Całki funkcji trygonometrycznych (zadania)

Mamy 3 zadania. Zadanie 1 i zadanie 2 dotyczą dwu ogólnych metod rozwiązywania całek trygonometrycznych. Rozwiążą one dowolną całkę trygonometryczną. Jednak są one dosyć długie. Wykorzystują wszystkie wcześniejsze metody dotyczące całek wymiernych tutaj. A więc i stosunkowo trudne. Pocieszające, że rzadko trafiają się na kolokwiach. Ostatnie zadanie wykorzystuje wcześniejsze metody liczenia całek. Rozwiązania są krótsze i polecamy do niego zajrzeć. Całki tego typu są odpowiednie na kolokwia i egzaminy.

Zadanie 1. Oblicz całki: typ $\dpi{120} \large \int f\left ( \sin x,\cos x, tg\, x\right )dx$ .

1) $\dpi{120} \int \frac{dx}{2+\cos x},$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór (zakładka Wzory tutaj):

$\dpi{120} \cos x=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}$

Jednocześnie wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} tg\, \frac{x}{2}=t$

$\dpi{120} x=2arc\, tg\, t$

$\dpi{120} dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Zatem:

$\dpi{120} \cos x=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{2+\cos x}=\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}dt}{2+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ (w mianowniku sprowadzamy do wspólnego mianownika)

$\dpi{120} \int \frac{dx}{2+\cos x}=\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}dt}{\frac{2+2t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

$\dpi{120} \int \frac{dx}{2+\cos x}=\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}dt}{\frac{3+t^{2}}{1+t^{2}}}$

$\dpi{120} \int \frac{dx}{2+\cos x}=\int \frac{2dt}{3+t^{2}}$

$\dpi{120} \int \frac{dx}{2+\cos x}=2\int \frac{dt}{3+t^{2}}$

Całkę powyższą liczymy poprzez podstawienie lub z gotowego wzoru (lepiej nie):

$\dpi{120} t=\sqrt{3}s$

$\dpi{120} dt=\sqrt{3}ds$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dt}{3+t^{2}}=\int \frac{\sqrt{3}ds}{3+\left ( \sqrt{3} s\right )^{2}}=\int \frac{\sqrt{3}ds}{3+3s^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{ds}{1+s^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{\sqrt{3}}{3}arc\, tg\, s+C_{1}\overset{s=\frac{t}{\sqrt{3}}}{=}\frac{\sqrt{3}}{3}arc\, tg\, \frac{t}{\sqrt{3}}+C_{2}\overset{t=tg\, \frac{x}{2}}{=}$

$\dpi{120} \overset{t=tg\, \frac{x}{2}}{=}\frac{\sqrt{3}}{3}arc\, tg\frac{tg\, \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+C$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{2+\cos x}=2\int \frac{dt}{3+t^{2}}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}arc\, tg\frac{tg\, \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{2+\sin x}{ \sin x\cdot \left ( 1+\cos x \right )}dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór (zakładka Wzory tutaj):

$\dpi{120} \sin x=\frac{2tg\, \frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}},\; \; \; \cos x=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}$

Jednocześnie wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} tg\, \frac{x}{2}=t$

$\dpi{120} x=2arc\, tg\, t$

$\dpi{120} dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Zatem:

$\dpi{120} \sin x=\frac{2tg\, \frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$

$\dpi{120} \cos x=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{2+\sin x}{ \sin x\cdot \left ( 1+\cos x \right )}dx=\int \frac{2+\frac{2t}{1+t^{2}}}{\frac{2t}{1+t^{2}}\cdot \left ( 1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \right )}\cdot \frac{2}{1+t^{2}}dt$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$\dpi{120} \int \frac{2+\sin x}{ \sin x\cdot \left ( 1+\cos x \right )}dx=\int \frac{\frac{2+2t^{2}+2t}{1+t^{2}}}{\frac{2t}{1+t^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}} }\cdot \frac{2}{1+t^{2}}dt$

Po redukcji:

$\dpi{120} \int \frac{2+\sin x}{ \sin x\cdot \left ( 1+\cos x \right )}dx=\int \frac{2\cdot \left ( 2+2t^{2}+2t \right )}{2t\cdot 2}dt$

$\dpi{120} \int \frac{2+\sin x}{ \sin x\cdot \left ( 1+\cos x \right )}dx=\int \frac{1+t^{2}+t }{t}dt$

$\dpi{120} \int \frac{2+\sin x}{ \sin x\cdot \left ( 1+\cos x \right )}dx=\int \left (\frac{1}{t}+t+1 \right ) dt$

$\dpi{120} \int \frac{2+\sin x}{ \sin x\cdot \left ( 1+\cos x \right )}dx=\ln \left | t \right |+\frac{t^{2}}{2}+t+C_{1}$

Wracamy do podstawienia $\dpi{120} t=tg\, \frac{x}{2}$

$\dpi{120} \int \frac{2+\sin x}{ \sin x\cdot \left ( 1+\cos x \right )}dx=\ln \left | tg\, \frac{x}{2} \right |+\frac{tg^{2}\frac{x}{2}}{2}+tg\, \frac{x}{2}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sin x+\cos x},$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór (zakładka Wzory tutaj):

$\dpi{120} \sin x=\frac{2tg\, \frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}},\; \; \; \cos x=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}$

Jednocześnie wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} tg\, \frac{x}{2}=t$

$\dpi{120} x=2arc\, tg\, t$

$\dpi{120} dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Zatem:

$\dpi{120} \sin x=\frac{2tg\, \frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$

$\dpi{120} \cos x=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sin x+\cos x}=\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}}{\frac{2t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}dt$

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sin x+\cos x}=\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}}{\frac{2t+1-t^{2}}{1+t^{2}}}dt$

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sin x+\cos x}=\int \frac{2}{-t^{2}+2t+1}dt$

Otrzymaliśmy całkę wymierną. Sprawdzamy $\dpi{120} \Delta$ mianownika:

$\dpi{120} \Delta =4-4\cdot \left ( -1 \right )\cdot 1=8>0$

Rozkładamy mianownik na czynniki:

$\dpi{120} t_{1}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2\cdot \left ( -1 \right )}=1+\sqrt{2},\; \; \; t_{2}=1-\sqrt{2}$

$\dpi{120} -t^{2}+2t+1=-\left ( t-1-\sqrt{2} \right )\left ( t-1+\sqrt{2} \right )$

Otrzymujemy całkę:

$\dpi{120} \int \frac{1}{-t^{2}+2t+1}dt=\int \frac{dt}{-\left ( t-1-\sqrt{2} \right )\left ( t-1+\sqrt{2} \right )}=$

$\dpi{120} =-\int \frac{dt}{\left ( t-1-\sqrt{2} \right )\left ( t-1+\sqrt{2} \right )}$

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:

$\dpi{120} \frac{1}{\left ( t-1-\sqrt{2} \right )\left ( t-1+\sqrt{2} \right )}=\frac{A}{t-1-\sqrt{2}}+\frac{B}{t-1+\sqrt{2}}/\cdot \left ( t-1-\sqrt{2} \right )\left ( t-1+\sqrt{2} \right )$

$\dpi{120} 1=A\left ( t-1+\sqrt{2} \right )+B\left ( t-1-\sqrt{2} \right )$

$\dpi{120} 1=t\left ( A+B \right )+A\left ( -1+\sqrt{2} \right )+B\left ( -1-\sqrt{2} \right )$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} A+B=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ A\left ( -1+\sqrt{2} \right )+B\left ( -1-\sqrt{2} \right )=1 \end{matrix}\right.$

Stąd

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} A=\frac{\sqrt{2}}{4}\\ B=-\frac{\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{1}{-t^{2}+2t+1}dt=-\int \frac{dt}{\left ( t-1-\sqrt{2} \right )\left ( t-1+\sqrt{2} \right )}=$

$\dpi{120} =-\left (\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{dt}{t-1-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{dt}{t-1+\sqrt{2}} \right )=$

$\dpi{120} =-\frac{\sqrt{2}}{4}\left (\int \frac{dt}{t-1-\sqrt{2}}-\int \frac{dt}{t-1+\sqrt{2}} \right )=$

$\dpi{120} =-\frac{\sqrt{2}}{4}\left ( \ln \left | t-1-\sqrt{2} \right | - \ln \left | t-1+\sqrt{2} \right |\right )+C_{1}=$

$\dpi{120} =-\frac{\sqrt{2}}{4}\ln \left |\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}} \right |+C_{1}$

Wracamy do wyjściowej całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sin x+\cos x}=\int \frac{2}{-t^{2}+2t+1}dt=2\cdot\left ( -\frac{\sqrt{2}}{4}\ln \left |\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}} \right | \right )+C=$

$\dpi{120} =-\frac{\sqrt{2}}{2}\ln \left |\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}} \right |+C$

Wracamy do podstawienia $\dpi{120} t=tg\, \frac{x}{2}$ .

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sin x+\cos x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ln \left |\frac{tg\, \frac{x}{2}-1-\sqrt{2}}{tg\, \frac{x}{2}-1+\sqrt{2}} \right |+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Oblicz całki: typ $\dpi{120} \large \int f\left ( \sin^{2} x,\cos^{2} x, \sin x\cos x\right )dx$ .

1) $\dpi{120} \int \frac{dx}{1+2\cos ^{2}x},$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór: (zakładka Wzory tutaj):

$\dpi{120} \cos ^{2}x=\frac{1}{1+tg^{2}x}$

Jednocześnie wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} tg\, x=t$

$\dpi{120} x=arc\, tg\, t$

$\dpi{120} dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt$

Zatem:

$\dpi{120} \cos^{2} x=\frac{1}{1+t^{2}}$

Wstawiając do całki mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{1+2\cos ^{2}x}=\int \frac{\frac{1}{1+t^{2}}dt}{1+\frac{2}{1+t^{2}}}=\int \frac{\frac{1}{1+t^{2}}}{\frac{1+t^{2}+2}{1+t^{2}}}dt=\int \frac{1}{t^{2}+3}dt$

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}arc\, tg\, \frac{x}{a}+C$

lub liczymy bez skrótów, wykonując podstawienie:

$\dpi{120} t=\sqrt{3}s$

$\dpi{120} dt=\sqrt{3}ds$

Mamy wówczas:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{1+2\cos ^{2}x}=\int \frac{1}{t^{2}+3}dt=\int \frac{1}{3s^{2}+3}\cdot \sqrt{3}ds=\frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{ds}{s^{2}+1}=$

$\dpi{120} =\frac{\sqrt{3}}{3}arc\, tg\, s+C_{1}\overset{s=\frac{t}{\sqrt{3}}}{=}\frac{\sqrt{3}}{3}arc\, tg\, \frac{t}{\sqrt{3}}+C_{2}=$

$\dpi{120} \overset{t=tg\, x}{=}\frac{\sqrt{3}}{3}arc\, tg\, \frac{tg\, x}{\sqrt{3}}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór (zakładka Wzory tutaj):

$\dpi{120} \sin ^{2}x=\frac{tg^{2}x}{1+tg^{2}x},\; \; \; \sin x\cos x=\frac{tg\, x}{1+tg^{2}x}$

Jednocześnie wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} tg\, x=t$

$\dpi{120} x=arc\, tg\, t$

$\dpi{120} dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt$

Zatem:

$\dpi{120} \sin^{2} x=\frac{t^{2}}{1+t^{2}},\; \; \; \sin x\cos x=\frac{t}{1+t^{2}}$

Wstawiając do całki mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx=\int \frac{\frac{t}{1+t^{2}}}{1+\left ( \frac{t^{2}}{1+t^{2}} \right )^{2}}\cdot \frac{1}{1+t^{2}}dt=$

$\dpi{120} =\int \frac{\frac{t}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}}{\frac{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}+t^{4}}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}}dt=\int \frac{tdt}{2t^{4}+2t^{2}+1}=$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} t^{2}=s$

$\dpi{120} 2tdt=ds$

$\dpi{120} dt=\frac{ds}{2t}$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx=\int \frac{tdt}{2t^{4}+2t^{2}+1}=$

$\dpi{120} =\int \frac{t\cdot \frac{ds}{2t}}{2s^{2}+2s+1}=\frac{1}{2}\int \frac{ds}{2s^{2}+2s+1}=$

Sprawdzamy $\dpi{120} \Delta =4-4\cdot 2\cdot 1=-4<0$ . Mianownik sprowadzamy do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} 2s^{2}+2s+1=2\left ( s+\frac{2}{2\cdot 2} \right )^{2}-\frac{-4}{4\cdot 2}=2\left ( s+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{2}$

Całka przyjmie postać:

$\dpi{120} \int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx=\frac{1}{2}\int \frac{ds}{2s^{2}+2s+1}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\int \frac{ds}{2\left ( s+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\int \frac{ds}{\left ( s+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}}=$

Wykonujemy kolejne podstawienie:

$\dpi{120} s+\frac{1}{2}=k$

$\dpi{120} ds=dk$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx=\frac{1}{4}\int \frac{ds}{\left ( s+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\int \frac{dk}{k^{2}+\frac{1}{4}}=$

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}arc\, tg\, \frac{x}{a}+C$

Czyli:

$\dpi{120} \int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx=\frac{1}{4}\int \frac{dk}{k^{2}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}arc\, tg\, \frac{k}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}arc\, tg\, 2k=$

Wracamy teraz do kolejnych podstawień:

$\dpi{120} \int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}arc\, tg\, \frac{k}{\frac{1}{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{8}arc\, tg\, 2k\overset{k=s+\frac{1}{2}}{=}\frac{1}{8}arc\, tg\, 2\cdot \left ( s+\frac{1}{2} \right )=$

$\dpi{120} =\frac{1}{8}arc\, tg\, \left ( 2s+1 \right )\overset{s=t^{2}}{=}\frac{1}{8}arc\, tg\, \left ( 2t^{2}+1 \right )=$

$\dpi{120} \overset{t=tg\, x}{=}\frac{1}{8}arc\, tg\, \left ( 2tg^{2}\, x+1 \right )+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \frac{1+\sin x\cos x}{\left ( 2+ \cos ^{2}x \right )\left ( 1+\sin ^{2}x \right )}dx.$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór (zakładka Wzory tutaj)

$\dpi{120} \sin ^{2}x=\frac{tg^{2}x}{1+tg^{2}x},\; \; \; \sin x\cos x=\frac{tg\, x}{1+tg^{2}x},\; \; \; \cos ^{2}x=\frac{1}{1+tg^{2}x}$

Jednocześnie wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} tg\, x=t$

$\dpi{120} x=arc\, tg\, t$

$\dpi{120} dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt$

Zatem:

$\dpi{120} \sin^{2} x=\frac{t^{2}}{1+t^{2}},\; \; \; \sin x\cos x=\frac{t}{1+t^{2}},\; \; \; \cos ^{2}x=\frac{1}{1+t^{2}}$

Wstawiając do całki mamy:

$\dpi{120} \int \frac{1+\sin x\cos x}{\left ( 2+ \cos ^{2}x \right )\left ( 1+\sin ^{2}x \right )}dx=\int \frac{1+\frac{t}{1+t^{2}}}{\left ( 2+\frac{1}{1+t^{2}} \right )\left ( 1+\frac{t^{2}}{1+t^{2}} \right )}\cdot \frac{dt}{1+t^{2}}$

Stąd po uproszczeniu:

$\dpi{120} \int \frac{1+\sin x\cos x}{\left ( 2+ \cos ^{2}x \right )\left ( 1+\sin ^{2}x \right )}dx=\int \frac{t^{2}+t+1}{\left ( 2t^{2}+3 \right )\left ( 2t^{2}+1 \right )}dt$

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:

$\dpi{120} \frac{t^{2}+t+1}{\left ( 2t^{2}+3 \right )\left ( 2t^{2}+1 \right )}=\frac{At+B}{2t^{2}+3}+\frac{Ct+D}{2t^{2}+1}/\cdot \left ( 2t^{2}+3 \right )\left ( 2t^{2} +1\right )$

Po przeprowadzeniu standardowych (ale dosyć żmudnych) przekształceń otrzymujemy:

$\dpi{120} A=-\frac{1}{2},\; B=\frac{1}{4},\; C=\frac{1}{2},\; D=\frac{1}{4}.$

Zatem całka przyjmie postać:

$\dpi{120} \int \frac{1+\sin x\cos x}{\left ( 2+ \cos ^{2}x \right )\left ( 1+\sin ^{2}x \right )}dx=\int \frac{-\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}}{2t^{2}+3}dt+\int \frac{\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}}{2t^{2}+1}dt=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{2}\int \frac{tdt}{2t^{2}+3}+\frac{1}{4}\int \frac{dt}{2t^{2}+3}+\frac{1}{2}\int \frac{tdt}{2t^{2}+1}+\frac{1}{4}\int \frac{dt}{2t^{2}+1}$

Pierwsza całka: (w liczniku pojawi się pochodna mianownika)

$\dpi{120} -\frac{1}{2}\int \frac{tdt}{2t^{2}+3}=-\frac{1}{2}\int \frac{\frac{1}{4}\cdot 4t}{2t^{2}+3}dt=-\frac{1}{8}\int \frac{4tdt}{2t^{2}+3}=-\frac{1}{8}\ln \left ( 2t^{2}+3 \right )+C_{1}$

Analogiczna jest całka trzecia:

$\dpi{120} \frac{1}{2}\int \frac{tdt}{2t^{2}+1}=\frac{1}{8}\ln \left ( 2t^{2}+1 \right )+C_{3}$

Druga całka:

$\dpi{120} \frac{1}{4}\int \frac{dt}{2t^{2}+3}=\frac{1}{8}\int \frac{dt}{t^{2}+\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}arc\, tg\, \left ( \sqrt{\frac{2}{3}} t\right )+C_{2}$

Analogiczna jest całka czwarta:

$\dpi{120} \frac{1}{4}\int \frac{dt}{2t^{2}+1}=\frac{1}{8}\int \frac{dt}{t^{2}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}\cdot \sqrt{2}arc\, tg\, \left ( \sqrt{2}t \right )+C_{4}$

Ostatecznie mamy:

$\dpi{120} \int \frac{1+\sin x\cos x}{\left ( 2+ \cos ^{2}x \right )\left ( 1+\sin ^{2}x \right )}dx=\frac{1}{8}\ln \left ( 2t^{2}+3 \right )+\frac{1}{8}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}arc\, tg\, \left ( \sqrt{\frac{2}{3}} t\right )+$

$\dpi{120} +\frac{1}{8}\ln \left ( 2t^{2}+1 \right )+\frac{1}{8}\cdot \sqrt{2}arc\, tg\, \left ( \sqrt{2}t \right )+C$

Wracając do podstawienia $\dpi{120} t=tg\, x$ mamy:

$\dpi{120} \int \frac{1+\sin x\cos x}{\left ( 2+ \cos ^{2}x \right )\left ( 1+\sin ^{2}x \right )}dx=\frac{1}{8}\ln \left ( 2tg^{2}x+3 \right )+\frac{1}{8}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}arc\, tg\, \left ( \sqrt{\frac{2}{3}} tg\, x\right )+$

$\dpi{120} +\frac{1}{8}\ln \left ( 2tg^{2}x+1 \right )+\frac{1}{8}\cdot \sqrt{2}arc\, tg\, \left ( \sqrt{2}tg\, x \right )+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Oblicz całki: (różne z wykorzystaniem wcześniejszych metod)

1) $\dpi{120} \int \frac{\sin xdx}{\sqrt[3]{1+2\cos x}},$

Rozwiązanie

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} 1+2\cos x=t$

$\dpi{120} -2\sin xdx=dt$

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{-2\sin x}$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{\sin xdx}{\sqrt[3]{1+2\cos x}}=\int \frac{\sin x\cdot \frac{dt}{-2 \sin x}}{\sqrt[3]{t}}=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt[3]{t}}=-\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{3}}dt=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}+C_{1}\overset{t=1+2\cos x}{=}-\frac{3}{4}\left ( 1+2 \cos x \right )^{\frac{2}{3}}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+\cos ^{2}x}}dx,$

Rozwiązanie

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} 1+\cos ^{2}x=t$

$\dpi{120} 2\cos x\cdot \left ( -\sin x \right )dx=dt$

$\dpi{120} -2\sin x\cos xdx=dt$

$\dpi{120} -\sin 2xdx=dt$

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{-\sin 2x}$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+\cos ^{2}x}}dx=\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{t}}\cdot \frac{dt}{- \sin 2x}=-\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=$

$\dpi{120} =-\int t^{-\frac{1}{2}}dt=-\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C_{1}=-2\sqrt{t}+C_{1}\overset{1+\cos ^{2}x}{=}$

$\dpi{120} \overset{1+\cos ^{2}x}{=}-2\sqrt{1+ \cos ^{2}x}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \frac{x}{\cos ^{2}x}dx,$

Rozwiązanie

Liczymy całkę przez części. Przyjmujemy:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=x,\; \; g'\left ( x \right )=\frac{1}{\cos ^{2}x}$

$\dpi{120} f'\left ( x \right )=1,\; \; g\left ( x \right )=\int \frac{1}{\cos ^{2}x}dx=tg\, x$

Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy:

$\dpi{120} \int f\left ( x \right )g'\left ( x \right )dx=f\left ( x \right )g\left ( x \right )-\int f'\left ( x \right )g\left ( x \right )dx$

$\dpi{120} \int \frac{x}{\cos ^{2}x}dx=x\cdot tg\, x-\int 1\cdot tg\, xdx=xtg\, x-\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} \cos x=t$

$\dpi{120} -\sin xdx=dt$

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{-\sin x}$

Otrzymujemy:

$\dpi{120} \int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\int \frac{\sin x}{t}\cdot \frac{dt}{- \sin x}=-\int \frac{dt}{t}=-\ln \left | t \right |\overset{t=\cos x}{=}-\ln \left | \cos x \right |$