W temacie tym nie ma zakładek Teoria i Wzory, gdyż wszystko wytłumaczymy na przykładach. Są to całki, które koniecznie należy opanować. Kolejność zadań jest tutaj bardzo istotna. Każde zadanie to jeden schemat. W każdym kolejnym dodajemy coś nowego i w ten sposób dochodzimy do całek wymiernych w najogólniejszej postaci. Dla mniej wytrwałych zadania konieczne to zadania od 1 do 5. Kolejne są dosyć długie i raczej rzadko trafiają się na kolokwiach i egzaminach. Mimo wszystko zachęcamy do ich przestudiowania. Są to całki wymierne w najogólniejszej postaci.
Zadanie 1. Obliczyć całki: (Ważny wzór, o którym należy pamiętać, wyprowadzony w 1 podpunkcie)
1)
Rozwiązanie
Zastosujemy wcześniej poznaną metodę przez podstawianie:
Wstawiamy do całki:
Wzór do zapamiętania:
2)
Rozwiązanie
Zauważmy, że w liczniku występuje pochodna mianownika:
Zatem możemy zastosować wzór z poprzedniego podpunkty:
Mamy:
3)
Rozwiązanie
Zauważmy, że w liczniku występuje pochodna mianownika:
Zatem możemy zastosować wzór z poprzedniego podpunkty:
Mamy:
4)
Rozwiązanie
Zauważmy, że w liczniku mamy prawie pochodną mianownika. Różni się o stałą.
Wstawiamy wówczas do licznika pochodna mianownika i mnożymy przez odpowiednią stałą, aby nie zmienić funkcji podcałkowej:
W całkach wymiernych wybór schematu zależy od mianownika. Dlatego każdą całkę zaczynamy od sprawdzenia znaku
(oczywiście tam, gdzie ma to sens)
Zadanie 2. Obliczyć całki typu:
1)
Rozwiązanie
1. Zawsze zaczynamy od policzenia mianownika:
2. Rozkładamy mianownik na czynniki ze wzoru: .
Zatem:
3. Wracamy do całki:
Funkcję podcałkową rozkładamy na tzw. ułamki proste. Przy rozkład będzie zawsze wyglądał następująco:
W liczniku wstawiamy dowolne stałe i
. Mnożymy równanie przez wspólny mianownik czyli
. Naszym zadaniem jest obliczenie stałych
i
. Otrzymujemy:
(grupujemy przy tych samych potęgach
)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Otrzymujemy:
Całka zapisze się w postaci:
4. Ważny wzór do tego typu całek:
Stosujemy powyższy wzór do naszych dwóch całek:
Ostatecznie wstawiamy do całki:
Po redukcji:
Możemy jeszcze wykorzystać własność logarytmu:
2)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
2. Rozkładamy mianownik na czynniki ze wzoru: .
Zatem:
3. Całka zapisuje się jako:
Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste:
(grupujemy przy tych samych potęgach
)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Całka zapisuje się w postaci:
Dostaliśmy (tak jak w poprzednim przykładzie) dwie całki, do których stosujemy wzór:
Zawsze w tym momencie dostaniemy dwie całki, które liczymy z powyższego wzoru, dlatego jest on bardzo ważny.
Mamy:
Ostatecznie:
3)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
2. Rozkładamy mianownik na czynniki ze wzoru: .
Zatem:
3. Całka zapisuje się jako:
Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste:
(grupujemy przy tych samych potęgach
)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Całka zapisuje się w postaci:
Dostaliśmy dwie całki, do których stosujemy wzór:
Mamy:
Ostatecznie:
4)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
2. Rozkładamy mianownik na czynniki ze wzoru: .
Zatem:
3. Całka zapisuje się jako:
Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste:
(grupujemy przy tych samych potęgach
)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Całka zapisuje się w postaci:
Dostaliśmy dwie całki, do których stosujemy wzór:
Mamy:
Ostatecznie:
