Polecamy zajrzeć do zakładki Wzory tutaj, gdzie znajdziemy wszystkie potrzebne wzory, jak również algorytm na potęgowanie liczb zespolonych.
Zadanie 1. Korzystając ze wzoru de Moivre’a, obliczyć:
Wykorzystujemy wzór:
a)
Rozwiązanie
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniu n) w temacie postać trygonometryczna tutaj)
Wynika stąd, że ćwiartki, a więc Zatem postać trygonometryczna:
2. Stosujemy wzór de Moivre’a: . U nas :
skracamy wyrażenie
3. Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie tych funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
b)
Rozwiązanie
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie postać trygonometryczna tutaj)
III ćw.,
Czyli
2. Wzór de Moivre’a dla :
(wyłączamy całości)
3. Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
(wzory redukcyjne)
Argument zapisujemy jako , aby móc skorzystać ze wzorów redukcyjnych (patrz zakładka Wzory dla tego tematu tutaj)
(tabela wartości)
c)
Rozwiązanie
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniu g) w temacie Postać trygonometryczna tutaj)
II ćw,
Czyli
2. Wzór de Moivre’a dla :
(wyłączamy całości)
3. Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
(tabela wartości)
d)
Rozwiązanie
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie Postać trygonometryczna tutaj)
IV ćw,
Czyli
2. Stosujemy wzór de Moivre’a dla
(wyłączamy całości)
3. Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
(tabela wartości)
e)
Rozwiązanie
Policzmy oddzielnie oraz
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wyjaśnienie w zadaniach w temacie Postać trygonometryczna tutaj)
IV ćw,
Czyli
2. Wzór de Moivre’a dla
(mnożymy wyrażenie )
(wyłączamy całości)
3. Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
(wzory redukcyjne)
Argument zapisujemy jako , aby móc skorzystać ze wzorów redukcyjnych (patrz zakładka Wzory dla tego tematu)
(tabela wartości)
Teraz liczymy
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie Postać trygonometryczna tutaj)
I ćw,
Czyli
2. Wzór de Moivre’a dla
(mnożymy wyrażenie )
(wyłączamy całości)
3. Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
(wzory redukcyjne)
Argument zapisujemy jako , aby móc skorzystać ze wzorów redukcyjnych (patrz zakładka Wzory dla tego tematu tutaj)
Podsumowując,
f)
Rozwiązanie
Zapisujemy liczbę w innej postaci: rozdzielamy na potęgę licznika i potęgę mianownika, czyli:
Liczymy oddzielnie obie potęgi.
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wyjaśnienie w zadaniach w temacie Postać trygonometryczna tutaj)
( I ćw)
Czyli
2. Wzór de Moivre’a dla
(wyłączamy całości)
3. Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
(tabela wartości)
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie postać trygonometryczna tutaj)
( I ćw, ) .
Czyli
2. Wzór de Moivre’a dla
(wyłączamy całości)
3. Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
(tabela wartości)
Podsumowując:
Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:
g)
Rozwiązanie
Sprowadzamy do wspólnego mianownika wyrażenie w nawiasie:
1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej. (patrz dokładniejsze wytłumaczenie w zadaniach w temacie postać trygonometryczna tutaj)
( IV ćw, )
Czyli
2. Wzór de Moivre’a dla
Korzystamy z okresowości oraz (okres ). Możemy zatem opuścić największą wielokrotność zawartą w argumencie funkcji (największą liczbę parzystą). W naszym przypadku opuszczamy . Zatem:
Ostatecznie
h)
Rozwiązanie
Liczymy oddzielnie potęgi oraz . Możemy obydwie potęgi policzyć ze wzoru de Moivre’a, ale możemy również zrobić to inaczej, łatwiej i krócej. Najpierw .
1. wykorzystujemy własność potęg , chcemy, aby w wykładniku pojawiła się druga potęga, będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia
2. stosujemy wzór
Teraz analogicznie
3. z własności potęg rozbijamy na iloczyn potęgi o wykładniku 1 i potęgi parzystej, aby móc przeprowadzić rozumowanie jak wcześniej
4. wykorzystaliśmy obliczenia wcześniejsze, a mianowicie że
Ostatecznie:
i)
Rozwiązanie Zrobimy podobnie jak w przykładzie h), nie używając wzoru de Moivre’a. Można oczywiście liczyć standardowo z jego zastosowaniem. 1. do wyrażenia korzystamy z i rozbijamy na iloczyn potęgi o wykładniku i potęgi parzystej 2. wykorzystujemy własność potęg , chcemy, aby w wykładniku pojawiła się druga potęga, będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia 3. stosujemy wzór 4. rozbijamy na iloczyn potęgi o wykładniku 1 i potęgi parzystej