Iloczyn skalarny i wektorowy (teoria)

Dla prostoty pomijamy znak wektora nad $\dpi{120} x$ , czyli: $\dpi{120} \vec{x}=x$ .

ILOCZYN SKALARNY

DEFINICJA 1.

Niech $\dpi{120} X$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\dpi{120} \mathbb{R}$ . Odwzorowanie

$\dpi{120} \left ( \cdot ,\cdot \right ):X\times X\ni \left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x,y \right )\in \mathbb{R}$

spełniające dla dowolnych $\dpi{120} x,y,z\in X$ i dowolnego $\dpi{120} \alpha \in \mathbb{R}$ następujące warunki:

1) $\dpi{120} \left ( x,y \right )=\left ( y,x \right )$

2) $\dpi{120} \left ( x+y,z \right )=\left ( x,z \right )+\left ( y,z \right )$ i $\dpi{120} \left ( x,y+z \right )=\left ( x,y \right )+\left ( x,z \right )$

3) $\dpi{120} \left ( \alpha x,y \right )=\left ( x,\alpha y \right )=\alpha \left ( x,y \right )$

4) $\dpi{120} \left (x,x \right )\geqslant 0$ i $\dpi{120} \left ( x,x \right )=0\Leftrightarrow x=0$

nazywamy iloczynem skalarnym.

Iloczyn skalarny wektorów przyjęło się również oznaczać $\dpi{120} x\circ y$ .

A więc iloczyn skalarny jest to funkcja określona na parze wektorów o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych.

Dla dwóch wektorów $\dpi{120} x=\left [ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right ]$ i $\dpi{120} y=\left [ y_{1},y_{2},...,y_{n} \right ]$ z przestrzeni $\dpi{120} \mathbb{R}^{n}$ iloczyn skalarny określamy jako

$\dpi{120} \left ( x,y \right )=x\circ y=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}.$

Przestrzeń wektorowa $\dpi{120} \mathbb{R}^{n}$ , w której określony jest powyższy iloczyn skalarny, nazywa się przestrzenią euklidesową $\dpi{120} E$ .

UWAGA. Nie jest to jedyne możliwe określenie iloczynu skalarnego w przestrzeni $\dpi{120} \mathbb{R}^{n}$ . Innymi przykładami iloczynów skalarnych np. w $\dpi{120} \mathbb{R}^{2}$ są

1. $\dpi{120} \left ( x,y \right )=\left ( \left [ x_{1},x_{2} \right ], \left [ y_{1},y_{2} \right ]\right )=x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+2x_{2}y_{2},$

2. $\dpi{120} \left ( x,y \right )=\left ( \left [ x_{1},x_{2} \right ], \left [ y_{1},y_{2} \right ]\right )=x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{1}+7x_{2}y_{2}.$

DEFINICJA 2.

Funkcję o wartościach rzeczywistych określoną na przestrzeni wektorowej $\dpi{120} X$ spełniającą dla dowolnych $\dpi{120} x,y\in X$ i dowolnego $\dpi{120} \alpha \in \mathbb{R}$ następujące warunki:

1) $\dpi{120} \left \| x \right \|\geqslant 0$ i $\dpi{120} \left \| x \right \|=0\Leftrightarrow x=0$

2) $\dpi{120} \left \| \alpha x \right \|=\left | \alpha \right |\cdot \left \| x \right \|$

3) $\dpi{120} \left \| x+y \right \|\leqslant \left \| x \right \|+\left \| y \right \|$ – nierówność trójkąta

nazywamy normą.

W szczególnym przypadku w przestrzeni wektorowej $\dpi{120} \mathbb{R}^{n}$ norma wyraża się wzorem:

$\dpi{120} \left \| x \right \|=\sqrt{\left ( x,x \right )}.$

Kątem między wektorami $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ nazywamy liczbę $\dpi{120} \varphi\in \left \langle 0,\pi \right \rangle$ taką, że:

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{\left ( x,y \right )}{\left \| x \right \|\cdot \left \| y \right \|}.$

Związek ten możemy zapisać inaczej:

$\dpi{120} \left ( x,y \right )=\left \| x \right \|\cdot \left \| y \right \|\cdot \cos \varphi .$

Widzimy stąd, że jeżeli $\dpi{120} \varphi =\frac{\pi }{2}$ , to iloczyn skalarny równy jest $\dpi{120} 0$ i odwrotnie. Wektory $\dpi{120} x,y\in X$ są ortogonalne (prostopadłe) wtedy i tylko wtedy, gdy $\dpi{120} \left ( x,y \right )=0$ .

