Całkowanie przez części (zadania)

Mamy 5 zadań. Pierwsze trzy odpowiadają grupom, które wprowadziliśmy w zakładce Wzory tutaj, dlatego przed przystąpieniem do zadań należy zapoznać się ze schematami tam przedstawionymi. Zadanie 4 jest ”mieszanką” wszystkich grup. W zadaniu 5 najtrudniejszym znajdują się całki, w których należy zastosować dwie metody: zarówno przez części jak i przez podstawienie.

Zadanie 1. Oblicz całki (grupa I zakładka Wzory tutaj):

1) $\dpi{120} \int x\cos 4xdx,$

Rozwiązanie

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x, & g'\left ( x \right )=\cos 4x\\ f'\left ( x \right )=1, & g\left ( x \right )=\frac{1}{4}\sin 4x \end{Bmatrix}$ .

Drugi wiersz liczymy. Korzystamy ze wzorów z zakładki Wzory. Tutaj zastosowaliśmy wzór $\dpi{120} \int \cos axdx=\frac{1}{a}\sin ax+C$ .

2. Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części: $\dpi{120} \int f\left ( x \right )g'\left ( x \right )dx=f\left ( x \right )g\left ( x \right )-\int f'\left ( x \right )g\left ( x \right )dx$ . Zatem:

$\dpi{120} \int x\cos 4xdx=x\cdot \frac{1}{4}\sin 4x-\int 1\cdot \frac{1}{4} \sin 4xdx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{4}x\sin 4x-\frac{1}{4}\int \sin 4xdx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{4}x\sin 4x-\frac{1}{4}\cdot \left ( -\frac{1}{4}\cos 4x \right )+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{4}x\sin 4x+\frac{1}{16}\cos 4x +C.$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int x\cos 4xdx=\frac{1}{4}x\sin 4x+\frac{1}{16}\cos 4x+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int xe^{7x}dx,$

Rozwiązanie

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x, & g'\left ( x \right )=e^{7x}\\ f'\left ( x \right )=1, & g\left ( x \right )=\frac{1}{7}e^{7x}\end{Bmatrix}$ .

Drugi wiersz liczymy. Korzystamy ze wzorów z zakładki Wzory. Tutaj zastosowaliśmy wzór

$\dpi{120} \int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$

$\dpi{120} \int xe^{7x}dx=x\cdot \frac{1}{7}e^{7x}-\int 1\cdot \frac{1}{7} e^{7x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{7}xe^{7x}-\frac{1}{7}\int e^{7x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{7}xe^{7x}-\frac{1}{7}\cdot \left ( \frac{1}{7}e^{7x} \right )+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{7}xe^{7x}+\frac{1}{49}e^{7x} +C.$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int xe^{7x}dx=\frac{1}{7}xe^{7x}+\frac{1}{49}e^{7x}+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int x^{2}\sin 5xdx,$

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x^{2}, & g'\left ( x \right )=\sin 5x\\ f'\left ( x \right )=2x, & g\left ( x \right )=-\frac{1}{5}\cos 5x \end{Bmatrix}$

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

$\dpi{120} \int x^{2}\sin 5xdx=x^{2}\cdot \left ( -\frac{1}{5} \cos 5x\right )-\int 2x\cdot \left ( -\frac{1}{5} \cos 5x \right )dx=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{5}x^{2}\cos 5x+\frac{2}{5}\int x \cos 5xdx$

2. Ponieważ w całce mieliśmy $\dpi{120} x^{2}$ , więc po raz drugi całkujemy przez części do obliczenia całki $\dpi{120} \int x\cos 5xdx$ . Mamy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x, & g'\left ( x \right )=\cos 5x\\ f'\left ( x \right )=1, & g\left ( x \right )=\frac{1}{5}\sin 5x \end{Bmatrix}$

oraz

$\dpi{120} \int x\cos 5xdx=x\cdot \left ( \frac{1}{5} \sin 5x\right )-\int 1\cdot \left ( \frac{1}{5} \sin 5x \right )dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{5}x\sin 5x-\frac{1}{5}\int \sin 5xdx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{5}x\sin 5x-\frac{1}{5}\cdot \left ( -\frac{1}{5}\cos 5x \right )+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{5}x\sin 5x+\frac{1}{25}\cos 5x +C$

3. Wstawiamy otrzymany wynik do wyniku z punktu 1.

$\dpi{120} \int x^{2}\sin 5xdx=-\frac{1}{5}x^{2}\cos 5x+\frac{2}{5}\int x \cos 5xdx=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{5}x^{2}\cos 5x+\frac{2}{5}\cdot \left ( \frac{1}{5}x\sin 5x +\frac{1}{25}\cos 5x\right )+C_{1}=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{5}x^{2}\cos 5x+\frac{2}{25} x\sin 5x +\frac{2}{125}\cos 5x+C_{1}$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int x^{2}\sin 5xdx=-\frac{1}{5}x^{2}\cos 5x+\frac{2}{25} x\sin 5x +\frac{2}{125}\cos 5x+C_{1}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \int x^{2}e^{3x}dx.$

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x^{2}, & g'\left ( x \right )=e^{3x}\\ f'\left ( x \right )=2x, & g\left ( x \right )=\frac{1}{3}e^{3x}\end{Bmatrix}$

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

$\dpi{120} \int x^{2}e^{3x}dx=x^{2}\cdot \frac{1}{3}e^{3x}-\int 2x\cdot \frac{1}{3} e^{3x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}x^{2}e^{3x}-\frac{2}{3}\int xe^{3x}dx$

2. Ponieważ w całce mieliśmy $\dpi{120} x^{2}$ , więc po raz drugi całkujemy przez części do obliczenia całki $\dpi{120} \int xe^{3x}dx$ . Mamy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x, & g'\left ( x \right )=e^{3x}\\ f'\left ( x \right )=1, & g\left ( x \right )=\frac{1}{3}e^{3x}\end{Bmatrix}$

oraz

$\dpi{120} \int xe^{3x}dx=x\cdot \frac{1}{3}e^{3x}-\int 1\cdot \frac{1}{3} e^{3x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{1}{3}e^{3x} \right )+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x} +C$

3. Wstawiamy otrzymany wynik do wyniku z punktu 1.

$\dpi{120} \int x^{2}e^{3x}dx=\frac{1}{3}x^{2}e^{3x}-\frac{2}{3}\int xe^{3x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}x^{2}e^{3x}-\frac{2}{3}\cdot \left ( \frac{1}{3} xe^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\right )+C_{1}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}x^{2}e^{3x}-\frac{2}{9} xe^{3x}+\frac{2}{27}e^{3x}+C_{1}$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int x^{2}e^{3x}dx=\frac{1}{3}x^{2}e^{3x}-\frac{2}{9} xe^{3x}+\frac{2}{27}e^{3x}+C_{1}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Oblicz całki (grupa II zakładka Wzory tutaj):

1) $\dpi{120} \int x^{12}\ln 2xdx,$

Rozwiązanie

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln 2x, & g'\left ( x \right )=x^{12}\\ f'\left ( x \right )=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=\frac{x^{13}}{13}\end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int x^{12}\ln 2xdx=\ln 2x\cdot \frac{x^{13}}{13}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{13}}{13}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{13}x^{13}\ln 2x-\frac{1}{13}\int x^{12}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{13}x^{13}\ln 2x-\frac{1}{13}\cdot \frac{x^{13}}{13}+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{13}x^{13}\ln 2x-\frac{1}{169}x^{13}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \ln xdx,$ ważne

Rozwiązanie

Zapiszmy naszą całkę w trochę innej postaci:

$\dpi{120} \int \ln xdx=\int 1\cdot \ln xdx$

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln x, & g'\left ( x \right )=1\\ f'\left ( x \right )=\frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=x\end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int \ln xdx=\int 1\cdot \ln xdx=\ln x\cdot x-\int \frac{1}{x}\cdot xdx$

$\dpi{120} =x\ln x-\int 1dx=$

$\dpi{120} =x\ln x-x+C$

Zapamiętajmy ten wzór, bo często później jest on wykorzystywany.

$\dpi{120} \int \ln xdx=x \ln x-x+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int x^{187}\ln 5xdx,$

Rozwiązanie

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln 5x, & g'\left ( x \right )=x^{187}\\ f'\left ( x \right )=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=\frac{x^{188}}{188}\end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int x^{187}\ln 5xdx=\ln 5x\cdot \frac{x^{188}}{188}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{188}}{188}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{188}x^{188}\ln 5x-\frac{1}{188}\int x^{187}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{188}x^{188}\ln 5x-\frac{1}{188}\cdot \frac{x^{188}}{188}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \int \frac{\ln 2x}{\sqrt[3]{x}}dx.$

Rozwiązanie

Zapiszmy powyższą całkę w innej postaci:

$\dpi{120} \int \frac{\ln 2x}{\sqrt[3]{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{3}}\cdot \ln 2x\, dx$

1. Przyjmujemy wówczas: $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln 2x, & g'\left ( x \right )=x^{-\frac{1}{3}}\\ f'\left ( x \right )=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=\frac{x^{^{\frac{2}{3}}}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int x^{-\frac{1}{3}}\cdot \ln 2x\, dx=\ln 2x\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}dx=$

$\dpi{120} =\ln 2x\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}\int x^{-\frac{1}{3}}dx=$

$\dpi{120} =\ln 2x\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}\cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}+C=$

$\dpi{120} =\ln 2x\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-\frac{9}{4}x^{\frac{2}{3}}+C=$

$\dpi{120} =\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\left (\ln 2x-\frac{3}{2} \right )+C$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{\ln 2x}{\sqrt[3]{x}}dx=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\left (\ln 2x-\frac{3}{2} \right )+C,\; \; C\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Oblicz całki (grupa III zakładka Wzory tutaj):

1) $\dpi{120} \int e^{3x}\sin 6xdx,$

Rozwiązanie

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{3x}, & g'\left ( x \right )=\sin 6x\\ f'\left ( x \right )=3e^{3x}, & g\left ( x \right )=-\frac{1}{6}\cos 6x\end{Bmatrix}$

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części: $\dpi{120} \int f\left ( x \right )g'\left ( x \right )dx=f\left ( x \right )g\left ( x \right )-\int f'\left ( x \right )g\left ( x \right )dx$ . Zatem:

$\dpi{120} \int e^{3x}\sin 6xdx=e^{3x }\cdot \left ( -\frac{1}{6}\cos 6x \right )-\int 3e^{3x}\cdot \left ( -\frac{1}{6} \cos 6x \right )dx=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{6}e^{3x}\cos 6x+\frac{3}{6}\int e^{3x} \cos 6xdx=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{6}e^{3x}\cos 6x+\frac{1}{2}\int e^{3x} \cos 6xdx$

2. Całkę $\dpi{120} \int e^{3x}\cos 6xdx$ ponownie liczymy przez części. Przyjmujemy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{3x}, & g'\left ( x \right )=\cos 6x\\ f'\left ( x \right )=3e^{3x}, & g\left ( x \right )=\frac{1}{6}\sin 6x\end{Bmatrix}$

Podstawiając do wzoru mamy:

$\dpi{120} {\color{Blue} \int e^{3x}\cos 6xdx}=e^{3x}\cdot \left ( \frac{1}{6} \sin 6x\right )-\int 3e^{3x}\cdot \left ( \frac{1}{6} \sin 6x\right )dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{6}e^{3x}\sin 6x-\frac{3}{6}\int e^{3x} \sin 6xdx=$

$\dpi{120} ={\color{Blue} \frac{1}{6}e^{3x}\sin 6x-\frac{1}{2}\int e^{3x} \sin 6xdx}$

3. Wstawiamy powyższy wynik do punktu 1. Powstaje nam równanie, w którym niewiadomą jest całka.

$\dpi{120} \int e^{3x}\sin 6xdx=-\frac{1}{6}e^{3x}\cos 6x+\frac{1}{2}{\color{Blue} \int e^{3x} \cos 6xdx}$

$\dpi{120} \int e^{3x}\sin 6xdx=-\frac{1}{6}e^{3x}\cos 6x+\frac{1}{2}\cdot \left ( {\color{Blue} \frac{1}{6}e^{3x}\sin 6x-\frac{1}{2}\int e^{3x} \sin 6xdx}\right )$

$\dpi{120} {\color{Red} \int e^{3x}\sin 6xdx}=-\frac{1}{6}e^{3x}\cos 6x+\frac{1}{12}e^{3x}\sin 6x{\color{Red} -\frac{1}{4}\int e^{3x} \sin 6xdx}$

Przenosimy całkę z prawej strony na lewą stronę:

$\dpi{120} {\color{Red} \int e^{3x}\sin 6xdx}+{\color{Red} \frac{1}{4}\int e^{3x} \sin 6xdx}=-\frac{1}{6}e^{3x}\cos 6x+\frac{1}{12}e^{3x}\sin 6x$

$\dpi{120} \frac{5}{4}\int e^{3x} \sin 6xdx=-\frac{1}{6}e^{3x}\cos 6x+\frac{1}{12}e^{3x}\sin 6x/:\frac{5}{4}$

$\dpi{120} \int e^{3x} \sin 6xdx=-\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{5}e^{3x}\cos 6x+\frac{1}{12}\cdot \frac{4}{5}e^{3x}\sin 6x+C$

$\dpi{120} \int e^{3x} \sin 6xdx=-\frac{2}{15}e^{3x}\cos 6x+\frac{1}{15}e^{3x}\sin 6x+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int e^{7x}\cos 2xdx,$

Rozwiązanie

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{7x}, & g'\left ( x \right )=\cos 2x\\ f'\left ( x \right )=7e^{7x}, & g\left ( x \right )=\frac{1}{2}\sin 2x\end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int e^{7x}\cos 2xdx=e^{7x }\cdot \left ( \frac{1}{2}\sin 2x \right )-\int 7e^{7x}\cdot \left ( \frac{1}{2} \sin 2x \right )dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}e^{7x}\sin 2x-\frac{7}{2}\int e^{7x} \sin 2xdx$

2. Całkę $\dpi{120} \int e^{7x}\sin 2xdx$ ponownie liczymy przez części. Przyjmujemy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{7x}, & g'\left ( x \right )=\sin 2x\\ f'\left ( x \right )=7e^{7x}, & g\left ( x \right )=-\frac{1}{2}\cos 2x\end{Bmatrix}$

Podstawiając do wzoru mamy:

$\dpi{120} {\color{Blue} \int e^{7x}\sin 2xdx}=e^{7x}\cdot \left ( -\frac{1}{2} \cos 2x\right )-\int 7e^{7x}\cdot \left ( -\frac{1}{2} \cos 2x\right )dx=$

$\dpi{120} ={\color{Blue} -\frac{1}{2}e^{7x}\cos 2x+\frac{7}{2}\int e^{7x} \cos 2xdx}$

3. Wstawiamy powyższy wynik do punktu 1. Powstaje nam równanie, w którym niewiadomą jest całka.

$\dpi{120} \int e^{7x}\cos 2xdx=\frac{1}{2}e^{7x}\sin 2x-\frac{7}{2}{\color{Blue} \int e^{7x} \sin 2xdx}$

$\dpi{120} \int e^{7x}\cos 2xdx=\frac{1}{2}e^{7x}\sin 2x-\frac{7}{2}\cdot \left ( {\color{Blue} -\frac{1}{2}e^{7x}\cos 2x+\frac{7}{2}\int e^{7x} \cos 2xdx}\right )$

$\dpi{120} {\color{Red} \int e^{7x}\cos 2xdx}=\frac{1}{2}e^{7x}\sin 2x+\frac{7}{4}e^{7x}\cos 2x{\color{Red} -\frac{49}{4}\int e^{7x} \cos 2xdx}$

Przenosimy całkę z prawej strony na lewą stronę:

$\dpi{120} {\color{Red} \int e^{7x}\cos 2xdx}+{\color{Red} \frac{49}{4}\int e^{7x} \cos 2xdx}=\frac{1}{2}e^{7x}\sin 2x+\frac{7}{4}e^{7x}\cos 2x$

$\dpi{120} \frac{53}{4}\int e^{7x} \cos 2xdx=\frac{1}{2}e^{7x}\sin 2x+\frac{7}{4}e^{7x}\cos 2x/:\frac{53}{4}$

$\dpi{120} \int e^{7x} \cos 2xdx=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{53}e^{7x}\sin 2x+\frac{7}{4}\cdot \frac{4}{53}e^{7x}\cos 2x+C$

$\dpi{120} \int e^{7x} \cos 2xdx= \frac{2}{53}e^{7x}\sin 2x+\frac{7}{53}e^{7x}\cos 2x+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int e^{8x}\sin 3xdx.$

Rozwiązanie

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{8x}, & g'\left ( x \right )=\sin 3x\\ f'\left ( x \right )=8e^{8x}, & g\left ( x \right )=-\frac{1}{3}\cos 3x\end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int e^{8x}\sin 3xdx=e^{8x }\cdot \left ( -\frac{1}{3}\cos 3x \right )-\int 8e^{8x}\cdot \left ( -\frac{1}{3} \cos 3x \right )dx=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{3}e^{8x}\cos 3x+\frac{8}{3}\int e^{8x} \cos 3xdx$

2. Całkę $\dpi{120} \int e^{8x}\cos 3xdx$ ponownie liczymy przez części. Przyjmujemy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{8x}, & g'\left ( x \right )=\cos 3x\\ f'\left ( x \right )=8e^{8x}, & g\left ( x \right )=\frac{1}{3}\sin 3x\end{Bmatrix}$

Podstawiając do wzoru mamy:

$\dpi{120} {\color{Blue} \int e^{8x}\cos 3xdx}=e^{8x}\cdot \left ( \frac{1}{3} \sin 3x\right )-\int 8e^{8x}\cdot \left ( \frac{1}{3} \sin 3x\right )dx=$

$\dpi{120} ={\color{Blue} \frac{1}{3}e^{8x}\sin 3x-\frac{8}{3}\int e^{8x} \sin 3xdx}$

3. Wstawiamy powyższy wynik do punktu 1. Powstaje nam równanie, w którym niewiadomą jest całka.

$\dpi{120} \int e^{8x}\sin 3xdx=-\frac{1}{3}e^{8x}\cos 3x+\frac{8}{3}{\color{Blue} \int e^{8x} \cos 3xdx}$

$\dpi{120} \int e^{8x}\sin 3xdx=-\frac{1}{3}e^{8x}\cos 3x+\frac{8}{3}\cdot \left ( {\color{Blue} \frac{1}{3}e^{8x}\sin 3x-\frac{8}{3}\int e^{8x} \sin 3xdx}\right )$

$\dpi{120} {\color{Red} \int e^{8x}\sin 3xdx}=-\frac{1}{3}e^{8x}\cos 3x+\frac{8}{9}e^{8x}\sin 3x{\color{Red} -\frac{64}{9}\int e^{8x} \sin 3xdx}$

Przenosimy całkę z prawej strony na lewą stronę:

$\dpi{120} {\color{Red} \int e^{8x}\sin 3xdx}+{\color{Red} \frac{64}{9}\int e^{8x} \sin 3xdx}=-\frac{1}{3}e^{8x}\cos 3x+\frac{8}{9}e^{8x}\sin 3x$

$\dpi{120} \frac{73}{9}\int e^{8x} \sin 3xdx=-\frac{1}{3}e^{8x}\cos 3x+\frac{8}{9}e^{8x}\sin 3x/:\frac{73}{9}$

$\dpi{120} \int e^{8x} \sin 3xdx=-\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{73}e^{8x}\cos 3x+\frac{8}{9}\cdot \frac{9}{73}e^{8x}\sin 3x+C$

$\dpi{120} \int e^{8x} \sin 3xdx=-\frac{3}{73}e^{8x}\cos 3x+\frac{8}{73}e^{8x}\sin 3x+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Oblicz całki (zadania różne):

1) $\dpi{120} \int x^{43}\ln 3xdx,$

Rozwiązanie

1. Jest to całka z grupy II. Zatem przyjmujemy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln 3x, & g'\left ( x \right )=x^{43}\\ f'\left ( x \right )=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=\frac{x^{44}}{44}\end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int x^{43}\ln 3xdx=\ln 3x\cdot \frac{x^{44}}{44}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{44}}{44}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{44}x^{44}\ln 3x-\frac{1}{44}\int x^{43}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{44}x^{44}\ln 3x-\frac{1}{44}\cdot \frac{x^{44}}{44}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int x\cos 9xdx,$

Rozwiązanie

Całka z grupy I.

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x, & g'\left ( x \right )=\cos 9x\\ f'\left ( x \right )=1, & g\left ( x \right )=\frac{1}{9}\sin 9x \end{Bmatrix}$ .

$\dpi{120} \int x\cos 9xdx=x\cdot \frac{1}{9}\sin 9x-\int 1\cdot \frac{1}{9} \sin 9xdx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}x\sin 9x-\frac{1}{9}\int \sin 9xdx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}x\sin 9x-\frac{1}{9}\cdot \left ( -\frac{1}{9}\cos 9x \right )+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}x\sin 9x+\frac{1}{81}\cos 9x +C.$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int x\cos 9xdx=\frac{1}{9}x\sin 9x+\frac{1}{81}\cos 9x+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int e^{5x}\cos 7xdx,$

Rozwiązanie

Całka z grupy III.

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{5x}, & g'\left ( x \right )=\cos 7x\\ f'\left ( x \right )=5e^{5x}, & g\left ( x \right )=\frac{1}{7}\sin 7x\end{Bmatrix}$

$\dpi{120} \int e^{5x}\cos 7xdx=e^{5x }\cdot \left ( \frac{1}{7}\sin 7x \right )-\int 5e^{5x}\cdot \left ( \frac{1}{7} \sin 7x \right )dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{7}e^{5x}\sin 7x-\frac{5}{7}\int e^{5x} \sin 7xdx$

2. Całkę $\dpi{120} \int e^{5x}\sin 7xdx$ ponownie liczymy przez części. Przyjmujemy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=e^{5x}, & g'\left ( x \right )=\sin 7x\\ f'\left ( x \right )=5e^{5x}, & g\left ( x \right )=-\frac{1}{7}\cos 7x\end{Bmatrix}$

Podstawiając do wzoru mamy:

$\dpi{120} {\color{Blue} \int e^{5x}\sin 7xdx}=e^{5x}\cdot \left ( -\frac{1}{7} \cos 7x\right )-\int 5e^{5x}\cdot \left ( -\frac{1}{7} \cos 7x\right )dx=$

$\dpi{120} ={\color{Blue} -\frac{1}{7}e^{5x}\cos 7x+\frac{5}{7}\int e^{5x} \cos 7xdx}$

3. Wstawiamy powyższy wynik do punktu 1. Powstaje nam równanie, w którym niewiadomą jest całka.

$\dpi{120} \int e^{5x}\cos 7xdx=\frac{1}{7}e^{5x}\sin 7x-\frac{5}{7}{\color{Blue} \int e^{5x} \sin 7xdx}$

$\dpi{120} \int e^{5x}\cos 7xdx=\frac{1}{7}e^{5x}\sin 7x-\frac{5}{7}\cdot \left ( {\color{Blue} -\frac{1}{7}e^{5x}\cos 7x+\frac{5}{7}\int e^{5x} \cos 7xdx}\right )$

$\dpi{120} {\color{Red} \int e^{5x}\cos 7xdx}=\frac{1}{7}e^{5x}\sin 7x+\frac{5}{49}e^{5x}\cos 7x{\color{Red} -\frac{25}{49}\int e^{5x} \cos 7xdx}$

Przenosimy całkę z prawej strony na lewą stronę:

$\dpi{120} {\color{Red} \int e^{5x}\cos 7xdx}+{\color{Red} \frac{25}{49}\int e^{5x} \cos 7xdx}=\frac{1}{7}e^{5x}\sin 7x+\frac{5}{49}e^{5x}\cos 7x$

$\dpi{120} \frac{74}{49}\int e^{5x} \cos 7xdx=\frac{1}{7}e^{5x}\sin 7x+\frac{5}{49}e^{5x}\cos 7x/:\frac{74}{49}$

$\dpi{120} \int e^{5x} \cos 7xdx=\frac{1}{7}\cdot \frac{49}{74}e^{5x}\sin 7x+\frac{5}{49}\cdot \frac{49}{74}e^{5x}\cos 7x+C$

$\dpi{120} \int e^{5x} \cos 7xdx= \frac{7}{74}e^{5x}\sin 7x+\frac{5}{74}e^{5x}\cos 7x+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \int x^{2}e^{9x}dx,$

Rozwiązanie

Całka z grupy I.

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x^{2}, & g'\left ( x \right )=e^{9x}\\ f'\left ( x \right )=2x, & g\left ( x \right )=\frac{1}{9}e^{9x}\end{Bmatrix}$

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

$\dpi{120} \int x^{2}e^{9x}dx=x^{2}\cdot \frac{1}{9}e^{9x}-\int 2x\cdot \frac{1}{9} e^{9x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}x^{2}e^{9x}-\frac{2}{9}\int xe^{9x}dx$

2. Ponieważ w całce mieliśmy $\dpi{120} x^{2}$ , więc po raz drugi całkujemy przez części do obliczenia całki $\dpi{120} \int xe^{9x}dx$ . Mamy:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x, & g'\left ( x \right )=e^{9x}\\ f'\left ( x \right )=1, & g\left ( x \right )=\frac{1}{9}e^{9x}\end{Bmatrix}$

oraz

$\dpi{120} \int xe^{9x}dx=x\cdot \frac{1}{9}e^{9x}-\int 1\cdot \frac{1}{9} e^{9x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}xe^{9x}-\frac{1}{9}\int e^{9x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}xe^{9x}-\frac{1}{9}\cdot \left ( \frac{1}{9}e^{9x} \right )+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}xe^{9x}-\frac{1}{81}e^{9x} +C$

3. Wstawiamy otrzymany wynik do wyniku z punktu 1.

$\dpi{120} \int x^{2}e^{9x}dx=\frac{1}{9}x^{2}e^{9x}-\frac{2}{9}\int xe^{9x}dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}x^{2}e^{9x}-\frac{2}{9}\cdot \left ( \frac{1}{9} xe^{9x}-\frac{1}{81}e^{9x}\right )+C_{1}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{9}x^{2}e^{9x}-\frac{2}{81} xe^{9x}+\frac{2}{9\cdot 81}e^{9x}+C_{1}$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int x^{2}e^{9x}dx=\frac{1}{9}x^{2}e^{9x}-\frac{2}{81} xe^{9x}+\frac{2}{9\cdot 81}e^{9x}+C_{1}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} \int \sin \left ( \ln x \right )dx,$ inny

Rozwiązanie

$\dpi{120} \int \sin \left ( \ln x \right )dx=\int 1\cdot \sin \left ( \ln x \right )dx$

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\sin \left ( \ln x \right ), & g'\left ( x \right )=1\\ f'\left ( x \right )=\cos \left ( \ln x \right )\cdot \frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=x\end{Bmatrix}$

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

$\dpi{120} \int \sin \left ( \ln x \right )dx=x\cdot \sin \left ( \ln x \right )-\int x\cdot \cos \left ( \ln x \right )\cdot \frac{1}{x}\, dx=$

$\dpi{120} =x\cdot \sin \left ( \ln x \right )-\int \cos \left ( \ln x \right )\, dx=$

2. Jeszcze raz całkujemy przez części:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\cos \left ( \ln x \right ), & g'\left ( x \right )=1\\ f'\left ( x \right )=-\sin \left ( \ln x \right )\cdot \frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=x\end{Bmatrix}$

Zatem:

$\dpi{120} =x\cdot \sin \left ( \ln x \right )-\left [ x\cdot \cos \left ( \ln x \right )-\int {\color{Blue} x}\cdot \left ( -\sin \left ( \ln x \right ) \cdot \frac{1}{{\color{Blue} x}}\right ) \right ]\, dx=$

$\dpi{120} =x\cdot \sin \left ( \ln x \right )-x\cdot \cos \left ( \ln x \right )-\int \sin \left ( \ln x \right ) \, dx$

Otrzymaliśmy, że:

$\dpi{120} \int \sin \left ( \ln x \right )dx=x\cdot \sin \left ( \ln x \right )-x\cdot \cos \left ( \ln x \right )-\int \sin \left ( \ln x \right ) dx$

3. Powstało równanie z niewiadomą $\dpi{120} \int \sin \left ( \ln x \right )dx$ . Przenosimy ją na lewą stronę, więc:

$\dpi{120} 2\int \sin \left ( \ln x \right )dx=x\cdot \sin \left ( \ln x \right )-x\cdot \cos \left ( \ln x \right )/:2$

$\dpi{120} \int \sin \left ( \ln x \right )dx=\frac{1}{2}x\cdot \sin \left ( \ln x \right )-\frac{1}{2}x\cdot \cos \left ( \ln x \right )$

$\dpi{120} \int \sin \left ( \ln x \right )dx=\frac{1}{2}x\left [ \sin \left ( \ln x \right )- \cos \left ( \ln x \right ) \right ]+C,\; \; C\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} \int \frac{\ln ^{2}x}{x^{2}}dx.$ inny

Rozwiązanie

Ponownie całka niestandardowa.

1. Przyjmujemy $\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln ^{2}x, & g'\left ( x \right )=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}\\ f'\left ( x \right )=2 \ln x\cdot \frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}\end{Bmatrix}$

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

$\dpi{120} \int \frac{\ln ^{2}x}{x^{2}}dx=\ln ^{2}x\cdot \left ( -\frac{1}{x} \right )-\int 2 \ln x\cdot \frac{1}{x}\cdot \left ( -\frac{1}{x} \right )dx=$

$\dpi{120} =-\ln ^{2}x\cdot \frac{1}{x} +2\int \ln x\cdot \frac{1}{x^{2}}dx=$

2. Jeszcze raz całkujemy przez części:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln x, & g'\left ( x \right )=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}\\ f'\left ( x \right )=\frac{1}{x}, & g\left ( x \right )=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}\end{Bmatrix}$

Zatem:

$\dpi{120} =-\frac{\ln ^{2}x}{x} +2\cdot \left [ \ln x\cdot \left ( -\frac{1}{x} \right ) -\int \frac{1}{x}\cdot \left ( -\frac{1}{x} \right )dx\right ]=$

$\dpi{120} =-\frac{\ln ^{2}x}{x} - 2\ln x\cdot \frac{1}{x} +2\int \frac{1}{x^{2}}dx=$

$\dpi{120} =-\frac{\ln ^{2}x}{x} - \frac{2\ln x}{x} +2\int x^{-2}dx=$

$\dpi{120} =-\frac{\ln ^{2}x}{x} - \frac{2\ln x}{x} +2\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+C=$

$\dpi{120} =-\frac{\ln ^{2}x}{x} - \frac{2\ln x}{x} -\frac{2}{x}+C=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{x}\cdot \left ( \ln ^{2}x+2 \ln x+2 \right )+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \frac{\ln ^{2}x}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}\cdot \left ( \ln ^{2}x+2 \ln x+2 \right )+C,\: \; C\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Oblicz całki (wykorzystanie całkowania przez części i przez podstawienie):

1) $\dpi{120} \int xe^{x^{2}}\left ( x^{2}+1 \right )dx,$

Rozwiązanie

1. Najpierw wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x^{2}=t$

$\dpi{120} 2xdx=dt$

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int xe^{x^{2}}\left ( x^{2}+1 \right )dx=\int xe^{t}\left ( t+1 \right )\cdot \frac{dt}{2x}=\frac{1}{2}\int \left ( t+1 \right )e^{t}dt$

2. Liczymy całkę $\dpi{120} \frac{1}{2}\int \left ( t+1 \right )e^{t}dt$ przez części, przyjmując:

$\dpi{120} \begin{Bmatrix} f\left ( t \right ) =t+1&g'\left ( t \right ) =e^{t}\\ f'\left ( t \right )=1& g\left ( t \right )=e^{t} \end{Bmatrix}$

Ze wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy:

$\dpi{120} \frac{1}{2}\int \left ( t+1 \right )e^{t}dt=\frac{1}{2}\left [ \left ( t+1 \right )e^{t}-\int 1\cdot e^{t}dt \right ]=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\left ( t+1 \right )e^{t}-\frac{1}{2}\int e^{t}dt=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\left ( t+1 \right )e^{t}-\frac{1}{2} e^{t}+C_{1}$

3. Wracamy do podstawienia $\dpi{120} t=x^{2}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int xe^{x^{2}}\left ( x^{2}+1 \right )dx=\frac{1}{2}\int \left ( t+1 \right )e^{t}dt=\frac{1}{2}\left ( t+1 \right )e^{t}-\frac{1}{2}e^{t}+C_{1}\overset{t=x^{2}}{=}$

$\dpi{120} \overset{t=x^{2}}{=}\frac{1}{2}\left ( x^{2}+1 \right )e^{x^{2}}-\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int xe^{x^{2}}\left ( x^{2}+1 \right )dx=\frac{1}{2}\left ( x^{2}+1 \right )e^{x^{2}}-\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int x\ln \left ( 1+x^{2} \right )dx,$

Rozwiązanie

1. Najpierw wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x^{2}+1=t$

$\dpi{120} 2xdx=dt$

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int x\ln \left ( 1+x^{2} \right )dx=\int x\ln t\cdot \frac{dt}{2x}=\frac{1}{2}\int \ln tdt$

2. Wykorzystujemy wzór z zadania 2 podpunkt 2)

$\dpi{120} \int \ln xdx=x \ln x-x+C$ Mamy:

$\dpi{120} \int x\ln \left ( 1+x^{2} \right )dx=\frac{1}{2}\int \ln tdt=\frac{1}{2}\left ( t\ln t-t+C \right )=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\left ( t\ln t-t \right )+C_{1}\overset{t=x^{2}+1}{=}$

$\dpi{120} \overset{t=x^{2}+1}{=}\frac{1}{2}\left [ \left ( x^{2}+1 \right ) \ln \left ( x^{2}+1 \right )-\left ( x^{2}+1 \right )\right ]+C_{2}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \frac{dx}{x\sqrt{1-\ln ^{2}x}}.$

Rozwiązanie

Najpierw wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} \ln x=t$

$\dpi{120} \frac{1}{x}dx=dt$

$\dpi{120} dx=xdt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{x\sqrt{1-\ln ^{2}x}}=\int \frac{xdt}{x\sqrt{1-t^{2}}}=\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\arcsin t+C_{1}\overset{t=\ln x}{=}$

$\dpi{120} \overset{t=\ln x}{=}\arcsin \left ( \ln x \right )+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń