} \left (0,0,0 \right ) to \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (x^{2}+y^{2} +z^{2}\right )f\left ( x,y,z \right )dD

Zapraszamy do zadań! tutaj