Całkowanie przez części (wzory)

Twierdzenie (całkowanie przez części)

Jeżeli funkcje $\dpi{120} f\left ( x \right )$ i $\dpi{120} g\left ( x \right )$ mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne $\dpi{120} f'\left ( x \right )$ i $\dpi{120} g'\left ( x \right )$ , to

$całkowanie przez części$

Wzory, które są konieczne przy całkowaniu przez części:

1) $\dpi{120} \int \sin axdx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$

2) $\dpi{120} \int \cos axdx=\frac{1}{a}\sin ax+C$

3) $\dpi{120} \int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$

Całkowanie przez części podzielimy na podstawowe trzy grupy.

Grupa I

Są to całki typu:

1) $\dpi{120} \int x^{n}\sin axdx,$

2) $\dpi{120} \int x^{n}\cos axdx,$

3) $\dpi{120} \int x^{n}e^{ax}dx.$

W tej grupie jako $\dpi{120} f\left ( x \right )$ i $\dpi{120} g'\left ( x \right )$ przyjmujemy: $\dpi{120} f\left ( x \right )=x^{n}$ oraz $\dpi{120} g'\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \sin ax\\ \cos ax\\ e^{ax}\; \; \; \end{matrix}\right..$

Okaże się, że im wyższa potęga $\dpi{120} x$ , tym dłuższe rozwiązanie.

Schemat rozwiązania na przykładzie $\dpi{120} \int x\sin 3xdx$ .

1. Przyjmujemy: $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x, & g'\left ( x \right )=\sin 3x\; \; \; \; \; \\ f'\left ( x \right )=1,& g\left ( x \right )=-\frac{1}{3}\cos 3x \end{Bmatrix}$

W drugiej linijce doliczamy odpowiednie ”uzupełnienia”. Do $\dpi{100} f\left ( x \right )$ doliczamy $\dpi{100} f'\left ( x \right )$ , zaś do $\dpi{100} g'\left ( x \right )$ doliczamy $\dpi{100} g\left ( x \right )$ , czyli całkujemy funkcję $\dpi{100} g'\left ( x \right )$ . Dlatego też są potrzebne wzory z wcześniejszej tabeli. U nas wzór 1).

2. Wstawiamy do wzoru na całkowanie przez części:

$\dpi{120} \int\overset{f\left ( x \right )}{\overbrace{ x}}\underset{g'\left ( x \right )}{\underbrace{\sin 3x}}dx=\overset{f\left ( x \right )}{\overbrace{x}}\cdot \left ( \underset{g\left ( x \right )}{\underbrace{-\frac{1}{3} \cos 3x}}\right )-\int \overset{f'\left ( x \right )}{\overbrace{1}}\cdot \left ( \underset{g\left ( x \right )}{\underbrace{-\frac{1}{3} \cos 3x }}\right )dx$

3. Stałe na początek wyrażenia oraz przed całkę (uważajmy na znaki):

$\dpi{120} \int x\sin 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{3}\int \cos 3xdx$

4. Całkę, która się pojawi jako drugi składnik sumy liczymy znowu ze wzorów z tabeli. U nas ze wzoru 2) $\dpi{120} \int \cos 3xdx=\frac{1}{3} \sin 3x+C_{1}$ . Zatem:

$\dpi{120} \int x\sin 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{1}{3}\sin 3x \right )+C$

Po redukcji:

$\dpi{120} \int x\sin 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{9} \sin 3x +C.$

Pokaż schemat

Zwiń

Grupa II

Są to całki typu: $\dpi{120} \int x^{n}\ln axdx.$

W tej grupie jako $\dpi{120} f\left ( x \right )$ i $\dpi{120} g'\left ( x \right )$ przyjmujemy: $\dpi{120} f\left ( x \right )=\ln ax$ oraz $\dpi{120} g'\left ( x \right )=x^{n}$ .

Okaże się, że potęga $\dpi{120} x$ nie ma wpływu na długość rozwiązania (w odróżnieniu od wcześniejszej grupy).

Schemat rozwiązania na przykładzie $\dpi{120} \int x^{27} \ln xdx$ :

1. Przyjmujemy: $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln x, & g'\left ( x \right )=x^{27}\\ f'\left ( x \right )=\frac{1}{x} ,& g\left ( x \right )=\frac{x^{28}}{28} \end{Bmatrix}$

2. Wstawiamy do wzoru na całkowanie przez części:

$\dpi{120} \int \overset{g'\left ( x \right )}{\overbrace{x^{27}}}\underset{f\left ( x \right )}{\underbrace{\ln x}}dx=\overset{g\left ( x \right )}{\overbrace{\frac{x^{28}}{28}}}\cdot \underset{f\left ( x \right )}{\underbrace{\ln x}}-\int \underset{f'\left ( x \right )}{\underbrace{\frac{1}{x}}}\cdot \overset{g\left ( x \right )}{\overbrace{\frac{x^{28}}{28}}}dx$

3. Stałe na początek wyrażenia i przed całkę oraz skracamy potęgi:

$\dpi{120} \int x^{27}\ln xdx=\frac{1}{28}x^{28} \ln x-\frac{1}{28}\int x^{27}dx$

4. Liczymy całkę $\dpi{120} \int x^{27}dx=\frac{x^{28}}{28}+C_{1}$ . Zatem:

$\dpi{120} \int x^{27}\ln xdx=\frac{1}{28}x^{28} \ln x-\frac{1}{28}\cdot \frac{1}{28}x^{28}+C.$

Pokaż schemat

Zwiń

Grupa III

Są to całki typu:

1) $\dpi{120} \int e^{ax}\sin bx\, dx,$

2) $\dpi{120} \int e^{ax}\cos bx\, dx.$

W grupie tej nieistotne jest co bierzemy za $\dpi{120} f\left ( x \right )$ i $\dpi{120} g'\left ( x \right )$ . Jak komu wygodniej. My umówmy się, że przyjmujemy $\dpi{120} f\left ( x \right )=e^{ax}$ , zaś $\dpi{120} g'\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \sin bx\\ \cos bx \end{matrix}\right.$ .

Schemat rozwiązania na przykładzie $\dpi{120} \int e^{2x}\sin 5xdx$ :

1. Przyjmujemy: $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{2x}, & g'\left ( x \right )=\sin 5x\\ f'\left ( x \right )=2e^{2x},& g\left ( x \right )=-\frac{1}{5}\cos 5x \end{Bmatrix}$

2. Wstawiamy do wzoru na całkowanie przez części:

$\dpi{120} \int \overset{f\left ( x \right )}{\overbrace{e^{2x}}}\underset{g'\left ( x \right )}{\underbrace{\sin 5x}}dx=\overset{f\left ( x \right )}{\overbrace{e^{2x}}}\cdot \left ( \underset{g\left ( x \right )}{\underbrace{-\frac{1}{5}\cos 5x}} \right )-\int\overset{f'\left ( x \right )}{\overbrace{2 e^{2x}}}\cdot \left (\underset{g\left ( x \right )}{\underbrace{ -\frac{1}{5} \cos 5x}}\right )dx$

Stałe na początek wyrażenia i przed całkę:

$\dpi{120} \int e^{2x}\sin 5xdx=-\frac{1}{5}e^{2x}\cos 5x+\frac{2}{5 }\int e^{2x} \cos 5xdx$

3. Drugi raz stosujemy wzór na całkowanie przez części do drugiej całki $\dpi{120} \int e^{2x}\cos 5xdx$ . Analogicznie do punktu 1. mamy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{2x}, & g'\left ( x \right )=\cos 5x\\ f'\left ( x \right )=2e^{2x},& g\left ( x \right )=\frac{1}{5}\sin 5x \end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int e^{2x}\cos 5xdx=e^{2x}\cdot \left ( \frac{1}{5}\sin 5x \right )-\int 2e^{2x}\cdot \left ( \frac{1}{5} \sin 5x\right )dx$

$\dpi{120} \int e^{2x}\cos 5xdx=\frac{1}{5}e^{2x}\sin 5x-\frac{2}{5}\int e^{2x} \sin 5xdx$

4. Wstawiamy wynik z 3. do wzoru $\dpi{120} \int e^{2x}\sin 5xdx=-\frac{1}{5}e^{2x}\cos 5x+\frac{2}{5 }\int e^{2x} \cos 5xdx$ . Mamy:

$\dpi{120} \int e^{2x}\sin 5xdx=-\frac{1}{5}e^{2x}\cos 5x+\frac{2}{5 }\left ( \frac{1}{5}e^{2x} \sin 5x-\frac{2}{5}\int e^{2x} \sin 5xdx\right )$

$\dpi{120} \int e^{2x}\sin 5xdx=-\frac{1}{5}e^{2x}\cos 5x+\frac{2}{25 } e^{2x} \sin 5x-\frac{4}{25}\int e^{2x} \sin 5xdx$

Zauważmy, że zawsze po lewej i po prawej stronie dostaniemy tę samą całkę. Całkę z prawej strony przenosimy na lewą stronę.

$\dpi{120} \int e^{2x}\sin 5xdx+\frac{4}{25}\int e^{2x} \sin 5xdx=-\frac{1}{5}e^{2x}\cos 5x+\frac{2}{25 } e^{2x} \sin 5x$

Redukcja

$\dpi{120} \frac{29}{25}\int e^{2x} \sin 5xdx=-\frac{1}{5}e^{2x}\cos 5x+\frac{2}{25 } e^{2x} \sin 5x/:\frac{29}{25}$

$\dpi{120} \int e^{2x} \sin 5xdx=-\frac{1}{5}\cdot \frac{25}{29}e^{2x}\cos 5x+\frac{2}{25 }\cdot \frac{25}{29} e^{2x} \sin 5x$

$\dpi{120} \int e^{2x} \sin 5xdx=-\frac{5}{29}e^{2x}\cos 5x+ \frac{2}{29} e^{2x} \sin 5x+C$

Pokaż schemat

Zwiń

Jest to bardzo ważny schemat. Długi, ale powtarzalny. Warto go zrozumieć, bo tego typu całki bardzo często pojawiają się na kolokwiach i egzaminach.

Zapraszamy do zadań! tutaj