Baza przestrzeni wektorowej (zadania)

Mamy 4 zadania. Zadania 1 i 2 dotyczą pojęcia bazy i wykorzystują niezależność liniową wektorów wchodzących w skład bazy. Są bardzo proste. W zadaniu 3 i 4 zapisujemy wektory w różnych bazach. Podstawą jest tutaj znajomość pojęcia kombinacji liniowej wektorów. Zadania nie są również skomplikowane.

Zadanie 1. Zbadać, czy dane wektory tworzą bazę przestrzeni wektorowej $\dpi{120} \large \mathbb{R}^{3}$ .

1) $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 2,4,9 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 3,5,-5 \right ],$

Rozwiązanie

Wiemy, że baza kanoniczna w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ składa się z trzech wektorów, wobec tego każda inna baza tej przestrzeni musi zawierać trzy wektory. A więc wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 2,4,9 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 3,5,-5 \right ]$ nie mogą stanowić bazy w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 3,2,-1 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,-2,1 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ -1,3,2 \right ],$

Rozwiązanie

Aby wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 3,2,-1 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,-2,1 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ -1,3,2 \right ]$ stanowiły bazę w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ muszą być liniowo niezależne. Wiemy już, że wektory są liniowo niezależne, gdy wyznacznik macierzy, której wierszami (bądź kolumnami, nie ma znaczenia) są dane wektory, jest różny od zera. Wobec tego obliczmy wyznacznik:

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} 3 & 2 & -1\\ 2 & -2 & 1\\ -1& 3 & 2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 3 & 2\\ 2& -2\\ -1& 3 \end{matrix}=-12-2-6+2-9-8=-35\neq 0$

Stąd wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 3,2,-1 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,-2,1 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ -1,3,2 \right ]$ stanowią bazę w przestrzeni $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 3,2,4 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,1,1 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ -1,0,2 \right ],$

Rozwiązanie

Aby wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 3,2,4 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,1,1 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ -1,0,2 \right ]$ stanowiły bazę w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ muszą być liniowo niezależne. Wiemy już, że wektory są liniowo niezależne, gdy wyznacznik macierzy, której wierszami (bądź kolumnami, nie ma znaczenia) są dane wektory, jest różny od zera. Wobec tego obliczmy wyznacznik:

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 4\\ 2 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 3 & 2\\ 2& 1\\ -1&0 \end{matrix}=6-2+0+4-0-8=0$

A więc wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 3,2,4 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,1,1 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ -1,0,2 \right ]$ nie mogą stanowić bazy w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 1,3,6 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,-3,4 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ 1,-6,-2\right ].$

Rozwiązanie

Aby wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 1,3,6 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,-3,4 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ 1,-6,-2\right ]$ stanowiły bazę w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ muszą być liniowo niezależne. Wiemy już, że wektory są liniowo niezależne, gdy wyznacznik macierzy, której wierszami (bądź kolumnami, nie ma znaczenia) są dane wektory, jest różny od zera. Wobec tego obliczmy wyznacznik:

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 6\\ 2& -3 & 4\\ 1 & -6& -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 &3 \\ 2& -3\\ 1 & -6 \end{matrix}=6+12-72+18+24+12=0$

A więc wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{1}}=\left [ 1,3,6 \right ],\; \overrightarrow{x_{2}}=\left [ 2,-3,4 \right ],\; \overrightarrow{x_{3}}=\left [ 1,-6,-2\right ]$ nie mogą stanowić bazy w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Określić dla jakiej wartości parametru $\dpi{120} \large k$ dane wektory tworzą bazę w przestrzeni $\dpi{120} \large \mathbb{R}^{3}$ :

1) $\dpi{120} \left [ 1,3,1 \right ],\; \left [ k,0,-1 \right ],\; \left [ 2,k,0 \right ],$

Rozwiązanie

Aby te wektory stanowiły bazę w przestrzeni $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ muszą być liniowo niezależne, a to z kolei oznacza, że wyznacznik macierzy z nich utworzonych musi być różny od zera. Zatem:

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1\\ k& 0 & -1\\ 2 & k& 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 3\\ k &0 \\ 2& k \end{matrix}=0-6+k^{2}-0+k-0=k^{2}+k-6$

Powiedzieliśmy, że wyznacznik ma być różny od zera, więc:

$\dpi{120} k^{2}+k-6\neq 0$

$\dpi{120} \Delta =1-4\cdot \left ( -6 \right )=25$

$\dpi{120} k_{1}=\frac{-1-5}{2\cdot 1}=-3$

$\dpi{120} k_{2}=\frac{-1+5}{2\cdot 1}=2$

Wynika stąd, że dla $\dpi{120} k\neq -3$ i $\dpi{120} k\neq 2$ wektory tworzą bazę w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \left [ 0,1,k \right ],\; \left [k,0,1 \right ],\; \left [ k,1,1+k \right ],$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} 0 &1 & k\\ k & 0 & 1\\ k& 1 & 1+k \end{vmatrix}\begin{matrix} 0 &1 \\ k& 0\\ k & 1 \end{matrix}=0+k+k^{2}-0-0-k\cdot \left ( 1+k \right )=0$

Stąd dla żadnego $\dpi{120} k\in \mathbb{R}$ wektory nie tworzą bazy w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \left [ 3,0,k \right ],\; \left [ 2k,-1,k \right ],\; \left [ 2,1,-1 \right ].$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} 3 &0 &k \\ 2k &-1 & k\\ 2 & 1& -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 3 & 0\\ 2k& -1\\ 2 & 1 \end{matrix}=3+0+2k^{2}+2k-3k-0=2k^{2}-k+3$

Powiedzieliśmy, że wyznacznik ma być różny od zera, więc:

$\dpi{120} 2k^{2}-k+3\neq 0$

$\dpi{120} \Delta =1-4\cdot 2\cdot 3=-23$

Ponieważ $\dpi{120} \Delta <0$ , więc wyznacznik jest zawsze różny od zera. Wynika stąd, że dla dowolnego $\dpi{120} k\in \mathbb{R}$ wektory tworzą bazę w $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Znaleźć współrzędne wektora $\dpi{120} \large \left [ 2,3,1,4 \right ]\in \mathbb{R}^{4}$ w podanej bazie $\dpi{120} \large \mathbb{R}^{4}$ .

1) $\dpi{120} \left [ 1,5,1,4 \right ],\: \left [ 1,0,6,7 \right ],\: \left [ 1,3,4,8 \right ],\: \left [ 1,5,2,6 \right ],$

Rozwiązanie

Aby znaleźć przedstawienie wektora $\dpi{120} \left [ 2,3,1,4 \right ]$ w bazie $\dpi{120} \left [ 1,5,1,4 \right ],\: \left [ 1,0,6,7 \right ],\: \left [ 1,3,4,8 \right ],\: \left [ 1,5,2,6 \right ]$ należy wyznaczyć takie $\dpi{120} \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ aby spełniony był warunek:

$\dpi{120} \alpha _{1}\cdot \left [ 1,5,1,4 \right ]+\alpha _{2}\cdot \left [ 1,0,6,7 \right ]+\alpha _{3}\cdot \left [ 1,3,4,8 \right ]+\alpha _{4}\cdot \left [ 1,5,2,6 \right ]=\left [ 2,3,1,4 \right ]$

Jest on równoważny układowi równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4}=2\\ 5\alpha _{1}+3\alpha _{3}+5\alpha _{4}=3\\ \alpha _{1}+6\alpha _{2}+4\alpha _{3}+2\alpha _{4}=1\\ 4\alpha _{1}+7\alpha _{2}+8\alpha _{3}+6\alpha _{4}=4 \end{matrix}\right.$

Znalezienie rozwiązania tego układu jest dosyć długie. Należy zastosować metodę wyznacznikową. Pojawią się w niej wyznaczniki stopnia 4, które należy liczyć z rozwinięcia Laplace’a. Dlatego też podamy tylko cząstkowe wyniki.

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 1 &1 & 1 & 1\\ 5 & 0 & 3 & 5\\ 1 & 6 & 4 &2 \\ 4 & 7 & 8 & 6 \end{vmatrix}=4$

$\dpi{120} W_{\alpha _{1}}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 &1 \\ 3 & 0& 3 & 5\\ 1& 6 & 4 &2 \\ 4 & 7& 8 & 6 \end{vmatrix}=50,\;\; \; W_{\alpha _{2}}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1& 1\\ 5 & 3 &3 & 5\\ 1& 1 & 4 & 2\\ 4 & 4 & 8 & 6 \end{vmatrix}=-10,$

$\dpi{120} W_{\alpha _{3}}=\begin{vmatrix} 1&1 & 2 & 1\\ 5 &0 & 3 & 5\\ 1 & 6 & 1 & 2\\ 4 & 7 & 4 & 6 \end{vmatrix}=39,\; \; \; W_{\alpha _{4}}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &2 \\ 5 & 0 & 3 & 3\\ 1 & 6& 4 & 1\\ 4 & 7 & 8 & 4 \end{vmatrix}=-71$

Stąd:

$\dpi{120} \alpha _{1}=\frac{W_{\alpha _{1}}}{W}=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}$

$\dpi{120} \alpha _{2}=\frac{W_{\alpha _{2}}}{W}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}$

$\dpi{120} \alpha _{3}=\frac{W_{\alpha _{3}}}{W}=\frac{39}{4}$

$\dpi{120} \alpha _{4}=\frac{W_{\alpha _{4}}}{W}=\frac{-71}{4}$

Zatem wektor ma współrzędne: $\dpi{120} \left [ \frac{25}{2} ,-\frac{5}{2},\frac{39}{4},-\frac{71}{4}\right ].$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \left [ 1,1,0,0 \right ],\: \left [ 2,4,1,0 \right ],\: \left [ 1,0,0,2 \right ],\: \left [ 2,5,3,4 \right ].$

Rozwiązanie

Aby znaleźć przedstawienie wektora $\dpi{120} \left [ 2,3,1,4 \right ]$ w bazie $\dpi{120} \left [ 1,1,0,0 \right ],\: \left [ 2,4,1,0 \right ],\: \left [ 1,0,0,2 \right ],\: \left [ 2,5,3,4 \right ]$ należy wyznaczyć takie $\dpi{120} \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ aby spełniony był warunek:

$\dpi{120} \alpha _{1}\cdot \left [ 1,1,0,0 \right ]+\alpha _{2}\cdot \left [ 2,4,1,0 \right ]+\alpha _{3}\cdot \left [ 1,0,0,2 \right ]+\alpha _{4}\cdot \left [ 2,5,3,4 \right ]=\left [ 2,3,1,4 \right ]$

Jest on równoważny układowi równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}+2\alpha _{2}+\alpha _{3}+2\alpha _{4}=2\\ \alpha _{1}+4\alpha _{2}+5\alpha _{4}=3\\ \alpha _{2}+3\alpha _{4}=1\\ 2\alpha _{3}+4\alpha _{4}=4 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 1 &2 & 1 & 2\\ 1 & 4 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 0 &3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}=-2$

$\dpi{120} W_{\alpha _{1}}=\begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 &2 \\ 3 & 4& 0 & 5\\ 1& 1 & 0 &3 \\ 4 & 0& 2 & 4\end{vmatrix}=16,\;\; \; W_{\alpha _{2}}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1& 2\\ 1 & 3 &0 & 5\\ 0& 1 & 0 & 3\\ 0 & 4 & 2 & 4 \end{vmatrix}=-8,$

$\dpi{120} W_{\alpha _{3}}=\begin{vmatrix} 1&2 & 2 & 2\\ 1 &4 & 3 & 5\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{vmatrix}=-8,\; \; \; W_{\alpha _{4}}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 &2 \\ 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 1& 0 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}=2$

Stąd:

$\dpi{120} \alpha _{1}=\frac{W_{\alpha _{1}}}{W}=\frac{16}{-2}=-8$

$\dpi{120} \alpha _{2}=\frac{W_{\alpha _{2}}}{W}=\frac{-8}{-2}=4$

$\dpi{120} \alpha _{3}=\frac{W_{\alpha _{3}}}{W}=\frac{-8}{-2}=4$

$\dpi{120} \alpha _{4}=\frac{W_{\alpha _{4}}}{W}=\frac{2}{-2}=-1$

Zatem wektor ma współrzędne: $\dpi{120} \left [ -8,4,4,-1\right ].$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Znaleźć przedstawienie dowolnego wektora $\dpi{120} \large \left [ a,b \right ]\in \mathbb{R}^{2}$ w podanej bazie przestrzeni $\dpi{120} \large \mathbb{R}^{2}$ .

1) $\dpi{120} \left [ 1,2 \right ],\; \left [ 3,4 \right ],$

Rozwiązanie

Wektor $\dpi{120} \left [ a,b \right ]$ zapisze się w bazie $\dpi{120} \left [ 1,2 \right ],\left [ 3,4 \right ]$ jako:

$\dpi{120} \alpha _{1}\cdot \left [ 1,2 \right ]+\alpha _{2}\cdot \left [ 3,4 \right ]=\left [ a,b \right ]$

Zapis ten prowadzi do układu równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}+3\alpha _{2}=a\\ 2\alpha _{1}+4\alpha _{2}=b \end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy ten układ dowolną metodą, wyliczając $\dpi{120} \alpha _{1}$ i $\dpi{120} \alpha _{2}$ w zależności od $\dpi{120} a,b$ . Mamy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}=\frac{3b-4a}{2}\\ \alpha _{2}=\frac{2a-b}{2} \end{matrix}\right.$

Zatem, wektor $\dpi{120} \left [ a,b \right ]$ ma w bazie $\dpi{120} \left [ 1,2 \right ],\left [ 3,4 \right ]$ przedstawienie $\dpi{120} \left [ \frac{3b-4a}{2},\frac{2a-b}{2} \right ].$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \left [-1,3 \right ],\; \left [ 2,4 \right ],$

Rozwiązanie

Wektor $\dpi{120} \left [ a,b \right ]$ zapisze się w bazie $\dpi{120} \left [-1,3 \right ],\left [ 2,4 \right ]$ jako:

$\dpi{120} \alpha _{1}\cdot \left [ -1,3 \right ]+\alpha _{2}\cdot \left [ 2,4\right ]=\left [ a,b \right ]$

Zapis ten prowadzi do układu równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -\alpha _{1}+2\alpha _{2}=a\\ 3\alpha _{1}+4\alpha _{2}=b \end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy ten układ dowolną metodą, wyliczając $\dpi{120} \alpha _{1}$ i $\dpi{120} \alpha _{2}$ w zależności od $\dpi{120} a,b$ . Mamy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}=\frac{b-2a}{5}\\ \alpha _{2}=\frac{3a+b}{10} \end{matrix}\right.$

Zatem, wektor $\dpi{120} \left [ a,b \right ]$ ma w bazie $\dpi{120} \left [-1,3 \right ],\left [ 2,4 \right ]$ przedstawienie $\dpi{120} \left [ \frac{b-2a}{5},\frac{3a+b}{10} \right ].$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \left [ 4,5\right ],\; \left [-1,2 \right ].$

Rozwiązanie

Wektor $\dpi{120} \left [ a,b \right ]$ zapisze się w bazie $\dpi{120} \left [ 4,5\right ],\left [-1,2 \right ]$ jako:

$\dpi{120} \alpha _{1}\cdot \left [ 4,5 \right ]+\alpha _{2}\cdot \left [ -1,2\right ]=\left [ a,b \right ]$

Zapis ten prowadzi do układu równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 4\alpha _{1}-\alpha _{2}=a\\ 5\alpha _{1}+2\alpha _{2}=b \end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy ten układ dowolną metodą, wyliczając $\dpi{120} \alpha _{1}$ i $\dpi{120} \alpha _{2}$ w zależności od $\dpi{120} a,b$ . Mamy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}=\frac{2a+b}{13}\\ \alpha _{2}=\frac{4b-5a}{13} \end{matrix}\right.$

Zatem, wektor $\dpi{120} \left [ a,b \right ]$ ma w bazie $\dpi{120} \left [ 4,5\right ],\left [-1,2 \right ]$ przedstawienie $\dpi{120} \left [ \frac{2a+b}{13},\frac{4b-5a}{13} \right ].$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń