Równania o rozdzielonych zmiennych – teoria

Data wpisu 26 października 2019 przez Joanna Piasecka

Jest to podstawowe równanie różniczkowe, które pojawia się później w innych typach równań. Jak sama nazwa wskazuje, w równaniu tym daje się rozdzielić zmienne $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ . Staramy się, aby po lewej stronie znalazła się zmienna $\dpi{120} y$ , zaś po prawej zmienna $\dpi{120} x$ .

Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych ma postać:

$równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych$

Uwzględniając, że $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ mamy:

$\dpi{120} \frac{dy}{dx}=\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( y \right )}$

Rozdzielamy zmienne:

$\dpi{120} g\left ( y \right )dy=f\left ( x \right )dx$

Całkujemy obustronnie:

$\dpi{120} \int g\left ( y \right )dy=\int f\left ( x \right )dx$

Otrzymujemy rozwiązanie ogólne (całkę ogólną) w postaci uwikłanej:

$\dpi{120} G\left ( y \right )=F\left ( x,C \right )$

Jeżeli potrafimy stąd obliczyć $\dpi{120} y$ , to otrzymamy całkę ogólną w postaci jawnej:

$\dpi{120} y=\varphi \left ( x,C \right )$

Zapraszamy do zadań! tutaj