Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – wzory

Schemat badania ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych:

1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji.

2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu \dpi{120} f'_{x}, \dpi{120} f'_{y}.

3. Rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (warunek konieczny istnienia ekstremum):

warunek konieczny ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych

Rozwiązaniem układu są tzw. punkty stacjonarne \dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right ).

4. Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu \dpi{120} f''_{xx},\: f''_{yy},\: f''_{xy},\: f''_{yx}. Powinniśmy otrzymać \dpi{120} f''_{xy}=f''_{yx}.

5. Sprawdzamy znak wyznacznika w punktach stacjonarnych:

wrońskian

a) jeśli \dpi{120} W\left ( x_{0},y_{0} \right )<0, to w punkcie \dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right ) nie ma ekstremum.

b) jeśli \dpi{120} W\left ( x_{0},y_{0} \right )>0, to w punkcie \dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right ) jest ekstremum. Przechodzimy do punktu 6.

6. Sprawdzamy czy w punkcie \dpi{120} \left (x_{0},y_{0} \right ) mamy minimum czy maksimum. Jeśli

a) \dpi{120} f''_{xx}\left ( x_{0},y_{0} \right )<0 i \dpi{120} f''_{yy}\left ( x_{0},y_{0} \right )<0, to \dpi{120} f ma maksimum lokalne,

b) \dpi{120} f''_{xx}\left ( x_{0},y_{0} \right )>0 i \dpi{120} f''_{yy}\left ( x_{0},y_{0} \right )>0, to \dpi{120} f ma minimum lokalne.

Zapraszamy do zadań! tutaj