Liczby zespolone, potęgowanie, zadania

Polecamy zajrzeć do zakładki Wzory tutaj, gdzie znajdziemy wszystkie potrzebne wzory, jak również algorytm na potęgowanie liczb zespolonych.

Zadanie 1. Korzystając ze wzoru de Moivre’a, obliczyć:

Wykorzystujemy wzór:

$wzór Moivre'a (potęgowanie liczb zespolonych)$

a) $\dpi{120} \left ( \sqrt{3}-i \right )^{18}$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} \sqrt{3}-i$ do postaci trygonometrycznej (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniu n) w temacie postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=2,\; \sin \varphi =-\frac{1}{2},\; \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Wynika stąd, że $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{6},\; \varphi \in IV$ ćwiartki, a więc $\dpi{120} \varphi =2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11}{6}\pi.$ Zatem postać trygonometryczna:

$\dpi{120} \sqrt{3}-i=2\cdot \left ( \cos \frac{11}{6}\pi+i\, \sin \frac{11}{6}\pi \right )$

2. Stosujemy wzór de Moivre’a: $\dpi{120} z^{n}=\left | z \right |^{n}\cdot \left ( \cos \left ( n\varphi \right )+i\, \sin \left ( n\varphi \right ) \right ),\: n\in \mathbb{N}$ . U nas $\dpi{120} n=18$ :

$\dpi{120} \left ( \sqrt{3} -i\right )^{18}=2^{18}\cdot \left ( \cos \left ( 18\cdot \frac{11}{6}\pi \right )+i\, \sin \left ( 18\cdot \frac{11}{6}\pi \right ) \right )=$ skracamy wyrażenie $\dpi{120} \small 18\cdot \frac{11}{6}\pi$

$\dpi{120} =2^{18}\cdot \left ( \cos \left ( 3\cdot 11\pi \right )+i\, \sin \left ( 3\cdot 11\pi \right ) \right )=$

$\dpi{120} =2^{18}\cdot \left ( \cos \left ( 33\pi \right )+i\, \sin \left ( 33\pi \right ) \right )$

3. Korzystamy z okresowości $\dpi{120} \sin \, x$ oraz $\dpi{120} \cos \, x$ (okres $\dpi{120} 2\pi$ ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność $\dpi{120} 2\pi$ zawartą w argumencie tych funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy $\dpi{120} 32\pi$ . Zatem:

$\dpi{120} \left ( \sqrt{3}-i \right )^{18}=2^{18}\cdot \left ( \cos \pi +i\sin \pi \right )=2^{18}\cdot \left ( -1+i\cdot 0 \right )=-2^{18}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{33},$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} -i\frac{\sqrt{2}}{2}\right )$ do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=1,\;$

$\left ( \sin \varphi =-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \varphi =-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\Rightarrow$ $\dpi{120} (\varphi \in$ III ćw., $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{4})$ $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5}{4}\pi$

Czyli

$\dpi{120} -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=1\cdot \left ( \cos \frac{5}{4}\pi +i\sin \frac{5}{4}\pi \right )$

2. Wzór de Moivre’a dla $\dpi{120} n=33$ :

$\dpi{120} \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{33}=1^{33}\cdot \left ( \cos \left ( 33\cdot \frac{5}{4}\pi \right )+i\sin \left ( 33\cdot \frac{5}{4}\pi \right ) \right )=$

$\dpi{120} =\cos \left ( \frac{165}{4}\pi \right )+i\sin \left ( \frac{165}{4}\pi \right )=$ (wyłączamy całości)

$\dpi{120} =\cos \left ( 41\frac{1}{4}\pi \right )+i\sin \left ( 41\frac{1}{4}\pi \right )=$

3. Korzystamy z okresowości $\dpi{120} \sin x$ oraz $\dpi{120} \cos x$ (okres $\dpi{120} 2\pi$ ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność $\dpi{120} 2\pi$ zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy $\dpi{120} 40\pi$ . Zatem:

$\dpi{120} = \cos \left ( 1\frac{1}{4}\pi \right )+i\sin \left ( 1\frac{1}{4}\pi \right )=$ (wzory redukcyjne)

Argument $\dpi{120} 1\frac{1}{4}\pi$ zapisujemy jako $\dpi{120} \pi +\frac{\pi }{4}$ , aby móc skorzystać ze wzorów redukcyjnych (patrz zakładka Wzory dla tego tematu tutaj)

$\dpi{120} =\cos \left ( \pi +\frac{\pi }{4} \right )+i\sin \left ( \pi +\frac{\pi }{4} \right )=$

$\dpi{120} =-\cos \frac{\pi }{4}-i\sin \frac{\pi }{4}=$ (tabela wartości)

$\dpi{120} =-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+i \right )$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} \left ( -1+i \right )^{19}$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} -1+i$ do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniu g) w temacie Postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=2,\;$

$\left ( \sin \varphi =\frac{\sqrt{2}}{2},\cos\varphi =-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\Rightarrow$ $\dpi{120} (\varphi \in$ II ćw, $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{4})$ $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\pi.$

Czyli

$\dpi{120} -1+i=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{3}{4}\pi +i\sin \frac{3}{4}\pi \right ).$

2. Wzór de Moivre’a dla $\dpi{120} n=19$ :

$\dpi{120} \left ( -1+i \right )^{19}=\left ( \sqrt{2} \right )^{19}\cdot \left ( \cos \left ( 19\cdot \frac{3}{4}\pi \right )+i\sin \left ( 19\cdot \frac{3}{4}\pi \right ) \right )=$

$\dpi{120} =\left ( \sqrt{2} \right )^{19}\left [ \cos \left ( \frac{57}{4}\pi \right )+i\sin \left ( \frac{57}{4}\pi \right ) \right ]=$ (wyłączamy całości)

$\dpi{120} =\left ( \sqrt{2} \right )^{19}\left [\cos \left ( 14\frac{1}{4} \pi \right )+i \sin \left ( 14\frac{1}{4}\pi \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =\left ( \sqrt{2} \right )^{19}\left [ \cos \left ( \frac{1}{4}\pi \right ) +i\sin \left ( \frac{1}{4}\pi \right )\right ]=$ (tabela wartości)

$\dpi{120} =\left ( \sqrt{2} \right )^{19}\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} +i\frac{\sqrt{2}}{2}\right )=\left ( \sqrt{2} \right )^{19}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+i \right )=\frac{\left (\sqrt{2} \right )^{20}}{2}\left ( 1+i \right )=$

$\dpi{120} =2^{9}\left ( 1+i \right )$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} \left ( \sqrt{2} -i\sqrt{2}\right )^{47}$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} \left ( \sqrt{2} -i\sqrt{2}\right )$ do postaci trygonometrycznej (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie Postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=2,\;$

$\left ( \sin \varphi =-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos\varphi =\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\Rightarrow$ $\dpi{120} (\varphi \in$ IV ćw, $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{4})$ $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7}{4}\pi .$

Czyli

$\dpi{120} \sqrt{2}-i\sqrt{2}=2\cdot \left ( \cos \frac{7}{4}\pi +i\sin \frac{7}{4}\pi \right ).$

2. Stosujemy wzór de Moivre’a dla $\dpi{120} n=47$

$\dpi{120} \left ( \sqrt{2}-i\sqrt{2} \right )^{47}=2^{47}\cdot \left ( \cos \left ( 47\cdot \frac{7}{4}\pi \right )+i\sin \left ( 47\cdot \frac{7}{4}\pi \right ) \right )=$

$\dpi{120} =2^{47}\left [ \cos \left ( \frac{329}{4}\pi \right ) +i\sin \left ( \frac{329}{4}\pi \right )\right ]=$ (wyłączamy całości)

$\dpi{120} =2^{47}\left [ \cos \left ( 82\frac{1}{4}\pi \right )+i\sin \left ( 82\frac{1}{4} \pi \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =2^{47}\left [ \cos \left ( \frac{1}{4}\pi \right )+i\sin \left ( \frac{1}{4}\pi \right ) \right ]=$ (tabela wartości)

$\dpi{120} =2^{47}\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=2^{47}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+i \right )=2^{46}\sqrt{2}\left ( 1+i \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} \frac{\left ( 1-i\sqrt{3} \right )^{34}}{\left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{17}},$

Rozwiązanie

Policzmy oddzielnie $\dpi{120} \left ( 1-i\sqrt{3} \right )^{34}$ oraz $\dpi{120} \left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{34}.$

$\dpi{120} \left ( 1-i\sqrt{3} \right )^{34}$

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} 1-i\sqrt{3}$ do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wyjaśnienie w zadaniach w temacie Postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=2,\;$

$\left ( \sin \varphi =-\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \varphi =\frac{1}{2} \right )\Rightarrow$ $\dpi{120} (\varphi \in$ IV ćw, $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{3})$ $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5}{3}\pi .$

Czyli

$\dpi{120} 1-i\sqrt{3}=2\cdot \left (\cos \frac{5}{3}\pi +i\sin \frac{5}{3}\pi \right )$

2. Wzór de Moivre’a dla $\dpi{120} n=34$

$\dpi{120} \left (1-i\sqrt{3} \right )^{34}=2^{34}\cdot \left ( \cos \left ( 34\cdot \frac{5}{3}\pi \right )+i\sin \left ( 34\cdot \frac{5}{3}\pi \right ) \right )=$ (mnożymy wyrażenie $\dpi{120} \small 34\cdot \frac{5}{3}\pi$ )

$\dpi{120} =2^{34}\left [ \cos \left ( \frac{170}{3}\pi \right )+i\sin \left ( \frac{170}{3}\pi \right ) \right ]=$ (wyłączamy całości)

$\dpi{120} =2^{34}\left [ \cos \left ( 56\frac{2}{3}\pi \right )+i\sin \left ( 56\frac{2}{3}\pi \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =2^{34}\left [ \cos \left ( \frac{2}{3}\pi \right )+i\sin \left ( \frac{2}{3}\pi \right ) \right ]=$ (wzory redukcyjne)

Argument $\dpi{120} \frac{2}{3}\pi$ zapisujemy jako $\dpi{120} \pi -\frac{\pi }{3}$ , aby móc skorzystać ze wzorów redukcyjnych (patrz zakładka Wzory dla tego tematu)

$\dpi{120} =2^{34}\left [ \cos \left ( \pi -\frac{\pi }{3} \right )+i\sin \left ( \pi -\frac{\pi }{3} \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =2^{34}\left ( -\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right )=$ (tabela wartości)

$\dpi{120} =2^{34}\left ( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )=2^{34}\cdot \frac{1}{2}\left ( -1+i\sqrt{3} \right )=2^{33}\left ( -1+i\sqrt{3} \right ).$

Teraz liczymy $\dpi{120} \left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{17}$

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} 1+i\sqrt{3}$ do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie Postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=2,\;$

$\dpi{120} \left ( \sin \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \varphi =\frac{1}{2} \right )\Rightarrow$ $\dpi{120} (\varphi \in$ I ćw, $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{3})$ $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =\alpha =\frac{\pi }{3}.$

Czyli

$\dpi{120} 1+i\sqrt{3}=2\cdot \left ( \cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3}\right ).$

2. Wzór de Moivre’a dla $\dpi{120} n=17$

$\dpi{120} \left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{17}=2^{17}\cdot \left ( \cos \left ( 17\cdot \frac{1}{3}\pi \right )+i\sin \left ( 17\cdot \frac{1}{3}\pi \right ) \right )=$ (mnożymy wyrażenie $\dpi{120} \small 17\cdot \frac{1}{3}\pi$ )

$\dpi{120} =2^{17}\left [ \cos \left ( \frac{17}{3}\pi \right )+i\sin \left ( \frac{17}{3} \right ) \right ]=$ (wyłączamy całości)

$\dpi{120} =2^{17}\left [ \cos \left ( 5\frac{2}{3}\pi \right )+i\sin \left ( 5\frac{2}{3}\pi \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =2^{17}\left [ \cos \left ( 1\frac{2}{3}\pi \right )+i\sin \left ( 1\frac{2}{3}\pi \right ) \right ]=$ (wzory redukcyjne)

Argument $\dpi{120} 1\frac{2}{3}\pi$ zapisujemy jako $\dpi{120} 2\pi -\frac{\pi }{3}$ , aby móc skorzystać ze wzorów redukcyjnych (patrz zakładka Wzory dla tego tematu tutaj)

$\dpi{120} =2^{17}\left [ \cos \left ( 2\pi -\frac{\pi }{3} \right )+i\sin \left ( 2\pi -\frac{\pi }{3} \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =2^{17}\left ( \cos \frac{\pi }{3}-i\sin \frac{\pi }{3} \right )=$

$\dpi{120} =2^{17}\left ( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )=2^{17}\cdot \frac{1}{2}\left ( 1-i\sqrt{3} \right )=2^{16}\left ( 1-i\sqrt{3} \right ).$

Podsumowując,

$\dpi{120} \frac{\left ( 1-i\sqrt{3} \right )^{34}}{\left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{34}}=\frac{2^{33}\left ( -1+i\sqrt{3} \right )}{2^{16}\left ( 1-i\sqrt{3} \right )}=2^{17}\frac{-\left ( 1-i\sqrt{3} \right )}{\left ( 1-i\sqrt{3} \right )}=-2^{17}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} \left ( \frac{1+i}{1+i\sqrt{3}} \right )^{2017},$

Rozwiązanie

Zapisujemy liczbę w innej postaci: rozdzielamy na potęgę licznika i potęgę mianownika, czyli:

$\dpi{120} \left ( \frac{1+i}{1+i\sqrt{3}} \right )^{2017}=\frac{\left ( 1+i \right )^{2017}}{\left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{2017}}$

Liczymy oddzielnie obie potęgi.

$\dpi{120} \left ( 1+i \right )^{2017}$

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} 1+i$ do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wyjaśnienie w zadaniach w temacie Postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{2},\;\left ( \sin \varphi =\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \varphi =\frac{\sqrt{2}}{2}\right )\Rightarrow$ ( $\dpi{120} \varphi \in$ I ćw) $\dpi{120} \Rightarrow \phi =\frac{\pi }{4}.$

Czyli

$\dpi{120} 1+i=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{1}{4}\pi +i\sin\frac{1}{4}\pi \right ).$

2. Wzór de Moivre’a dla $\dpi{120} n=2017$

$\dpi{120} \left ( 1+i \right )^{2017}=\left ( \sqrt{2} \right )^{2017}\cdot \left ( \cos \left ( 2017\cdot \frac{1}{4}\pi \right )+i\sin \left ( 2017\cdot \frac{1}{4}\pi \right ) \right )=$

$\dpi{120} =\left ( \sqrt{2} \right )^{2017}\left [ \cos \left ( \frac{2017}{4}\pi \right )+i\sin \left ( \frac{2017}{4}\pi \right ) \right ]=$ (wyłączamy całości)

$\dpi{120} =\left ( \sqrt{2} \right )^{2017}\left [ \cos \left ( 504\frac{1}{4}\pi \right )+i\sin \left ( 504\frac{1}{4}\pi \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =\left ( \sqrt{2} \right )^{2017}\left [ \cos \left (\frac{1}{4}\pi \right )+i\sin \left (\frac{1}{4}\pi \right ) \right ]=$ (tabela wartości)

$\dpi{120} =\left ( \sqrt{2} \right )^{2017}\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=\left ( \sqrt{2} \right )^{2017}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+i \right )=2^{2018}\left ( 1+i \right ).$

$\dpi{120} \left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{2017}$

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} 1+i\sqrt{3}$ do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=2,\; \left ( \sin \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \varphi =\frac{1}{2} \right )\Rightarrow$ ( $\dpi{120} \varphi \in$ I ćw, $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{3}$ ) $\dpi{120} \varphi =\alpha =\frac{\pi }{3}$ .

Czyli

$\dpi{120} 1+i\sqrt{3}=2\cdot \left ( \cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3}\right ).$

2. Wzór de Moivre’a dla $\dpi{120} n=2017$

$\dpi{120} \left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{2017}=2^{2017}\cdot \left ( \cos \left ( 2017\cdot \frac{1}{3}\pi \right )+i\sin \left ( 2017\cdot \frac{1}{3}\pi \right ) \right )=$

$\dpi{120} =2^{2017}\left [ \cos \left ( \frac{2017}{3}\pi \right )+i\sin \left ( \frac{2017}{3}\pi \right ) \right ]=$ (wyłączamy całości)

$\dpi{120} =2^{2017}\left [ \cos \left ( 672\frac{1}{3}\pi \right )+i\sin \left ( 627\frac{1}{3}\pi \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =2^{2017}\left [ \cos \left ( \frac{1}{3} \pi \right )+i\sin \left ( \frac{1}{3}\pi \right ) \right ]=$ (tabela wartości)

$\dpi{120} =2^{2017}\left ( \frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3}}{2}\right )=2^{2017}\cdot \frac{1}{2}\left ( 1+i\sqrt{3} \right )=2^{2016}\left ( 1+i\sqrt{3} \right ).$

Podsumowując:

$\dpi{120} \left ( \frac{1+i}{1+i\sqrt{3}} \right )^{2017}=\frac{\left ( 1+i \right )^{2017}}{\left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{2017}}=\frac{2^{1008\left ( 1+i \right )}}{2^{2016}\left ( 1+i\sqrt{3} \right )}=\frac{1}{2^{1008}}\cdot \frac{1+i}{1+i\sqrt{3}}.$

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:

$\dpi{120} \frac{1}{2^{1008}}\cdot \frac{1+i}{1+i\sqrt{3}}\cdot \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}=\frac{1}{2^{1008}}\cdot \frac{1-i\sqrt{3}+i+\sqrt{3}}{1+3}=\frac{1}{2^{1008}}\cdot \frac{1+\sqrt{3}+i\left ( 1-\sqrt{3} \right )}{4}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2^{2010}}\left ( 1+\sqrt{3}+i\left ( 1-\sqrt{3} \right ) \right )$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

g) $\dpi{120} \left ( \frac{\sqrt{3}+i}{2} -i\right )^{24},$

Rozwiązanie

Sprowadzamy do wspólnego mianownika wyrażenie w nawiasie:

$\dpi{120} \left ( \frac{\sqrt{3}+i}{2}-i \right )^{24}=\left ( \frac{\sqrt{3}+i-2i}{2} \right )^{24}=\left ( \frac{\sqrt{3}-i}{2} \right )^{24}=\frac{\left ( \sqrt{3}-i \right )^{24}}{2^{24}}$

1. Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} \sqrt{3}-i$ do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie postać trygonometryczna tutaj)

$\dpi{120} \left | z \right |=2,\; \left ( \sin \varphi =-\frac{1}{2},\cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2} \right )\Rightarrow$ ( $\dpi{120} \varphi \in$ IV ćw, $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{6}$ ) $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =2\alpha -\frac{\pi }{6}=\frac{11}{6}\pi .$

Czyli

$\dpi{120} \sqrt{3}-i=2\cdot \left ( \cos \frac{11}{6}\pi +i\sin \frac{11}{6}\pi \right ).$

2. Wzór de Moivre’a dla $\dpi{120} n=24$

$\dpi{120} \left ( \sqrt{3} -i\right )^{24}=2^{24}\cdot \left ( \cos \left ( 24\cdot \frac{11}{6}\pi \right )+i\sin \left ( 24\cdot \frac{11}{6}\pi \right ) \right )=$

$\dpi{120} =2^{24}\left [ \cos \left ( 44\pi \right )+i\sin \left ( 44\pi \right ) \right ]$

Korzystamy z okresowości $\dpi{120} \sin x$ oraz $\dpi{120} \cos x$ (okres $\dpi{120} 2\pi$ ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność $\dpi{120} 2\pi$ zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy $\dpi{120} 44\pi$ . Zatem:

$\dpi{120} =2^{24}\left ( \cos 0+i\sin 0 \right )=2^{24}\cdot \left ( 1+0i \right )=2^{24}$

Ostatecznie

$\dpi{120} \left ( \frac{\sqrt{3}+i}{2}-i \right )^{24}=\frac{\left ( \sqrt{3} -i\right )^{24}}{2^{24}}=\frac{2^{24}}{2^{24}}=1$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

h) $\dpi{120} \left ( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right )^{25}+\left ( 1+i \right )^{8},$

Rozwiązanie

Liczymy oddzielnie potęgi $\dpi{120} \left ( 1+i \right )^{25}$ oraz $\dpi{120} \left ( 1+i \right )^{8}$ . Możemy obydwie potęgi policzyć ze wzoru de Moivre’a, ale możemy również zrobić to inaczej, łatwiej i krócej. Najpierw $\dpi{120} \left ( 1+i \right )^{8}$ .

$\dpi{120} \left ( 1+i \right )^{8}\overset{1.}{=}\left [ \left ( 1+i \right )^{2} \right ]^{4}\overset{2.}{=}\left ( 1+2i+i^{2} \right )^{4}=\left ( 1+2i-1 \right )^{4}=\left ( 2i \right )^{4}=2^{4}\cdot i^{4}=$

$\dpi{120} =2^{4}\cdot \left ( i^{2} \right )^{2}=2^{4}\cdot \left ( -1 \right )^{2}=2^{4}.$

1. wykorzystujemy własność potęg $\small \left ( x^{a} \right )^{b}=x^{a\cdot b}$ , chcemy, aby w wykładniku pojawiła się druga potęga, będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia

2. stosujemy wzór $\small \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

Teraz analogicznie $\dpi{120} \left ( 1+i \right )^{25}:$

$\dpi{120} \left ( 1+i \right )^{25}\overset{3.}{=}\left ( 1+i \right )^{24}\cdot \left ( 1+i \right )=\left [ \left ( 1+i \right )^{2} \right ]^{12}\cdot \left ( 1+i \right )\overset{4.}{=}\left ( 2i \right )^{12}\cdot \left ( 1+i \right )=$

$\dpi{120} =2^{12}\cdot i^{12}\cdot \left ( 1+i \right )=2^{12}\cdot \left ( i^{2} \right )^{6}\cdot \left ( 1+i \right )=2^{12}\cdot \left ( -1 \right )^{6}\cdot \left ( 1+i \right )=2^{12}\cdot \left ( 1+i \right ).$

3. z własności potęg $\small x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}$ rozbijamy na iloczyn potęgi o wykładniku 1 i potęgi parzystej, aby móc przeprowadzić rozumowanie jak wcześniej

4. wykorzystaliśmy obliczenia wcześniejsze, a mianowicie że $\small \left ( 1+i \right )^{2}=2i$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \left ( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right )^{25}+\left ( 1+i \right )^{8}=\frac{\left ( 1+i \right )^{25}}{\left ( \sqrt{2} \right )^{25}}+\left ( 1+i \right )^{8}=\frac{2^{12}\cdot \left ( 1+i \right )}{\left ( \sqrt{2} \right )^{24}\cdot \sqrt{2}}+2^{4}=$

$\dpi{120} =\frac{2^{12}\cdot \left ( 1+i \right )}{\left ( 2^{\frac{1}{2}} \right )^{24}\cdot \sqrt{2}}+2^{4}=\frac{2^{12}\cdot \left ( 1+i \right )}{2^{12}\cdot \sqrt{2}}+2^{4}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+2^{4}=$

$\dpi{120} =\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}+2^{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+2^{4}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+2^{5}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

i) $\dpi{120} \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} -i\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^{67}.$

Rozwiązanie

Zrobimy podobnie jak w przykładzie h), nie używając wzoru de Moivre’a. Można oczywiście liczyć standardowo z jego zastosowaniem.

$\dpi{120} \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} -i\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^{67}=\left [ \frac{\sqrt{2}}{2} \left ( 1+i \right )\right ]^{67}=\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{67}\cdot \left ( 1-i \right )^{67}\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\frac{\left ( \sqrt{2} \right )^{67}}{2^{67}}\cdot \left ( 1-i \right )^{66}\cdot \left ( 1-i \right )\overset{2.}{=}\frac{\left ( \sqrt{2} \right )^{66}\cdot \sqrt{2}}{2^{67}}\cdot \left [ \left ( 1-i \right )^{2} \right ]^{33}\cdot \left ( 1-i \right )\overset{3.}{=}$

$\dpi{120} \overset{3.}{=}\frac{\left ( 2^{\frac{1}{2}^{66}\cdot \sqrt{2}} \right )}{2^{67}}\cdot \left ( 1-2i+i^{2} \right )^{33}\cdot \left ( 1-i \right )=\frac{2^{33}\sqrt{2}}{2^{67}}\cdot \left ( 1-2i-1 \right )^{33}\cdot \left ( 1-i \right )=$

$\dpi{120} =\frac{\sqrt{2}}{2^{34}}\cdot \left ( -2i \right )^{33}\cdot \left ( 1-i \right )=\frac{\sqrt{2}}{2^{34}}\cdot \left ( -2 \right )^{33}\cdot i^{33}\cdot \left ( 1-i \right )\overset{4.}{=}$

$\dpi{120} \overset{4.}{=}\frac{\sqrt{2}}{2^{34}}\cdot \left ( -1 \right )\cdot 2^{33}\cdot i^{32}\cdot i\cdot \left ( 1-i \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left ( -1 \right )\cdot \left ( i^{2} \right )^{16}\cdot \left ( i-i^{2} \right )=$

$\dpi{120} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left ( -1 \right )\cdot \left ( -1 \right )^{16}\cdot \left ( 1+i \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+i \right ).$

1. do wyrażenia $\small \left ( 1-i \right )^{67}$ korzystamy z $\small x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}$ i rozbijamy na iloczyn potęgi o wykładniku $\small 1$ i potęgi parzystej

2. wykorzystujemy własność potęg $\small \left ( x^{a} \right )^{b}=x^{a\cdot b}$ , chcemy, aby w wykładniku pojawiła się druga potęga, będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia

3. stosujemy wzór $\small \left ( x-y \right )^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}$

4. $\small i^{33}$ rozbijamy na iloczyn potęgi o wykładniku 1 i potęgi parzystej

Pokaż rozwiązanie

Zwiń