Potęgowanie liczb zespolonych – teoria

Postać trygonometryczna liczb zespolonych jest szczególnie przydatna przy podnoszeniu liczby zespolonej do potęgi i obliczaniu pierwiastka tej liczby.

Wróćmy do wzoru.

\dpi{120} z_{1}\cdot z_{2}=\left | z_{1} \right |\cdot \left | z_{2} \right |\cdot \left ( \cos \left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right )+i\, \sin \left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right ) \right ).

Podstawmy \dpi{120} z_{1}=z_{2}=z=\left | z \right |\cdot \left (\cos \varphi +i\, \sin \varphi \right ), otrzymujemy:

\dpi{120} z^{2}=\left | z \right |^{2}\cdot \left ( \cos \left ( 2\varphi \right )+i\, \sin \left ( 2\varphi \right ) \right ).

Uogólnijmy powyższy wzór (indukcja matematyczna) na dowolną liczbę czynników. Otrzymujemy wzór na n-tą (n – liczba naturalna) potęgę liczby zespolonej zwany wzorem de Moivre’a:

potęgowanie liczb zespolonych (wzór Moivre'a)

Zapraszamy do zadań! tutaj