W przestrzeni euklidesowej $\dpi{120} \mathbb{R}^{n}$ z bazą kanoniczną norma wektora $\dpi{120} x=\left [ x_{1}, x_{2},...,x_{n}\right ]$ oznacza długość wektora $\dpi{120} x$ , którą oznaczamy $\dpi{120} \left | x \right |$ . Stąd:

$\dpi{120} \left | x \right |=\sqrt{\left ( x,x \right )}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}.$

ILOCZYN WEKTOROWY

Niech $\dpi{120} x=\left [ x_{1}, x_{2}, x_{3} \right ]$ i $\dpi{120} y=\left [ y_{1}, y_{2}, y_{3} \right ]$ będą niewspółliniowymi wektorami przestrzeni $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ .

DEFINICJA 3.

Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ nazywamy wektor $\dpi{120} v=x\times y$ , który spełnia warunki:

1) $\dpi{120} v$ jest wektorem prostopadłym do $\dpi{120} x$ i do $\dpi{120} y$

2) jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ , tzn. $\dpi{120} \left | v \right |=\left | x \right |\cdot \left | y \right |\cdot \sin \varphi,$ gdzie $\dpi{120} \varphi$ jest kątem miedzy wektorami $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$

3) orientacja trójki wektorów $\dpi{120} x,y,v$ jest zgodna z orientacją układu współrzędnych $\dpi{120} Oxyz$ .

Składowe wektora $\dpi{120} v=x\times y$ obliczamy ze wzoru

$\dpi{120} x\times y=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ x_{1}& x_{2} & x_{3}\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{vmatrix},$

gdzie $\dpi{120} e_{1}=\left [ 1,0,0 \right ],e_{2}=\left [ 0,1,0 \right ],e_{3}=\left [ 0,0,1 \right ]$ .

Własności iloczynu wektorowego:

1) $\dpi{120} x\times y=-\left ( y\times x \right )$ – antyprzemienność

2) $\dpi{120} x\times \left ( y+z \right )=\left ( x\times y \right )+\left ( x\times z \right )$

3) $\dpi{120} \left (\alpha x \right )\times y=\alpha \left ( x\times y \right )$ .

Iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym $\dpi{120} x\times y=0$ , gdy jeden z jego wektorów jest zerowy lub wektory $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ są równoległe.

ILOCZYN MIESZANY

DEFINICJA 4.

Iloczynem mieszanym trójki wektorów $\dpi{120} x=\left [ x_{1}, x_{2}, x_{3} \right ]$ , $\dpi{120} y=\left [ y_{1}, y_{2}, y_{3} \right ]$ i $\dpi{120} z=\left [ z_{1}, z_{2}, z_{3} \right ]$ nazywamy liczbę $\dpi{120} \left ( x,y,z \right )$ będącą iloczynem skalarnym $\dpi{120} \left ( x\times y,z \right )=\left ( x\times y \right )\circ z=\left ( x,y,z \right )$ .

Własności iloczynu mieszanego wynikają z własności iloczynu skalarnego i wektorowego. Liczymy go ze wzoru:

$\dpi{120} \left ( x,y,z \right )=\begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} &x_{3} \\ y_{1} & y_{2} &y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{vmatrix}.$

Jeżeli iloczyn mieszany $\dpi{120} \left ( x,y,z \right )=0$ , to wektory $\dpi{120} x,y,z$ są liniowo zależne, a to oznacza, że leżą one w jednej płaszczyźnie w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ . Jeżeli $\dpi{120} \left ( x,y,z \right )\neq 0$ , to wektory $\dpi{120} x,y,z$ nie są współpłaszczyznowe.