5)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
2. Rozkładamy mianownik na czynniki ze wzoru: .
Zatem:
3. Całka zapisuje się jako:
Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste:
(grupujemy przy tych samych potęgach
)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Całka zapisuje się w postaci:
Dostaliśmy dwie całki, do których stosujemy wzór:
Mamy:
Ostatecznie:
Zadanie 3. Obliczyć całki typu:
1)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
Wynika stąd, że w mianowniku mamy wzór skróconego mnożenia. Mamy:
Całka zapisuje się w postaci:
2. Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste w następujący sposób (inaczej niż we wcześniejszym zadaniu):
(mnożymy przez wspólny mianownik)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Całka zapisuje się w postaci:
3. Całkę liczymy ze wzoru z wcześniejszego zadania, zaś
z kolejnego wzoru na ściągawkę:
Przypominamy wcześniejszy wzór:
Otrzymujemy:
Po redukcji:
2)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
Wynika stąd, że w mianowniku mamy wzór skróconego mnożenia. Mamy:
Całka zapisuje się w postaci:
2. Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste:
(mnożymy przez wspólny mianownik)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Całka zapisuje się w postaci:
3. Całkę i
liczymy ze wzorów:
Otrzymujemy:
Po redukcji:
3)
Rozwiązanie
Zauważmy, że w tej całce mianownik mamy już zapisany w odpowiedniej postaci. Możemy zatem zacząć rozwiązywanie od punktu 2.
2. Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste:
(mnożymy przez wspólny mianownik)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Całka zapisuje się w postaci:
3. Całkę i
liczymy ze wzorów:
Otrzymujemy:
4)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
Wynika stąd, że w mianowniku mamy wzór skróconego mnożenia. Mamy:
Całka zapisuje się w postaci:
2. Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste:
(mnożymy przez wspólny mianownik)
(porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach
)
(rozwiązujemy układ dowolną metodą)
Całka zapisuje się w postaci:
3. Całkę i
liczymy ze wzorów:
Otrzymujemy:
Po redukcji:
Zadanie 4. Obliczyć całki typu:
1)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
W naszym przykładzie:
Całka zapisuje się w postaci:
2. Wyłączamy współczynnik przed całkę. Uwaga na błędy! Poprawnie wyłączyć czynnik z wyrazu wolnego, czyli
:
3. Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do całki:
4. Wyłączmy przed znak całki stałe z licznika i mianownika:
5. Po wyłączeniu stałych powinna nam zawsze zostać całka:
Jeżeli nie otrzymaliśmy takiej całki to znaczy, że mamy błąd. Zatem:
6. Wracamy do podstawienia:
Po wstawieniu otrzymujemy:
Ostatecznie:
2)
Rozwiązanie
1. Liczymy :
Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
W naszym przykładzie:
Całka zapisuje się w postaci:
2. W naszym przykładzie , więc nie mamy co wyłączać przed całkę.
3. Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do całki:
4. Wyłączmy przed znak całki stałe z licznika i mianownika:
5. Po zastosowaniu wzoru:
mamy:
6. Wracamy do podstawienia:
Po wstawieniu otrzymujemy:
Ostatecznie:
3)
1. Liczymy :
Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
W naszym przykładzie:
Całka zapisuje się w postaci:
2. W naszym przykładzie , więc nie mamy co wyłączać przed całkę.
3. Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do całki:
4. Wyłączmy przed znak całki stałe z licznika i mianownika:
5. Po zastosowaniu wzoru:
mamy:
6. Wracamy do podstawienia:
Po wstawieniu otrzymujemy:
Ostatecznie:
Zadanie 5. Obliczyć całki typu:
1)
Rozwiązanie
Sprawdzamy :
Jeżeli opanowaliśmy schemat z poprzedniego zadania, to dochodzi nam jeden początkowy krok. Oznaczymy go ”0”. A później liczymy według schematu z zadania 4. Zatem:
0. W liczniku musi pojawić się pochodna mianownika. Oczywiście nie możemy zmienić wartości funkcji podcałkowej, więc będziemy musieli uzgodnić współczynniki.
