Ekstrema lokalne funkcji dwu zmiennych (zadania)

Kolejność podpunktów w zadaniu jest istotna. Pierwsze przykłady są bardzo łatwe tak , aby utrwalić schemat rozwiązania podany w zakładce Wzory tutaj. Kolejne są trudniejsze. Jest więcej niż jeden punkt stacjonarny i układ równań, który rozwiązujemy w punkcie 3. schematu jest również trudniejszy. Dlatego najpierw należy zaznajomić się ze schematem podanym w zakładce Wzory, a następnie rozwiązywać w odpowiedniej kolejności przykłady.

Zadanie 1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

1) $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=x^{2}+xy+y^{2}-2x-y,$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D:\mathbb{R}^{2}$

2. Liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

$\dpi{120} f'_{x}\left ( x,y \right )=2x+y-2$

$\dpi{120} f'_{y}\left ( x,y \right )=x+2y-1$

3. Tworzymy i rozwiązujemy układ równań $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} f'_{x}\left ( x,y \right )=0\\ f'_{y}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x+y-2=0\\ x+2y-1=0 \end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy np. metodą podstawiania. Z pierwszego równania wyliczamy $\dpi{120} y$ :

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=2-2x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ x+2\cdot \left ( 2-2x \right )-1=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=2-2x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ x+4-4x-1=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=2-2x\\ -3x=-3\; \; \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=2-2\cdot 1\\ x=1\; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=0\\ x=1\end{matrix}\right.$

Otrzymaliśmy punkt $\dpi{120} A=\left ( 1,0 \right )$ . Jest to tzw. punkt stacjonarny lub inaczej punkt podejrzany o ekstremum.

4. Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=\left ( 2x+y-2 \right )'_{x}=2$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=\left ( x+2y-1 \right )'_{y}=2$

$\dpi{120} f''_{xy}\left ( x,y \right )=\left ( 2x+y-2 \right )'_{y}=1$

$\dpi{120} f''_{yx}\left ( x,y \right )=\left ( x+2y-1 \right )'_{x}=1$

Nie jest przypadkiem, że $\dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}$ . Równość ta wynika z twierdzenia Schwartza. Pochodne mieszane są równe, gdy funkcja $\dpi{120} f$ jest ciągłą, a z takimi funkcjami będziemy mieć do czynienia. Równość $\dpi{120} f''_{xx}=f''_{yy}$ jest przypadkowa.

5. Sprawdzamy znak wyznacznika $\dpi{120} W\left ( A \right )=\begin{vmatrix} f''_{xx}\left ( A \right ) & f''_{xy}\left ( A \right )\\ f''_{yx}\left ( A \right )& f''_{yy}\left ( A \right ) \end{vmatrix}$ . Ponieważ nasze pochodne rzędu drugiego są funkcjami stałymi, więc punktu $\dpi{120} A=\left ( 1,0 \right )$ nie mamy gdzie wstawić. Zatem:

$\dpi{120} W\left ( A \right )=\begin{vmatrix} f''_{xx}\left ( A \right ) & f''_{xy}\left ( A \right )\\ f''_{yx}\left ( A \right )& f''_{yy}\left ( A \right ) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=2\cdot 2-1\cdot 1=3>0$

Wynika stąd, że w punkcie $\dpi{120} A=\left ( 1,0 \right )$ jest ekstremum.

6. Badamy jakiego rodzaju jest to ekstremum. Patrzymy na znaki pochodnych jednorodnych rzędu drugiego.

U nas:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=2>0$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=2>0$

Stąd wniosek, że w punkcie $\dpi{120} A=\left ( 1,0 \right )$ jest minimum lokalne. Na koniec liczymy wartość tego minimum. Wstawiamy punkt $\dpi{120} A=\left ( 1,0 \right )$ do funkcji $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=x^{2}+xy+y^{2}-2x-y$ .

$\dpi{120} f_{min}\left ( 1,0 \right )=1^{2}+1\cdot 0+0^{2}-2\cdot 1-0=-1$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=x^{2}-xy+y^{2}+9x-6y+20,$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D:\mathbb{R}^{2}$

2. Liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

$\dpi{120} f'_{x}\left ( x,y \right )=2x-y+9$

$\dpi{120} f'_{y}\left ( x,y \right )=-x+2y-6$

3. Tworzymy i rozwiązujemy układ równań $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} f'_{x}\left ( x,y \right )=0\\ f'_{y}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x-y+9=0\\ -x+2y-6=0 \end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy np. metodą podstawiania. Z pierwszego równania wyliczamy $\dpi{120} y$ :

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=2x+9\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ -x+2\cdot \left ( 2x+9 \right )-6=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=2x+9\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ -x+4x+18-6=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=2x+9\\ 3x+12=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=2\cdot \left ( -4 \right )+9\\ x=-4\;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=1\; \; \; \\ x=-4\end{matrix}\right.$

Otrzymaliśmy punkt $\dpi{120} A=\left ( -4,1\right )$ . Jest to tzw. punkt stacjonarny lub inaczej punkt podejrzany o ekstremum.

4. Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=\left ( 2x-y+9 \right )'_{x}=2$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=\left ( -x+2y-6 \right )'_{y}=2$

$\dpi{120} f''_{xy}\left ( x,y \right )=\left ( 2x-y+9 \right )'_{y}=-1$

$\dpi{120} f''_{yx}\left ( x,y \right )=\left ( -x+2y-6 \right )'_{x}=-1$

Wynika stąd, że w punkcie $\dpi{120} A=\left ( -4,1 \right )$ jest ekstremum.

6. Badamy jakiego rodzaju jest to ekstremum. Patrzymy na znaki pochodnych jednorodnych rzędu drugiego.

U nas:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=2>0$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=2>0$

Stąd wniosek, że w punkcie $\dpi{120} A=\left (-4,1 \right )$ jest minimum lokalne. Na koniec liczymy wartość tego minimum. Wstawiamy punkt $\dpi{120} A=\left ( -4,1 \right )$ do funkcji $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=x^{2}-xy+y^{2}+9x-6y+20$ .

$\dpi{120} f_{min}\left (-4,1 \right )=\left ( -4 \right )^{2}-\left ( -4 \right )\cdot 1+1^{2}+9\cdot \left ( -4 \right )-6\cdot 1+20=-1$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=x^{3}+3xy^{2}-6xy+1,$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D:\mathbb{R}^{2}$

2. Liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

$\dpi{120} f'_{x}\left ( x,y \right )=3x^{2}+3y^{2}-6y$

$\dpi{120} f'_{y}\left ( x,y \right )=6xy-6x$

3. Tworzymy i rozwiązujemy układ równań $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} f'_{x}\left ( x,y \right )=0\\ f'_{y}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 3x^{2}+3y^{2}-6y=0/:3\\ 6xy-6x=0 /:6\; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Pamiętajmy, aby nie podzielić przez zmienną, gdyż wtedy stracimy rozwiązanie.

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2y=0\\ xy-x=0 \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2y=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ x\left (y-1 \right )=0 \Rightarrow x=0\; \vee \; y=1 \end{matrix}\right.$

Rozpatrujemy dwa przypadki. Pierwszy, dla $\dpi{120} x=0$ ; drugi dla $\dpi{120} y=1$ .

dla $\dpi{120} x=0$ . Wstawiając do pierwszego równania mamy:

$\dpi{120} 0^{2}+y^{2}-2y=0$

$\dpi{120} y\left ( y-2 \right )=0$

$\dpi{120} y_{1}=0\; \vee \; y_{2}=2$

Otrzymaliśmy dwa punkty stacjonarne: $\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$ oraz $\dpi{120} B=\left ( 0,2 \right )$ .

dla $\dpi{120} y=1$ otrzymujemy:

$\dpi{120} x^{2}+1^{2}-2\cdot 1=0$

$\dpi{120} x^{2}-1=0$

$\dpi{120} x_{1}=-1\; \vee \; x_{2}=1$

Otrzymaliśmy dwa kolejne punkty stacjonarne: $\dpi{120} C=\left ( -1,1 \right )$ oraz $\dpi{120} D=\left ( 1,1 \right )$ .

4. Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=\left ( 3x^{2}+3y^{2}-6y \right )'_{x}=6x$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=\left ( 6xy-6x \right )'_{y}=6x$

$\dpi{120} f''_{xy}\left ( x,y \right )=\left ( 3x^{2}+3y^{2}-6y \right )'_{y}=6y-6$

$\dpi{120} f''_{yx}\left ( x,y \right )=\left ( 6xy-6x \right )'_{x}=6y-6$

5. Sprawdzamy znak wyznacznika $\dpi{120} W\left ( x,y \right )=\begin{vmatrix} f''_{xx}\left ( x,y \right ) & f''_{xy}\left ( x,y \right )\\ f''_{yx}\left ( x,y \right )& f''_{yy}\left ( x,y \right ) \end{vmatrix}$ . Ponieważ otrzymaliśmy 4 punkty stacjonarne, więc najwygodniej jest zebrać wyniki w tabeli:

	$\dpi{120} f''_{xx}$	$\dpi{120} f''_{yy}$	$\dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}$	$\dpi{120} W$	Wnioski
$\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} -6$	$\dpi{120} -36<0$	brak ekstremum
$\dpi{120} B=\left ( 0,2 \right )$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 6$	$\dpi{120} -36<0$	brak ekstremum
$\dpi{120} C=\left ( -1,1 \right )$	$\dpi{120} -6$	$\dpi{120} -6$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 36>0$	maksimum
$\dpi{120} D=\left ( 1,1 \right )$	$\dpi{120} 6$	$\dpi{120} 6$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 36>0$	minimum

$\dpi{120} W\left ( A \right )=W\left ( 0,0 \right )=\begin{vmatrix} 0 & -6\\ -6 & 0 \end{vmatrix}=0-36=-36$

$\dpi{120} W\left ( B \right )=W\left ( 0,2 \right )=\begin{vmatrix} 0 & 6\\ 6 & 0 \end{vmatrix}=0-36=-36$

$\dpi{120} W\left ( C \right )=W\left (-1,1 \right )=\begin{vmatrix} -6 & 0\\ 0 & -6 \end{vmatrix}=36-0=36$

$\dpi{120} W\left ( D \right )=W\left (1,1 \right )=\begin{vmatrix} 6 & 0\\ 0 & 6 \end{vmatrix}=36-0=36$

W punktach $\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$ i $\dpi{120} B=\left ( 0,2 \right )$ nie ma ekstremum, gdyż wyznacznik $\dpi{120} W<0$ w obydwu przypadkach.

W punkcie $\dpi{120} C=\left ( -1,1 \right )$ mamy maksimum, gdyż $\dpi{120} f''_{xx}\left ( C \right )<0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( C \right )<0$ .

W punkcie $\dpi{120} D=\left ( 1,1 \right )$ mamy minimum, gdyż $\dpi{120} f''_{xx}\left ( D \right )>0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( D \right )>0$ .

Na koniec liczymy wartości tych ekstremów.

$\dpi{120} f_{max}\left ( -1,1 \right )=\left (-1 \right )^{3}+3\cdot \left (-1 \right )\cdot 1^{2}-6\cdot \left (-1 \right )\cdot 1+1=3$

$\dpi{120} f_{min}\left ( 1,1 \right )=1^{3}+3\cdot 1\cdot 1^{2}-6\cdot 1\cdot 1+1=-1$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=x^{3}-y^{3}+6xy+12,$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D:\mathbb{R}^{2}$

2. Liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

$\dpi{120} f'_{x}\left ( x,y \right )=3x^{2}+6y$

$\dpi{120} f'_{y}\left ( x,y \right )=-3y^{2}+6x$

3. Tworzymy i rozwiązujemy układ równań $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} f'_{x}\left ( x,y \right )=0\\ f'_{y}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 3x^{2}+6y=0/:3\\ -3y^{2}+6x=0/:3\end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x^{2}+2y=0\\ -y^{2}+2x=0\end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=-\frac{x^{2}}{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \\ -\left ( -\frac{x^{2}}{2} \right )^{2}+2x=0\end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=-\frac{x^{2}}{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \\ -\frac{x^{4}}{4} +2x=0/\cdot 4\end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=-\frac{x^{2}}{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \\ -x^{4} +8x=0\end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=-\frac{x^{2}}{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ -x\left (x^{3} -8 \right )=0\Rightarrow x_{1}=0\; \vee \; x_{2}=2\end{matrix}\right.$

Dla $\dpi{120} x_{1}=0$ mamy:

$y_{1}=-\frac{0^{2}}{2}=0$

Otrzymaliśmy punkt stacjonarny: $\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$ .

Dla $\dpi{120} x_{2}=2$ otrzymujemy:

$y_{2}=-\frac{2^{2}}{2}=-2$

Otrzymaliśmy kolejny punkt stacjonarny: $\dpi{120} B=\left ( 2,-2\right )$ .

4. Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=\left ( 3x^{2}+6y \right )'_{x}=6x$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=\left ( -3y^{2}+6x \right )'_{y}=-6y$

$\dpi{120} f''_{xy}\left ( x,y \right )=\left ( 3x^{2}+6y \right )'_{y}=6$

$\dpi{120} f''_{yx}\left ( x,y \right )=\left ( -3y^{2}+6x\right )'_{x}=6$

5. Sprawdzamy znak wyznacznika $\dpi{120} W\left ( x,y \right )=\begin{vmatrix} f''_{xx}\left ( x,y \right ) & f''_{xy}\left ( x,y \right )\\ f''_{yx}\left ( x,y \right )& f''_{yy}\left ( x,y \right ) \end{vmatrix}$ . Ponieważ otrzymaliśmy 2 punkty stacjonarne, więc najwygodniej jest zebrać wyniki w tabeli:

	$\dpi{120} f''_{xx}$	$\dpi{120} f''_{yy}$	$\dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}$	$\dpi{120} W$	Wnioski
$\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 0$	$6$	$\dpi{120} -36<0$	brak ekstremum
$B=\left ( 2,-2 \right )$	$12$	$12$	$6$	$108>0$	minimum

$\dpi{120} W\left ( A \right )=W\left ( 0,0 \right )=\begin{vmatrix} 0 & 6\\ 6 & 0 \end{vmatrix}=0-36=-36$

$\dpi{120} W\left ( B \right )=W\left ( 2,-2 \right )=\begin{vmatrix} 12 & 6\\ 6 & 12 \end{vmatrix}=144-36=108$

W punkcie $\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$ nie ma ekstremum, gdyż wyznacznik $\dpi{120} W<0$ .

W punkcie $\dpi{120} B=\left ( 2,-2 \right )$ mamy minimum, gdyż $\dpi{120} f''_{xx}\left ( B \right )>0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( B \right )>0$ .

Na koniec liczymy wartość tego minimum.

$\dpi{120} f_{min}\left ( 2,-2 \right )=2^{3}-\left ( -2 \right )^{3}+6\cdot 2\cdot \left ( -2 \right )+12=-20$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=x^{3}-2y^{3}-6x+18y+20,$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D:\mathbb{R}^{2}$

2. Liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

$\dpi{120} f'_{x}\left ( x,y \right )=3x^{2}-6$

$\dpi{120} f'_{y}\left ( x,y \right )=-6y^{2}+18$

3. Tworzymy i rozwiązujemy układ równań $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} f'_{x}\left ( x,y \right )=0\\ f'_{y}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 3x^{2}-6=0/:3\\ -6y^{2}+18=0 /:6 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x^{2}-2=0\Rightarrow x_{1}=-\sqrt{2}\; \vee \; x_{2}=\sqrt{2}\\ -y^{2}+3=0 \Rightarrow y_{1}=-\sqrt{3}\; \vee \; y_{2}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.$

Zachodzi tu inny przypadek niż poprzednio. Otrzymujemy cztery punkty stacjonarne:

$\dpi{120} A=\left ( -\sqrt{2},-\sqrt{3} \right );\; B=\left ( -\sqrt{2},\sqrt{3} \right );\; C=\left ( \sqrt{2},-\sqrt{3} \right );\; D=\left ( \sqrt{2} ,\sqrt{3}\right )$

4. Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=\left ( 3x^{2}-6 \right )'_{x}=6x$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=\left ( -6y^{2}+18\right )'_{y}=-12y$

$\dpi{120} f''_{xy}\left ( x,y \right )=\left ( 3x^{2}-6 \right )'_{y}=0$

$\dpi{120} f''_{yx}\left ( x,y \right )=\left ( -6y^{2}+18 \right )'_{x}=0$

	$\dpi{120} f''_{xx}$	$\dpi{120} f''_{yy}$	$\dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}$	$\dpi{120} W$	Wnioski
$\dpi{120} A=\left ( -\sqrt{2},-\sqrt{3} \right )$	$\dpi{120} -6\sqrt{2}$	$\dpi{120} 12\sqrt{3}$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} -72\sqrt{6}<0$	brak ekstremum
$\dpi{120} B=\left ( -\sqrt{2},\sqrt{3} \right )$	$\dpi{120} -6\sqrt{2}$	$\dpi{120} -12\sqrt{3}$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 72\sqrt{6}>0$	maksimum
$\dpi{120} C=\left ( \sqrt{2},-\sqrt{3} \right )$	$\dpi{120} 6\sqrt{2}$	$\dpi{120} 12\sqrt{3}$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 72\sqrt{6}>0$	minimum
$\dpi{120} D=\left ( \sqrt{2},\sqrt{3} \right )$	$\dpi{120} 6\sqrt{2}$	$\dpi{120} -12\sqrt{3}$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} -72\sqrt{6}<0$	brak ekstremum

$\dpi{120} W\left ( A \right )=W\left (-\sqrt{2},-\sqrt{3}\right )=\begin{vmatrix} -6\sqrt{2} & 0\\ 0 & 12\sqrt{3} \end{vmatrix}=-72\sqrt{6}$

$\dpi{120} W\left ( B \right )=W\left (-\sqrt{2},\sqrt{3}\right )=\begin{vmatrix} -6\sqrt{2} & 0\\ 0 & -12\sqrt{3} \end{vmatrix}=72\sqrt{6}$

$\dpi{120} W\left ( C \right )=W\left (\sqrt{2},-\sqrt{3}\right )=\begin{vmatrix} 6\sqrt{2} & 0\\ 0 & 12\sqrt{3} \end{vmatrix}=72\sqrt{6}$

$\dpi{120} W\left ( D \right )=W\left (\sqrt{2},\sqrt{3}\right )=\begin{vmatrix} 6\sqrt{2} & 0\\ 0 & -12\sqrt{3} \end{vmatrix}=-72\sqrt{6}$

W punktach $\dpi{120} A=\left ( -\sqrt{2},-\sqrt{3} \right )$ i $\dpi{120} D=\left ( \sqrt{2},\sqrt{3} \right )$ nie ma ekstremum, gdyż wyznacznik $\dpi{120} W<0$ w obydwu przypadkach.

W punkcie $\dpi{120} B=\left ( -\sqrt{2},\sqrt{3}\right )$ mamy maksimum, gdyż $\dpi{120} f''_{xx}\left ( B \right )<0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( B \right )<0$ .

W punkcie $\dpi{120} C=\left ( \sqrt{2},-\sqrt{3} \right )$ mamy minimum, gdyż $\dpi{120} f''_{xx}\left ( C \right )>0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( C \right )>0$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=x^{2}\left ( y+1 \right )+2y^{3}+5y^{2},$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D:\mathbb{R}^{2}$

2. Liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

$\dpi{120} f'_{x}\left ( x,y \right )=2x\left ( y+1 \right )$

$\dpi{120} f'_{y}\left ( x,y \right )=x^{2}\cdot 1+6y^{2}+10y=x^{2}+6y^{2}+10y$

3. Tworzymy i rozwiązujemy układ równań $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} f'_{x}\left ( x,y \right )=0\\ f'_{y}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x\left ( y+1 \right )=0\Rightarrow x=0\; \vee \; y=-1 \\ x^{2}+6y^{2} +10y=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Rozpatrujemy dwa przypadki. Pierwszy, dla $\dpi{120} x=0$ ; drugi dla $\dpi{120} y=-1$ .

dla $\dpi{120} x=0$ . Wstawiając do drugiego równania mamy:

$\dpi{120} 0^{2}+6y^{2}+10y=0$

$\dpi{120} 2y\left ( 3y+5 \right )=0$

$\dpi{120} y_{1}=0\; \vee \; y_{2}=-\frac{5}{3}$

Otrzymaliśmy dwa punkty stacjonarne: $\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$ oraz $\dpi{120} B=\left ( 0,-\frac{5}{3} \right )$ .

dla $\dpi{120} y=-1$ otrzymujemy:

$\dpi{120} x^{2}+6\cdot \left ( -1 \right )^{2}+10\cdot \left ( -1 \right )=0$

$\dpi{120} x^{2}-4=0$

$\dpi{120} x_{1}=-2\; \vee \; x_{2}=2$

Otrzymaliśmy dwa kolejne punkty stacjonarne: $\dpi{120} C=\left ( -2,-1 \right )$ oraz $\dpi{120} D=\left ( 2,-1 \right )$ .

4. Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=\left ( 2x\left ( y+1 \right ) \right )'_{x}=2\left ( y+1 \right )$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=\left ( x^{2}+6y^{2}+10y\right )'_{y}=12y+10$

$\dpi{120} f''_{xy}\left ( x,y \right )=\left ( 2x\left ( y+1 \right )\right )'_{y}=2x\cdot 1=2x$

$\dpi{120} f''_{yx}\left ( x,y \right )=\left ( x^{2}+6y^{2}+10y \right )'_{x}=2x$

Nie jest przypadkiem, że $\dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}$ . Równość ta wynika z twierdzenia Schwartza. Pochodne mieszane są równe, gdy funkcja $\dpi{120} f$ jest ciągłą.

	$\dpi{120} f''_{xx}$	$\dpi{120} f''_{yy}$	$\dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}$	$\dpi{120} W$	Wnioski
$\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$	$\dpi{120} 2$	$\dpi{120} 10$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 20>0$	minimum
$\dpi{120} B=\left ( 0,-\frac{5}{3} \right )$	$\dpi{120} -\frac{4}{3}$	$\dpi{120} -10$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} \frac{40}{3}>0$	maksimum
$\dpi{120} C=\left ( -2,-1 \right )$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} -2$	$\dpi{120} -4$	$\dpi{120} -16<0$	brak ekstremum
$\dpi{120} D=\left ( 2,-1 \right )$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} -2$	$\dpi{120} 4$	$\dpi{120} -16<0$	brak ekstremum

$\dpi{120} W\left ( A \right )=W\left (0,0\right )=\begin{vmatrix} 2 & 0\\ 0 & 10\end{vmatrix}=20$

$\dpi{120} W\left ( B \right )=W\left (0,-\frac{5}{3}\right )=\begin{vmatrix} -\frac{4}{3} & 0\\ 0 & -10 \end{vmatrix}=\frac{40}{3}$

$\dpi{120} W\left ( C \right )=W\left (-2,-1\right )=\begin{vmatrix}0 & -4\\ -4 & -2 \end{vmatrix}=0-16=-16$

$\dpi{120} W\left ( D \right )=W\left (2,-1\right )=\begin{vmatrix} 0 & 4\\ 4 & -2 \end{vmatrix}=-16$

W punktach $\dpi{120} C=\left ( -2,-1\right )$ i $\dpi{120} D=\left ( 2,-1 \right )$ nie ma ekstremum, gdyż wyznacznik $\dpi{120} W<0$ w obydwu przypadkach.

W punkcie $\dpi{120} B=\left ( 0,-\frac{5}{3}\right )$ mamy maksimum, gdyż $\dpi{120} f''_{xx}\left ( B \right )<0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( B \right )<0$ .

W punkcie $\dpi{120} A=\left ( 0,0 \right )$ mamy minimum, gdyż $\dpi{120} f''_{xx}\left ( A \right )>0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( A \right )>0$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} f\left ( x,y \right )=e^{\frac{x}{3}}\cdot \left ( x+y^{2} \right ).$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D:\mathbb{R}^{2}$

2. Liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

$\dpi{120} f'_{x}\left ( x,y \right )=\left (e^{\frac{x}{3}} \right )'_{x}\cdot\left ( x+y^{2} \right ) +e^{\frac{x}{3}}\cdot \left ( x+y^{2} \right )'_{x}=e^{\frac{x}{3}}\cdot \frac{1}{3}\cdot \left ( x+y^{2} \right )+e^{\frac{x}{3}}\cdot 1=$

$\dpi{120} =e^{\frac{x}{3}}\left ( \frac{1}{3}x +\frac{1}{3}y^{2}+1\right )$

$\dpi{120} f'_{y}\left ( x,y \right )=e^{\frac{x}{3}}\cdot 2y$

3. Tworzymy i rozwiązujemy układ równań $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} f'_{x}\left ( x,y \right )=0\\ f'_{y}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} e^{\frac{x}{3}}\left ( \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y^{2}+1 \right )=0\\ e^{\frac{x}{3}}\cdot 2y=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Ponieważ $\dpi{120} e^{\frac{x}{3}}>0$ , więc czynnik ten możemy pominąć w naszych równaniach. Mamy wówczas:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y^{2}+1=0\\ 2y=0\Rightarrow y=0 \; \; \end{matrix}\right.$

Wstawiając do pierwszego równania otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\cdot 0^{2}+1=0\\ y=0 \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=0 \; \; \; \end{matrix}\right.$

Otrzymaliśmy jeden punkt stacjonarny $\dpi{120} A=\left ( -3,0 \right )$ .

4. Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

$\dpi{120} f''_{xx}\left ( x,y \right )=\left ( e^{\frac{x}{3}}\left ( \frac{1}{3} x+\frac{1}{3}y^{2}+1\right )\right )'_{x}=\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}\left ( \frac{1}{3} x+\frac{1}{3}y^{2}+1\right )+e^{\frac{x}{3}}\cdot \frac{1}{3}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}\left ( \frac{1}{3} x+\frac{1}{3}y^{2}+1+1\right )=\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}\left ( \frac{1}{3} x+\frac{1}{3}y^{2}+2\right )$

$\dpi{120} f''_{yy}\left ( x,y \right )=\left ( e^{\frac{x}{3}}\cdot 2y\right )'_{y}=2e^{\frac{x}{3}}$

$\dpi{120} f''_{xy}\left ( x,y \right )=\left ( e^{\frac{x}{3}}\left ( \frac{1}{3} x+\frac{1}{3}y^{2}+1\right )\right )'_{y}=e^{\frac{x}{3}}\cdot \frac{2}{3}y$

$\dpi{120} f''_{yx}\left ( x,y \right )=\left ( e^{\frac{x}{3}}\cdot 2y \right )'_{x}=\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}\cdot 2y=\frac{2}{3}ye^{\frac{x}{3}}$

Nie jest przypadkiem, że $\dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}$ . Równość ta wynika z twierdzenia Schwartza. Pochodne mieszane są równe, gdy funkcja $\dpi{120} f$ jest ciągłą.

5. Sprawdzamy znak wyznacznika $\dpi{120} W\left ( x,y \right )=\begin{vmatrix} f''_{xx}\left ( x,y \right ) & f''_{xy}\left ( x,y \right )\\ f''_{yx}\left ( x,y \right )& f''_{yy}\left ( x,y \right ) \end{vmatrix}$ w punkcie $\dpi{120} A=\left ( -3,0 \right )$ . Mamy:

$\dpi{120} W\left ( -3,0 \right )=\begin{vmatrix} f''_{xx}\left ( -3,0 \right ) & f''_{xy}\left (-3,0 \right )\\ f''_{yx}\left ( -3,0 \right )& f''_{yy}\left ( -3,0 \right ) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{1}{3} e^{-1}& 0\\ 0 & 2e^{-1} \end{vmatrix}=\frac{2}{3}e^{-2}>0$

Stąd wniosek, że w punkcie $\dpi{120} A=\left ( -3,0 \right )$ jest ekstremum i jest to minimum lokalne, gdyż $\dpi{120} f''_{xx}\left ( A \right )>0$ i $\dpi{120} f''_{yy}\left ( A \right )>0$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń