Równania o rozdzielonych zmiennych (zadania)

Mamy 2 zadania. W pierwszym zadaniu rozwiązujemy kolejno równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych od przykładów łatwych do coraz trudniejszych. Dobrze jest przestudiować wszystkie przykłady (łatwe również), gdyż pojawiają się w nich pewne przekształcenia, które później pojawiają się dosyć często. Znajdujemy tutaj tzw. rozwiązanie ogólne. W zadaniu drugim dochodzi nam warunek początkowy nazywany również zagadnieniem Cauchy’ego. W zadaniu tym szukamy tzw. rozwiązania szczególnego.

Zadanie 1. Rozwiązać równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych:

1) $\dpi{120} y'=y^{2}+1,$

Rozwiązanie

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{dy}{dx}=y^{2}+1/:\left ( y^{2}+1 \right )$

Rozdzielamy zmienne: po lewej stronie musi znaleźć się zmienna $\dpi{120} y$ , po prawej zmienna $\dpi{120} x$ . Zatem dzielimy równanie stronami przez $\dpi{120} y^{2}+1$ . Częsty błąd to przenoszenie $\dpi{120} y^{2}$ na lewą stronę. Pamiętajmy, że zawsze musimy dostać postać iloczynową różniczki $\dpi{120} dy$ i funkcji zmiennej $\dpi{120} y$ (analogicznie po prawej stronie: iloczyn $\dpi{120} dx$ i funkcji zmiennej $\dpi{120} x$ ). Zatem:

$\dpi{120} \frac{1}{y^{2}+1}\cdot \frac{dy}{dx}=1/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{1}{y^{2}+1}dy=1dx$

Zmienne zostały rozdzielone, możemy całkować równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y^{2}+1}dy=\int 1dx$

Liczymy obydwie całki:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y^{2}+1}dy=arc\, tg\, y+C_{1}$

$\dpi{120} \int 1dx=x+C_{2}$

Pamiętajmy o stałych, które w równaniach różniczkowych są bardzo ważne. W rozwiązaniu końcowym pojawi się stała $\dpi{120} C=C_{2}- C_{1}$ .

$\dpi{120} arc\, tg\, y=x+C,\; \; C\in \mathbb{R}$

Jest to rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej (całka ogólna). Jeżeli chcemy możemy wyliczyć z tej zależności $\dpi{120} y$ , ale nie jest to konieczne. Wówczas dostajemy rozwiązanie ogólne w postaci jawnej:

$\dpi{120} y=tg\, \left ( x+C \right ), \; \; C\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y'=-\frac{x}{y},$

Rozwiązanie

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}/\cdot y$

Rozdzielamy zmienne: po lewej stronie musi znaleźć się zmienna $\dpi{120} y$ , po prawej zmienna $\dpi{120} x$ . Zatem mnożymy równanie stronami przez $\dpi{120} y$ . Zatem:

$\dpi{120} y\cdot \frac{dy}{dx}=-x/\cdot dx$

$\dpi{120} ydy=-xdx$

Zmienne zostały rozdzielone, możemy całkować równanie stronami:

$\dpi{120} \int ydy=\int -xdx$

Liczymy obydwie całki:

$\dpi{120} \int ydy=\frac{y^{2}}{2}+C_{1}$

$\dpi{120} \int -xdx=-\frac{x^{2}}{2}+C_{2}$

Pamiętajmy o stałych, które w równaniach różniczkowych są bardzo ważne. W rozwiązaniu końcowym pojawi się stała $\dpi{120} C=C_{2}- C_{1}$ .

$\dpi{120} \frac{y^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{2}+C/\cdot 2,\; \; C\in \mathbb{R_{+}}$

$\dpi{120} y^{2}=-x^{2}+2C$

Wprowadzamy $\dpi{120} \widetilde{C}=2C,\; \widetilde{C}\in \mathbb{R_{+}}$ . Zatem:

$\dpi{120} y^{2}=-x^{2}+\widetilde{C},\; \; \widetilde{C}\in \mathbb{R_{+}}$

$\dpi{120} y^{2}+x^{2}=\widetilde{C},\; \; \widetilde{C}\in \mathbb{R}_{+}$

Jest to rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej (całka ogólna). $\dpi{120} \widetilde{C}\in \mathbb{R}_{+}$ gdyż dla $\dpi{120} \widetilde{C}$ ujemnego powyższy zapis byłby sprzecznością.

Geometrycznie, rozwiązaniem tego równania są okręgi o środku w punkcie $\dpi{120} \left (0,0 \right )$ i promieniu $\dpi{120} \sqrt{\widetilde{C}}$ . Są to tzw. krzywe całkowe.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y'=y^{2}-1,$

Rozwiązanie

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{dy}{dx}=y^{2}-1/:\left ( y^{2}-1 \right )$ o ile $\dpi{120} y\neq -1\; \wedge \; y\neq 1$

Ponieważ wyrzuciliśmy $\dpi{120} y=-1\; \wedge \; y= 1$ , więc należy sprawdzić czy te dwie funkcje są rozwiązaniami równania różniczkowego.

Sprawdzamy czy $\dpi{120} y=-1$ jest całką tego równania. Wówczas $\dpi{120} y'=0$ . Wstawiając do równania otrzymujemy tożsamość $\dpi{120} 0=\left ( -1 \right )^{2}-1\Leftrightarrow 0=0$ . Stąd $\dpi{120} y=-1$ jest rozwiązaniem równania.

Analogicznie sprawdzamy funkcję $\dpi{120} y=1\Rightarrow y'=0$ . Wstawiając otrzymujemy tożsamość $\dpi{120} 0=\left 1^{2}-1\Leftrightarrow 0=0$ . Czyli $\dpi{120} y=1$ jest rozwiązaniem równania.

Są to bardzo ważne założenia, choć wielu wykładowców przymyka na nie oko.

Wracamy do równania:

$\dpi{120} \frac{1}{y^{2}-1}\cdot \frac{dy}{dx}=1/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{1}{y^{2}-1}dy=dx$

Zmienne zostały rozdzielone, możemy całkować równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y^{2}-1}dy=\int dx$

Liczymy całki:

$\dpi{120} \int 1dx=x+C_{2}$

Całkę $\dpi{120} \int \frac{1}{y^{2}-1}dy$ liczymy jak całkę wymierną z $\dpi{120} \Delta >0$ . A więc:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y^{2}-1}dy=\int \frac{1}{\left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right )}dy=$

Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste:

$\dpi{120} \frac{1}{\left (y-1 \right )\left ( y+1 \right )}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+1}$

Wyliczamy stąd $\dpi{120} A=\frac{1}{2}$ oraz $\dpi{120} B=\frac{1}{2}$ . Całka zapisze się jako:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y^{2}-1}dy=\int \frac{1}{\left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right )}dy=\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y-1}+\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y+1}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\ln \left | y-1 \right |+\frac{1}{2}\ln \left | y+1 \right |=\frac{1}{2} \ln \left | \left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right ) \right |=\frac{1}{2 }\ln \left | y^{2}-1 \right |+C_{1}$

Wprowadzając $\dpi{120} C=C_{2}- C_{1}$ otrzymujemy rozwiązanie:

$\dpi{120} \frac{1}{2}\ln \left | y^{2}-1 \right |=x+C,\; \; C\in \mathbb{R}$

Jest to rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej (całka ogólna).

Jak widzimy do rozwiązywania równań różniczkowych potrzebna jest znajomość liczenia całek. Każde równanie kończy się właśnie liczeniem całki. Najczęściej wystarczające są dwie podstawowe metody: całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części, rzadziej całki funkcji wymiernych. Ale może oczywiście trafić się każdy inny typ całki. Stąd trudności w rozwiązywaniu równań. Należy łączyć wiadomości z różnych działów.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} y'=\frac{y}{x},$

Rozwiązanie

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}/:y$ o ile $\dpi{120} y\neq 0$

Ponieważ wyrzuciliśmy $\dpi{120} y=0$ , więc należy sprawdzić czy ta funkcja jest rozwiązaniami równania różniczkowego. Wówczas $\dpi{120} y'=0$ . Wstawiając do równania otrzymujemy tożsamość $\dpi{120} 0=\frac{0}{x}\Leftrightarrow 0=0$ . Stąd $\dpi{120} y=0$ jest rozwiązaniem równania.

Wracamy do równania:

$\dpi{120} \frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{1}{y}dy=\frac{1}{x} dx$

Zmienne zostały rozdzielone, możemy całkować równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y}dy=\int \frac{1}{x} dx$

Stad:

$\dpi{120} \ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+C_{1},\; \; C_{1}\in \mathbb{R}$

Wprawdzie równanie już zostało rozwiązane. Jest ono w postaci uwikłanej, ale nie należy tak go zostawiać. Teraz ważne przekształcenia, które należy zapamiętać, bo pojawiają się w wielu równaniach.

Zapiszmy $\dpi{120} C_{1}=\ln C_{2},\; \; C_{2}\in \mathbb{R}_{+}$ (dziedzina logarytmu). Mamy:

$\dpi{120} \ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+\ln C_{2} ,\; \; C_{2}\in \mathbb{R_{+}}$

Korzystamy z własności logarytmu $\dpi{120} \ln \left (x\cdot y \right )= \ln x+\ln y$ . Stąd:

$\dpi{120} \ln \left | y \right |=\ln \left C_{2}| x \right |,\; \; C_{2}\in \mathbb{R_{+}}$

Następnie:

$\dpi{120} \left | y \right |=\left C_{2}| x \right |,\; \; C_{2}\in \mathbb{R_{+}}$

Opuszczając wartość bezwzględną oraz dołączając rozwiązanie $\dpi{120} y=0$ otrzymujemy rozwiązanie końcowe:

$\dpi{120} y =C\cdot \left | x \right |,\; \; C\in \mathbb{R}$

W ostatnim kroku zastosowaliśmy niewielki skrót, ale wchodzenie w większe szczegóły jest zbędne. Zauważmy, że rozwiązanie $\dpi{120} y=0$ otrzymujemy z powyższego rozwiązania dla $\dpi{120} C=0$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} y'=e^{x+y},$

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy równanie w innej formie korzystając z własności potęg:

$\dpi{120} y'=e^{x}\cdot e^{y}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{dy}{dx}=e^{x}\cdot e^{y}/:e^{y}$

Tutaj żadne założenia nie są potrzebne, gdyż $\dpi{120} e^{y}>0$ .

$\dpi{120} \overset{=e^{-y}}{\overbrace{\frac{1}{e^{y}}}}\cdot \frac{dy}{dx}=e^{x}/\cdot dx$

$\dpi{120} e^{-y}dy=e^{x}dx$

Zmienne zostały rozdzielone, możemy całkować równanie stronami:

$\dpi{120} \int e^{-y}dy=\int e^{x}dx$

Stąd rozwiązanie ogólne równania to:

$\dpi{120} -e^{-y}=e^{x}+C,\; \; C\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} e^{y}\left ( 1+x^{2}\right )y'-2x\left ( 1+e^{y} \right )=0,$

Rozwiązanie

Wyrażenia zawierające pochodną zostawiamy po stronie lewej, pozostałe przenosimy na stronę prawą:

$\dpi{120} e^{y}\left ( 1+x^{2}\right )y'=2x\left ( 1+e^{y} \right )$

Rozdzielamy zmienne tak, aby po lewej stronie pozostała tylko zmienna $\dpi{120} y$ , po prawej zmienna $\dpi{120} x$ .

$\dpi{120} e^{y}\left ( 1+x^{2}\right )y'=2x\left ( 1+e^{y} \right )/:\left ( 1+e^{y} \right )$ założenie niepotrzebne, gdyż $\dpi{120} 1+e^{y}>0$

$\dpi{120} \frac{e^{y}\left ( 1+x^{2}\right )y'}{1+e^{y}}=2x/:\left ( 1+x^{2} \right )$

$\dpi{120} \frac{e^{y}}{1+e^{y}}\cdot y'=\frac{2x}{1+x^{2}}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{e^{y}}{1+e^{y}}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+x^{2}}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{e^{y}}{1+e^{y}}dy=\frac{2x}{1+x^{2}} dx$

Całkujemy stronami:

$\dpi{120} \int \frac{e^{y}}{1+e^{y}}dy=\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx$

A więc teraz tylko 🙂 kwestia policzenia całek. Są bardzo łatwe, jeżeli pamiętamy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{f'\left ( x \right )}{f\left ( x \right )}dx=\ln \left | f\left ( x \right ) \right |$

Zauważmy, że w obydwu całkach w liczniku występuje pochodna mianownika, więc możemy zastosować powyższy wzór. Inny sposób to metoda przez podstawienie i wprowadzenie za mianownik nowej zmiennej. Na pewno dłużej, dlatego warto pamiętać 🙂 pewne dopuszczalne wzory. Mamy:

$\dpi{120} \ln \left ( 1+e^{y} \right )= \ln \left ( 1+x^{2} \right )+C_{1},\; \; C_{1}\in \mathbb{R}$

Przekształcenia jak w podpunkcie 4): $\dpi{120} C_{1}=\ln C_{2},\; \; C_{2}\in \mathbb{R}_{+}$

$\dpi{120} \ln \left ( 1+e^{y} \right )= \ln \left ( 1+x^{2} \right )+\ln C_{2},\; \; C_{2}\in \mathbb{R_{+}}$

$\dpi{120} \ln \left ( 1+e^{y} \right )= \ln C_{2}\left ( 1+x^{2} \right ),\; \; C_{2}\in \mathbb{R_{+}}$

$\dpi{120} \left ( 1+e^{y} \right )= C_{2}\left ( 1+x^{2} \right ),\; \; C_{2}\in \mathbb{R_{+}}$

Jest to nasze rozwiązanie ogólne równania różniczkowego.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} tg\, x\cdot \sin ^{2}y+y'\cdot \cos ^{2}x\cdot ctg\, y=0,$

Rozwiązanie

Wyrażenia zawierające pochodną zostawiamy po stronie lewej, pozostałe przenosimy na stronę prawą:

$\dpi{120} y'\cdot \cos ^{2}x\cdot ctg\, y=-tg\, x\cdot \sin ^{2}y$

Rozdzielamy zmienne tak, aby po lewej stronie pozostała tylko zmienna $\dpi{120} y$ , po prawej zmienna $\dpi{120} x$ .

$\dpi{120} y'\cdot \cos ^{2}x\cdot ctg\, y=-tg\, x\cdot \sin ^{2}y/:\sin ^{2}y$ o ile $\dpi{120} \sin y\neq 0\Rightarrow y\neq 0$ , $\dpi{120} y=0$ – rozwiązanie

$\dpi{120} \frac{y'\cdot \cos ^{2}x\cdot ctg\, y}{\sin ^{2}y}=-tg\, x/:\cos ^{2}x$

$\dpi{120} \frac{ ctg\, y}{\sin ^{2}y}\cdot y'=-\frac{tg\, x}{\cos ^{2}x}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{ ctg\, y}{\sin ^{2}y}\cdot \frac{dy}{dx}=-\frac{tg\, x}{\cos ^{2}x}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{ ctg\, y}{\sin ^{2}y}dy=-\frac{tg\, x}{\cos ^{2}x} dx$

Całkujemy stronami:

$\dpi{120} \int \frac{ ctg\, y}{\sin ^{2}y}dy=-\int \frac{tg\, x}{\cos ^{2}x} dx/\cdot \left ( -1 \right )$

$\dpi{120} -\int \frac{ ctg\, y}{\sin ^{2}y}dy=\int \frac{tg\, x}{\cos ^{2}x} dx$

Liczymy całki:

$\dpi{120} -\int \frac{ ctg\, y}{\sin ^{2}y}dy=\begin{Bmatrix} ctg\, y=t\\ -\frac{1}{\sin ^{2}y}dy=dt\\ dy=- \sin ^{2}ydt \end{Bmatrix}=-\int \frac{t}{\sin ^{2}y}\cdot \left ( - \sin ^{2} y\right )dt=$

$\dpi{120} =\int tdt=\frac{t^{2}}{2}=\frac{1}{2}ctg^{2}y+C_{1}$

Analogicznie drugą:

$\dpi{120} \int \frac{ tg\, x}{\cos ^{2}x}dx=\begin{Bmatrix} tg\, x=t\\ \frac{1}{\cos ^{2}x}dx=dt\\ dx=- \sin ^{2}xdt \end{Bmatrix}=\int \frac{t}{\cos ^{2}x}\cdot \cos ^{2} xdt=$

$\dpi{120} =\int tdt=\frac{t^{2}}{2}=\frac{1}{2}tg^{2}x+C_{2}$

Wstawiamy do równania:

$\dpi{120} \frac{1}{2}ctg^{2}y=\frac{1}{2}tg^{2}x+\widetilde{C}/\cdot 2,\; \; \widetilde{C}\in \mathbb{R}$

$\dpi{120} ctg^{2}y=tg^{2}x+2\widetilde{C}/\cdot 2,\; \; \widetilde{C}\in \mathbb{R},\; C=2\widetilde{C}$

$\dpi{120} ctg^{2}y=tg^{2}x+C,\; \; C\in \mathbb{R}$

oraz $\dpi{120} y=0$ , które nie zawiera się w powyższym rozwiązaniu.

Jest to nasze rozwiązanie ogólne równania różniczkowego.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} \left ( 1+x^{2} \right )yy'=x\left ( 1+y^{2} \right ),$

Rozwiązanie

Rozdzielamy zmienne:

$\dpi{120} \left ( 1+x^{2} \right )yy'=x\left ( 1+y^{2} \right )/:\left ( 1+y^{2} \right )$

$\dpi{120} \frac{\left ( 1+x^{2} \right )yy'}{1+y^{2}}=x/:\left ( 1+x^{2} \right )$

$\dpi{120} \frac{y}{1+y^{2}}\cdot y'=\frac{x}{1+x^{2}}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$

$\dpi{120} \frac{y}{1+y^{2}}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{x}{1+x^{2}}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{y}{1+y^{2}}dy=\frac{x}{1+x^{2}} dx$

Zmienne zostały rozdzielone, możemy całkować równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{y}{1+y^{2}}dy=\int \frac{x}{1+x^{2}} dx$

Zauważmy, że w licznikach ułamków jest ”prawie” pochodna mianownika. Zapiszmy całki inaczej tak, aby móc skorzystać ze wzoru:

$\dpi{120} \int \frac{f'\left ( x \right )}{f\left ( x \right )}dx=\ln \left | f\left ( x \right ) \right |$

$\dpi{120} \frac{1}{2}\int \frac{2y}{1+y^{2}}dy=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx$

Wykorzystując powyższy wzór otrzymujemy:

$\dpi{120} \frac{1}{2}\ln \left ( 1+y^{2} \right )=\frac{1}{2}\ln \left ( 1+x^{2} \right )+C_{1}/\cdot 2,\; \; C_{1}\in \mathbb{R}$

$\dpi{120} \ln \left ( 1+y^{2} \right )=\ln \left ( 1+x^{2} \right )+2C_{1},\; \; C_{1}\in \mathbb{R}$

Wprowadzamy $\dpi{120} 2C_{1}=\ln C,\; C\in \mathbb{R}_{+}$ . Mamy:

$\dpi{120} \ln \left ( 1+y^{2} \right )=\ln \left ( 1+x^{2} \right )+\ln C,\; \; C\in \mathbb{R_{+}}$

Wykorzystujemy własność logarytmu $\dpi{120} \ln \left (x\cdot y \right )= \ln x+\ln y$ :

$\dpi{120} \ln \left ( 1+y^{2} \right )=\ln C\left ( 1+x^{2} \right ),\; \; C\in \mathbb{R_{+}}$

$\dpi{120} 1+y^{2} = C\left ( 1+x^{2} \right ),\; \; C\in \mathbb{R_{+}}$

Jest to nasze rozwiązanie ogólne równania różniczkowego.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

9) $\dpi{120} y'=2xy^{2}-x^{2}y',$

Rozwiązanie

Przenosimy na lewą stronę wyrazy zawierające pochodną $\dpi{120} y'$ :

$\dpi{120} y'+x^{2}y'=2xy^{2}$

Po lewej stronie równania wyłączamy $\dpi{120} y'$ przed nawias:

$\dpi{120} y'\left (1+x^{2} \right )=2xy^{2}$

Rozdzielamy zmienne:

$\dpi{120} y'\left (1+x^{2} \right )=2xy^{2}/:\left ( 1+x^{2} \right )$

$\dpi{120} y'=\frac{2xy^{2}}{1+x^{2}}/:y^{2}$ o ile $\dpi{120} y\neq 0,\; y=0$ – rozwiązanie równania

$\dpi{120} \frac{1}{y^{2}}\cdot y'=\frac{2x}{1+x^{2}}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$

$\dpi{120} \frac{1}{y^{2}}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+x^{2}}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{1}{y^{2}}dy=\frac{2x}{1+x^{2}} dx$

Zmienne zostały rozdzielone, całkujemy równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y^{2}}dy=\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx$

Liczymy całki:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y^{2}}dy=\int y^{-2}dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}+C_{1}$

$\dpi{120} \int \frac{2x}{1+x^{2}}dx=\ln \left ( 1+x^{2} \right )+C_{2}$

Wstawiając do równania otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej:

$\dpi{120} -\frac{1}{y}=\ln \left ( 1+x^{2} \right )+C,\; \; C\in \mathbb{R}$

oraz $\dpi{120} y=0$ , które nie zawiera się w powyższym rozwiązaniu.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

10) $\dpi{120} y+xy+\left ( x-xy \right )y'=0.$

Rozwiązanie

Przenosimy na prawą stronę wyrazy nie zawierające pochodnej $\dpi{120} y'$ :

$\dpi{120} \left ( x-xy \right )y'=-y-xy$

Po lewej stronie równania wyłączamy $\dpi{120} x$ przed nawias, po prawej $\dpi{120} y$ :

$\dpi{120} x\left ( 1-y \right )y'=y\left ( -1-x \right )$

Rozdzielamy zmienne:

$\dpi{120} x\left ( 1-y \right )y'=y\left ( -1-x \right )/:x$

$\dpi{120} \left ( 1-y \right )y'=\frac{y\left ( -1-x \right )}{x}/:y,\; \; \;$ $\dpi{120} y\neq 0,\; y=0$ – rozwiązanie równania

$\dpi{120} \frac{\left ( 1-y \right )y'}{y}=\frac{ -1-x }{x}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$

$\dpi{120} \frac{ 1-y }{y}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{ -1-x }{x}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{ 1-y }{y}dy=\frac{ -1-x }{x}dx$

Zmienne zostały rozdzielone, całkujemy równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{ 1-y }{y}dy=\int \frac{ -1-x }{x}dx$

Liczymy całki:

$\dpi{120} \int \frac{1-y}{y}dy=\int \left ( \frac{1}{y}-1 \right )dy=\ln \left | y \right |-y+C_{1}$

$\dpi{120} \int \frac{-1-x}{x}dx=\int \left ( -\frac{1}{x}-1 \right )dx=-\ln \left | x \right |-x+C_{2}$

Wstawiając do równania otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej:

$\dpi{120} \ln \left | y \right |-y=-\ln \left | x \right |-x+C,\; \; C\in \mathbb{R}$ oraz $\dpi{120} y=0$ , które nie zawiera się w powyższym rozwiązaniu.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Rozwiązać równanie różniczkowe z warunkiem początkowym (zagadnienie Cauchy’ego):

1) $\dpi{120} y'+2xy=x,\; \; y\left ( 0 \right )=\frac{3}{2},$

Rozwiązanie

W stosunku do poprzedniego zadania dochodzi nam jeszcze tzw. warunek początkowy nazywany również zagadnieniem Cauchy’ego. Najpierw rozwiązujemy równanie i znajdujemy jego rozwiązanie ogólne. Na koniec wykorzystujemy podany w zadaniu warunek początkowy. Wstawiamy go do rozwiązania ogólnego i wyliczamy stałą. Otrzymujemy tzw. rozwiązanie szczególne równania różniczkowego.

Rozwiązujemy równanie. Po lewej jego stronie zostawiamy jedynie wyrazy zawierające pochodną.Pozostałe przenosimy na stronę prawą:

$\dpi{120} y'=x-2xy$

Po prawej stronie wyłączamy $\dpi{120} x$ przed nawias:

$\dpi{120} y'=x\left (1-2y \right )/:\left ( 1-2y \right )$ o ile $\dpi{120} 1-2y\neq 0\Rightarrow y\neq \frac{1}{2}, y=\frac{1}{2}$ – rozwiązanie równania

$\dpi{120} \frac{1}{1-2y}\cdot y'=x$

Wstawiamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{1}{1-2y}\cdot \frac{dy}{dx}=x/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{1}{1-2y}dy=x dx$

Zmienne zostały rozdzielone, całkujemy równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{1}{1-2y}dy=\int x dx$

Do całki po lewej stronie równania wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln \left | ax+b \right |$

Czyli:

$\dpi{120} \int \frac{1}{1-2y}dy=-\frac{1}{2}\ln \left | 1-2y \right |+C_{1}$

Rozwiązanie ogólne będzie miało postać:

$\dpi{120} -\frac{1}{2}\ln \left | 1-2y \right |=\frac{1}{2}x^{2}+\widetilde{C}/\cdot 2,\; \; \widetilde{C}\in \mathbb{R}$

$\dpi{120} -\ln \left | 1-2y \right |=x^{2}+2\widetilde{C},\; \; 2\widetilde{C}=C,\; \; C\in \mathbb{R}$

$\dpi{120} -\ln \left | 1-2y \right |=x^{2}+C,\; \; C\in \mathbb{R}$ – rozwiązanie ogólne

Wykorzystujemy teraz warunek początkowy $\dpi{120} y\left ( \overset{x}{\overbrace{{\color{Red} 0}}} \right )=\overset{y}{\overbrace{{\color{Blue} \frac{3}{2}}}}$ .

$\dpi{120} -\ln \left | 1-2\cdot {\color{Blue} \frac{3}{2}} \right |={\color{Red} 0}^{2}+C$

$\dpi{120} -\ln \left | -2 \right |=C$

$\dpi{120} C=-\ln 2$

Wstawiamy $\dpi{120} C=-\ln 2$ do rozwiązania ogólnego i otrzymujemy rozwiązanie szczególne:

$\dpi{120} -\ln \left | 1-2y \right |=x^{2}-\ln 2$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y'+x^{2}y=5x^{2},\; \; y\left ( 0 \right )=6,$

Rozwiązanie

Rozwiązujemy równanie. Po lewej jego stronie zostawiamy jedynie wyrazy zawierające pochodną.Pozostałe przenosimy na stronę prawą:

$\dpi{120} y'=5x^{2}-x^{2}y$

Po prawej stronie wyłączamy $\dpi{120} x^{2}$ przed nawias:

$\dpi{120} y'=x^{2}\left (5-y \right )/:\left ( 5-y \right )$ o ile $\dpi{120} 5-y\neq 0\Rightarrow y\neq 5,\; y=5$ – rozwiązanie równania

$\dpi{120} \frac{1}{5-y}\cdot y'=x^{2}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{1}{5-y}\cdot \frac{dy}{dx}=x^{2}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{1}{5-y}dy=x^{2} dx$

Zmienne zostały rozdzielone, całkujemy równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{1}{5-y}dy=\int x^{2} dx$

Do całki po lewej stronie równania wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln \left | ax+b \right |$

Czyli:

$\dpi{120} \int \frac{1}{5-y}dy=-\ln \left | 5-y \right |+C_{1}$

Rozwiązanie ogólne będzie miało postać:

$\dpi{120} -\ln \left | 5-y \right |=\frac{1}{3}x^{3}+C,\; \; C\in \mathbb{R}$ – rozwiązanie ogólne

Wykorzystujemy teraz warunek początkowy $\dpi{120} y\left ( \overset{x}{\overbrace{{\color{Red} 0}}} \right )=\overset{y}{\overbrace{{\color{Blue} 6}}}$ .

$\dpi{120} -\ln \left | 5-{\color{Blue} 6} \right |=\frac{1}{3}\cdot {\color{Red} 0}^{3}+C$

$\dpi{120} -\ln \left | -1\right |=C$

$\dpi{120} C=-\ln 1$

$\dpi{120} C=0$

Wstawiamy $\dpi{120} C=0$ do rozwiązania ogólnego i otrzymujemy rozwiązanie szczególne:

$\dpi{120} -\ln \left | 5-y \right |=\frac{1}{3}x^{3}+0$

$\dpi{120} -\ln \left | 5-y \right |=\frac{1}{3}x^{3}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y'ctg\, x=y\ln y,\; \; y\left ( \frac{\pi }{3} \right )=e,$

Rozwiązanie

Rozwiązujemy równanie:

$\dpi{120} y'ctg\, x=y\ln y/:y\ln y$ o ile $\dpi{120} y\neq 0\: \wedge \: y\neq 1,\; y=0\: \wedge \: y=1$ – rozwiązania równania

$\dpi{120} \frac{1}{y\ln y}\cdot y'ctg\, x=1/: ctg\, x$

$\dpi{120} \frac{1}{y\ln y}\cdot y'=\frac{1}{ctg\, x}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$ :

$\dpi{120} \frac{1}{y\ln y}\cdot \frac{dy}{dx}=tg\, x/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{1}{y\ln y}dy=tg\, xdx$

Zmienne zostały rozdzielone, całkujemy równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y\ln y}dy=\int tg\, xdx$

Liczymy całki:

$\dpi{120} \int \frac{1}{y\ln y}dy=\begin{Bmatrix} \ln y=t\\ \frac{1}{y}dy=dt\\ dy=ydt \end{Bmatrix}=\int \frac{1}{yt}\cdot ydt=\int \frac{1}{t}dt= \ln \left | t \right |= \ln \left | \ln \left | y \right | \right |+C_{1}$

$\dpi{120} \int tg\, xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\begin{Bmatrix} \cos x=t\\ -\sin xdx=dt\\ dx=-\frac{dt}{ \sin x} \end{Bmatrix}=\int \frac{ \sin x}{t}\cdot \left ( -\frac{dt}{\sin x} \right )=$

$\dpi{120} =-\int \frac{dt}{t}=-\ln \left | t \right |=-\ln \left | \cos x \right |+C_{2}$

Wstawiamy do równania:

$\dpi{120} \ln \left | \ln \left | y \right | \right |=- \ln \left | \cos x \right |+\widetilde{C},\; \; \widetilde{C}\in \mathbb{R}$

$\dpi{120} \ln \left | \ln \left | y \right | \right |=\ln \left | \cos x \right |^{-1}+\widetilde{C}$

Wprowadzamy $\dpi{120} \widetilde{C}=\ln \widetilde{\widetilde{C}},\; \; \widetilde{\widetilde{C}}\in \mathbb{R}_{+}$

$\dpi{120} \ln \left | \ln \left | y \right | \right |=\ln \left | \cos x \right |^{-1}+\ln \widetilde{\widetilde{C}}$

$\dpi{120} \ln \left | \ln \left | y \right | \right |=\ln \widetilde{\widetilde{C}}\left | \cos x \right |^{-1}$

$\dpi{120} \ln \left | y \right | = \frac{C}{\cos x},\; \; C\in \mathbb{R}$ – rozwiązanie ogólne

Wstawiamy warunek początkowy $\dpi{120} y\left ( \frac{\pi }{3}\right )=e$ .

$\dpi{120} \overset{=1}{\overbrace{\ln \left | e \right | }}= \frac{C}{\underset{=\frac{1}{2}}{{\underbrace{\cos \frac{\pi }{3}}}}}$

$\dpi{120} C=2$

Wstawiamy $\dpi{120} C=2$ do rozwiązania ogólnego i otrzymujemy rozwiązanie szczególne:

$\dpi{120} \ln \left | y \right | = \frac{2}{\cos x}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} x\left ( y+1 \right )y'=y,\; \; y\left ( e \right )=1,$

Rozwiązanie

Rozdzielamy zmienne:

$\dpi{120} x\left ( y+1 \right )y'=y/:x$

$\dpi{120} \left ( y+1 \right )y'=\frac{y}{x}/:y$ o ile $\dpi{120} y\neq 0,\; \; y=0$ – rozwiązanie równania

$\dpi{120} \frac{ y+1}{y}\cdot y'=\frac{1}{x}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$

$\dpi{120} \frac{ y+1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{ y+1}{y}dy=\frac{1}{x} dx$

Zmienne zostały rozdzielone, całkujemy równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{ y+1}{y}dy=\int \frac{1}{x} dx$

Liczymy całkę po lewej stronie równania:

$\dpi{120} \int \frac{ y+1}{y}dy=\int \left ( 1+\frac{1}{y} \right )dy=y+\ln \left | y \right |+C_{1}$

Wstawiamy do równania:

$\dpi{120} y+\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+C,\; \; C\in \mathbb{R}$ – rozwiązanie ogólne

Wykorzystujemy warunek początkowy $\dpi{120} y\left ( e \right )=1$ . Mamy:

$\dpi{120} 1+\overset{=0}{\overbrace{\ln \left | 1 \right |}}=\overset{=1}{\overbrace{\ln \left | e \right |}}+C$

$\dpi{120} C=0$

Wstawiając $\dpi{120} C=0$ do rozwiązanie ogólnego otrzymujemy rozwiązanie szczególne:

$\dpi{120} y+\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+0$

$\dpi{120} y+\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} y\cos x-\left ( 1+y^{2} \right )y'\sin x=0,\; \; y\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1.$

Rozwiązanie

Rozdzielamy zmienne:

$\dpi{120} -\left ( 1+y^{2} \right )y'\sin x=-y\cos x/:\left ( -\sin x \right )$

$\dpi{120} \left ( 1+y^{2} \right )y'=\frac{y\cos x}{\sin x}/:y$ o ile $\dpi{120} y\neq 0,\; \; y=0$ – rozwiązanie równania

$\dpi{120} \frac{ 1+y^{2} }{y}\cdot y'=\frac{\cos x}{\sin x}$

Wprowadzamy $\dpi{120} y'=\frac{dy}{dx}$

$\dpi{120} \frac{ 1+y^{2} }{y}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{\cos x}{\sin x}/\cdot dx$

$\dpi{120} \frac{ 1+y^{2} }{y}dy=\frac{\cos x}{\sin x} dx$

Zmienne zostały rozdzielone, całkujemy równanie stronami:

$\dpi{120} \int \frac{ 1+y^{2} }{y}dy=\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

Liczymy całki:

$\dpi{120} \int \frac{ 1+y^{2} }{y}dy=\int \left ( \frac{1}{y}+y \right )dy=\ln \left | y \right |+\frac{1}{2}y^{2}+C_{1}$

$\dpi{120} \int \frac{\cos x}{\sin x} dx=\begin{Bmatrix} \sin x=t\\ \cos xdx=dt\\ dx=\frac{dt}{ \cos x} \end{Bmatrix}=\int \frac{ \cos x}{t}\cdot \frac{dt}{ \cos x}=\int \frac{dt}{t}=$

$\dpi{120} =\ln \left | t \right |=\ln \left | \sin x \right |+C_{2}$

Wstawiamy do równania:

$\dpi{120} \ln \left | y \right |+\frac{1}{2}y^{2}= \ln \left | \sin x \right |+C,\; \; C\in \mathbb{R}$ – rozwiązanie ogólne

Wykorzystujemy warunek początkowy $\dpi{120} y\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1$ . Otrzymujemy:

$\dpi{120} \overset{=0}{\overbrace{\ln \left | 1 \right |}}+\frac{1}{2}\cdot 1^{2}= \overset{=0}{\overbrace{\ln \left | \underset{=1}{\underbrace{\sin \frac{\pi }{2}}} \right |}}+C$