Wstawiamy do licznika:
Skąd wzięły się liczby i
? Po wstawieniu pochodnej patrzymy jaki współczynnik przy
mamy w chwili obecnej, a jaki mieliśmy wcześniej. U nas mamy
, a mieliśmy
. Aby były równe, musimy pomnożyć przez
. Teraz patrzymy na wyraz wolny. Pamiętajmy, że mamy już
. Obecnie wyraz wolny jest równy
, a był
. Zatem, aby były równe należy odjąć
.
Rozdzielamy na sumę dwóch całek, wyłączając stałe przed znak całki:
Całka 1. jest zawsze całką z zadania 1. W liczniku mamy pochodną mianownika, więc stosujemy wzór:
Całka 2. jest całką z poprzedniego zadania, do której stosujemy poznany schemat.
Po wstawieniu do całki:
Liczymy .
1. Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
W naszym przykładzie:
Całka zapisuje się w postaci:
2. Wyłączamy z mianownika przed znak całki.
3. Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do całki:
4. Wyłączmy przed znak całki stałe z licznika i mianownika:
5. Po zastosowaniu wzoru:
mamy:
6. Wracamy do podstawienia:
Po wstawieniu otrzymujemy:
Ostatecznie:
Pamiętajmy o powrocie do wyjściowej całki:
2)
Rozwiązanie
Sprawdzamy :
0. W liczniku musi pojawić się pochodna mianownika. Oczywiście nie możemy zmienić wartości funkcji podcałkowej, więc będziemy musieli uzgodnić współczynniki.
Wstawiamy do licznika:
Po wstawieniu pochodnej patrzymy jaki współczynnik przy mamy w chwili obecnej, a jaki mieliśmy wcześniej. U nas mamy
, a mieliśmy
. Aby były równe, musimy pomnożyć przez
. Teraz patrzymy na wyraz wolny. Pamiętajmy, że mamy już
. Obecnie wyraz wolny jest równy
, a był
. Zatem, aby były równe należy odjąć
.
Rozdzielamy na sumę dwóch całek, wyłączając stałe przed znak całki:
W całce 1. w liczniku mamy pochodną mianownika, więc stosujemy wzór:
Całka 2. jest całką z zadania 4, do której stosujemy poznany tam schemat.
Po wstawieniu do całki:
Liczymy .
1. Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
W naszym przykładzie:
Całka zapisuje się w postaci:
2. U nas więc nie ma czego wyłączać przed całkę.
3. Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do całki:
4. Wyłączmy przed znak całki stałe z licznika i mianownika:
5. Po zastosowaniu wzoru:
mamy:
6. Wracamy do podstawienia:
Po wstawieniu otrzymujemy:
Ostatecznie:
Pamiętajmy o powrocie do wyjściowej całki:
3)
Rozwiązanie
Sprawdzamy :
0. W liczniku musi pojawić się pochodna mianownika. Oczywiście nie możemy zmienić wartości funkcji podcałkowej, więc będziemy musieli uzgodnić współczynniki.
Wstawiamy do licznika:
Po wstawieniu pochodnej patrzymy jaki współczynnik przy mamy w chwili obecnej, a jaki mieliśmy wcześniej. U nas mamy
, a mieliśmy
. Aby były równe, musimy pomnożyć przez
. Teraz patrzymy na wyraz wolny. Pamiętajmy, że mamy już
. Obecnie wyraz wolny jest równy
, a był
. Zatem, aby były równe należy dodać
.
Rozdzielamy na sumę dwóch całek, wyłączając stałe przed znak całki:
Całka 1. jest zawsze całką z zadania 1. W liczniku mamy pochodną mianownika, więc stosujemy wzór:
Całka 2. jest całką z poprzedniego zadania, do której stosujemy poznany schemat.
Po wstawieniu do całki:
Liczymy .
1. Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
W naszym przykładzie:
Całka zapisuje się w postaci:
2. Wyłączamy z mianownika przed znak całki.
3. Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do całki:
4. Wyłączmy przed znak całki stałe z licznika i mianownika:
5. Po zastosowaniu wzoru:
mamy:
6. Wracamy do podstawienia:
Po wstawieniu otrzymujemy:
Ostatecznie:
Pamiętajmy o powrocie do wyjściowej całki:
4)
Rozwiązanie
Sprawdzamy :
0. W liczniku musi pojawić się pochodna mianownika. Oczywiście nie możemy zmienić wartości funkcji podcałkowej, więc będziemy musieli uzgodnić współczynniki.
Wstawiamy do licznika:
Po wstawieniu pochodnej patrzymy jaki współczynnik przy mamy w chwili obecnej, a jaki mieliśmy wcześniej. U nas mamy
i mieliśmy
. Więc nie są potrzebne żadne współczynniki. Teraz patrzymy na wyraz wolny. Obecnie wyraz wolny jest równy
, a był
. Zatem, aby były równe należy dodać
.
Rozdzielamy na sumę dwóch całek, wyłączając stałe przed znak całki:
W całce 1.w liczniku mamy pochodną mianownika, więc stosujemy wzór:
Całka 2. jest całką z zadania 1, do której stosujemy poznany schemat.
Po wstawieniu do całki:
Liczymy .
1. Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
W naszym przykładzie:
Całka zapisuje się w postaci:
2. Wyłączamy z mianownika przed znak całki.
3. Wykonujemy podstawienie:
Wstawiamy do całki:
4. Wyłączmy przed znak całki stałe z licznika i mianownika:
5. Po zastosowaniu wzoru:
mamy:
6. Wracamy do podstawienia:
Po wstawieniu otrzymujemy:
Ostatecznie:
Pamiętajmy o powrocie do wyjściowej całki:
Zadanie 6. Obliczyć całki typu:
1)
Rozwiązanie
Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to zaczynamy od podzielenia licznika przez mianownik:
Mamy, że:
Zatem wracając do całki:
Zauważmy, że w drugiej całce w liczniku mamy ”prawie” pochodną mianownika, więc:
Wracając do wyjściowej całki:
2)
Rozwiązanie
Stopień licznika jest wyższy niż stopień mianownika, więc dzielimy licznik przez mianownik:
Mamy, że:
Wracając do całki otrzymujemy:
Policzmy całkę .
Jest to całka typu . Zauważmy, że mianownik jest już w postaci kanonicznej. Według schematu przedstawionego w zadaniu 4 teraz należy wyłączyć współczynnik
przed całkę:
Robimy podstawienie:
Wstawiamy do całki:
Z podstawienia mamy:
Zatem:
Wracając do wyjściowej całki mamy:
3)
Rozwiązanie
Ponieważ stopień licznika jest wyższy niż mianownika, dzielimy licznik przez mianownik:
Otrzymaliśmy:
Wracając do całki:
Liczymy całkę .
Sprawdzamy :
Zatem:
Rozkładamy mianownik na ułamki proste:
Mamy:
Wracając do wyjściowej całki otrzymujemy:
Zadanie 7. Obliczyć całki typu:
1)
Rozwiązanie
1. Stopień licznika jest mniejszy niż mianownika, więc nie dzielimy licznika przez mianownik.
2. Rozkładamy mianownik na czynniki:
Całka zapisze się jako:
3. Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:
Wracamy do całki:
Liczymy po kolei całki:
Otrzymujemy:
2)
Rozwiązanie
1. Stopień licznika jest wyższy niż mianownika, więc dzielimy licznik przez mianownik:
Zatem:
2. Rozkładamy mianownik na czynniki:
Całka zapisze się jako:
3. Liczymy .
Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:
W miejsce podstawiamy kolejno pierwiastki mianownika:
dla mamy
dla mamy
Chcąc znaleźć pozostałe współczynniki i
przyrównujemy współczynniki przy
oraz wyrazy wolne. Mamy:
A więc:
Całkujemy:
Obliczamy poszczególne całki:
Mamy:
Ostatecznie: