Całki funkcji niewymiernych (zadania)

Mamy 5 zadań. Pierwsze zadanie wykorzystuje twierdzenie z zakładki Wzory tutaj. Kolejne zadania pokazują typowe całki niewymierne z mianownikiem zawierającym wyrażenie kwadratowe. Schemat rozwiązania zależy od znaku współczynnika $\dpi{120} a$ tego wyrażenia. Całki z zadań 2 – 5 można liczyć z gotowych wzorów, które pojawiły się w zakładce Wzory, ale większość wykładowców sobie tego nie życzy. Przedstawiliśmy więc pełne ich rozwiązania. Jedynie przykłady 2 i 3 z zadania 5 wykorzystują wspomniane wzory.

Zadanie 1. Obliczyć całki:

1) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}},$

Rozwiązanie

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x=t^{6}$ (pierwiastki są $\dpi{120} 2$ i $\dpi{120} 3$ stopnia, więc potęga przy $\dpi{120} t$ jest $\dpi{120} 6$ )

$\dpi{120} dx=6t^{5}dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=\int \frac{6t^{5}dt}{\sqrt{t^{6}}+\sqrt[3]{t^{6}}}=\int \frac{6t^{5}dt}{t^{3}+t^{2}}=\int \frac{6t^{5}dt}{t^{2}\left ( t+1 \right )}=6\int \frac{t^{3}dt}{t+1}=$

Jest to całka funkcji wymiernej. Stopień licznika jest większy od mianownika, więc dzielimy licznik przez mianownik:

$\dpi{120} \frac{t^{3}}{t+1}=t^{2}-t+1-\frac{1}{t+1}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=6\int \frac{t^{3}dt}{t+1}=6\left [\int \left ( t^{2}-t+1 \right )dt-\int \frac{dt}{t+1} \right ]=$

$\dpi{120} =6\left [ \frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}+t-\ln \left | t+1 \right | \right ]+C_{1}\overset{t=\sqrt[6]{x}}{=}$

$\dpi{120} =6\left [ \frac{\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{3}}{3}-\frac{\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{2}}{2}+\sqrt[6]{x}-\ln \left | \sqrt[6]{x}+1 \right | \right ]+C=$

$\dpi{120} =2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln \left | \sqrt[6]{x}+1 \right |+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-1}dx,$

Rozwiązanie

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x=t^{6}$ (pierwiastki są $\dpi{120} 2$ i $\dpi{120} 3$ stopnia, więc potęga przy $\dpi{120} t$ jest $\dpi{120} 6$ )

$\dpi{120} dx=6t^{5}dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-1}dx=\int \frac{\sqrt[6]{\left (t^{6} \right )^{2}}-\sqrt{t^{6}}+1}{\sqrt[3]{t^{6}}-1}\cdot 6t^{5}dt=$

$\dpi{120} =6\int \frac{\left (t^{6}-t^{3}+1 \right )\cdot t^{5}}{t^{2}-1}dt=6\int \frac{t^{11}-t^{8}+t^{5}}{t^{2}-1}dt=$

Dzielimy licznik przez mianownik:

$\dpi{120} \frac{t^{11}-t^{8}+t^{5}}{t^{2}-1}=t^{9}+t^{7}-t^{6}+t^{5}-t^{4}+2t^{3}-t^{2}+2t-1+\frac{2t-1}{t^{2}-1}$

Stąd:

$\dpi{120} 6\int \frac{t^{11}-t^{8}+t^{5}}{t^{2}-1}dt=$

$\dpi{120} =6\int \left (t^{9}+t^{7}-t^{6}+t^{5}-t^{4}+2t^{3}-t^{2}+2t-1 \right )dt+6\int \frac{2t-1}{t^{2}-1}dt=$

$\dpi{120} =6\left (\frac{t^{9}}{9}+\frac{t^{8}}{8}-\frac{t^{7}}{7}+\frac{t^{6}}{6}-\frac{t^{5}}{5}+2\cdot \frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}+2\cdot \frac{t^{2}}{2}-t \right )+6\int \frac{2t-1}{t^{2}-1}dt=$

Liczymy całkę:

$\dpi{120} \int \frac{2t-1}{t^{2}-1}dt=\int \frac{2t-1}{\left ( t-1 \right )\left ( t+1 \right )}dt=$

Rozkład na ułamki proste:

$\dpi{120} \frac{2t-1}{\left ( t-1 \right )\left ( t+1 \right )}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}/\cdot \left ( t-1 \right )\left ( t+1 \right )$

$\dpi{120} 2t-1=A\left ( t+1 \right )+B\left ( t-1 \right )$

$\dpi{120} 2t-1=t\left ( A+B\right )+A-B$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} A+B=2\\ A-B=-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=\frac{1}{2}\\ B=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{2t-1}{t^{2}-1}dt=\int \frac{2t-1}{\left ( t-1 \right )\left ( t+1 \right )}dt=\int \frac{\frac{1}{2}}{t-1}dt+\int \frac{\frac{3}{2}}{t+1}dt=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\ln \left | t-1 \right |+\frac{3}{2} \ln \left | t+1 \right |+C_{1}$

Ostatecznie:

$\dpi{120} 6\int \frac{t^{11}-t^{8}+t^{5}}{t^{2}-1}dt=$

$\dpi{120} =\frac{2t^{9}}{3}+\frac{3t^{8}}{4}-\frac{6t^{7}}{7}+t^{6}-\frac{6t^{5}}{5}+3t^{4}-2t^{3}+6t^{2}-6t+6\left ( \frac{1}{2}\ln \left | t-1 \right |+\frac{3}{2} \ln \left | t+1 \right |\right )=$

Wracając do podstawienia:

$\dpi{120} x=t^{6}\Rightarrow t=\sqrt[6]{x}$ mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-1}dx=6\int \frac{t^{11}-t^{8}+t^{5}}{t^{2}-1}dt=$

$\dpi{120} =\frac{2\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{9}}{3}+\frac{3\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{8}}{4}-\frac{6\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{7}}{7}+\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{6}-\frac{6\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{5}}{5}+3\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{4}-2\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{3}+$

$\dpi{120} +6\left ( \sqrt[6]{x} \right )^{2}-6 \sqrt[6]{x} +6\left ( \frac{1}{2}\ln \left | \sqrt[6]{x}-1 \right |+\frac{3}{2} \ln \left | \sqrt[6]{x}+1 \right |\right )+C$

Można doprowadzić wynik do ładniejszej postaci, ale nie jest to konieczne.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \sqrt[4]{3x-7}dx,$

Rozwiązanie

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} 3x-7=t^{4}$

$\dpi{120} 3dx=4t^{3}dt$

$\dpi{120} dx=\frac{4}{3}t^{3}dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \sqrt[4]{3x-7}dx=\int \sqrt[4]{t^{4}}\cdot \frac{4}{3}t^{3}dt=\frac{4}{3}\int t\cdot t^{3}dt=\frac{4}{3}\int t^{4}dt=\frac{4}{3}\cdot \frac{t^{5}}{5}+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} 3x-7=t^{4}\Rightarrow t=\sqrt[4]{3x-7}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \sqrt[4]{3x-7}dx=\frac{4}{15}\left ( \sqrt[4]{3x-7} \right )^{5}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt[3]{3x-4}},$

Rozwiązanie

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} 3x-4=t^{3}$

$\dpi{120} 3dx=3t^{2}dt$

$\dpi{120} dx=t^{2}dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt[3]{3x-4}}=\int \frac{t^{2}dt}{\sqrt[3]{t^{3}}}=\int \frac{t^{2}dt}{t}=\int tdt=\frac{t^{2}}{2}+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} 3x-4=t^{3}\Rightarrow t=\sqrt[3]{3x-4}$

Zatem

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt[3]{3x-4}}=\frac{1}{2}\left ( \sqrt[3]{3x-4} \right )^{2}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} \int x\sqrt{2+3x}dx.$

Rozwiązanie

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} 2+3x=t^{2}$

$\dpi{120} 3dx=2tdt$

$\dpi{120} dx=\frac{2}{3}tdt$

Pod całką mamy jeszcze $\dpi{120} x$ , który wyliczamy z podstawienia:

$\dpi{120} 2+3x=t^{2}\Rightarrow x=\frac{1}{3}\left ( t^{2}-2 \right )$

Wstawiając do całki otrzymujemy:

$\dpi{120} \int x\sqrt{2+3x}dx=\int \frac{1}{3}\left ( t^{2}-2 \right )\cdot \sqrt{t^{2}}\cdot \frac{2}{3}tdt=\frac{2}{9}\int \left ( t^{2}-2 \right )\cdot t\cdot tdt=$

$\dpi{120} =\frac{2}{9}\int \left ( t^{4}-2t^{2} \right )dt=\frac{2}{9}\left ( \frac{t^{5}}{5}-2\cdot \frac{t^{3}}{3} \right )+C_{1}=$

$\dpi{120} =\frac{2}{45}t^{5}-\frac{4}{27}t^{3}+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} 2+3x=t^{2}\Rightarrow t=\sqrt{2+3x}$

więc

$\dpi{120} \int x\sqrt{2+3x}dx=\frac{2}{45}\left ( \sqrt{2+3x} \right )^{5}-\frac{4}{27}\left ( \sqrt{2+3x} \right )^{3}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

W całkach niewymiernych wybór schematu zależy od znaku współczynnika $\dpi{120} a$ przy zmiennej $\dpi{120} x^{2}$ .

Zadanie 2. Obliczyć całki typu: $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}},\; a<0$

1) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-2x+4}},$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy wyrażenie spod pierwiastka do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a}$ Mamy: $\dpi{120} \Delta =4-4\cdot \left ( -1 \right )\cdot 4=20$

$\dpi{120} -x^{2}-2x+4=-1\left ( x+\frac{-2}{2\cdot \left ( -1 \right )} \right )^{2}-\frac{20}{4\cdot \left ( -1 \right )}$

$\dpi{120} -x^{2}-2x+4=-\left ( x+1 \right )^{2}+5$

Całka przyjmuje postać:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-2x+4}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( {\color{Red} x+1} \right )^{2}+{\color{Blue} 5}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} {\color{Red} x+1=}\sqrt{{\color{Blue} 5}}t$

$\dpi{120} dx=\sqrt{5}dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-2x+4}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( x+1\right )^{2}+ 5}}=\int \frac{\sqrt{5}dt}{\sqrt{-\left ( \sqrt{5} t\right )^{2}+5}}=$

$\dpi{120} =\int \frac{\sqrt{5}dt}{\sqrt{-5t^{2}+5}}=\int \frac{\sqrt{5}dt}{\sqrt{5\left ( -t^{2}+1 \right )}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\arcsin t+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} x+1=\sqrt{ 5}t\Rightarrow t=\frac{x+1}{\sqrt{5}}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-2x+4}}=\arcsin t+C_{1}\overset{t=\frac{x+1}{\sqrt{5}}}{=} \arcsin \frac{x+1}{\sqrt{5}}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}-2x+1}},$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy wyrażenie spod pierwiastka do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a}$ Mamy: $\dpi{120} \Delta =4-4\cdot \left ( -3 \right )\cdot 1=16$

$\dpi{120} -3x^{2}-2x+1=-3\left ( x+\frac{-2}{2\cdot \left ( -3 \right )} \right )^{2}-\frac{16}{4\cdot \left ( -3 \right )}$

$\dpi{120} -3x^{2}-2x+1=-3\left ( x+\frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{4}{3}$

Całka przyjmuje postać:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}-2x+1}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-3\left ( x+\frac{1}{3} \right )^{2}+ \frac{4}{3}}}$

2. Wyłączamy współczynnik $\dpi{120} a=-3$ przed znak całki. Pamiętajmy, jest on pod pierwiastkiem. Zwróćmy uwagę na ten krok, bo są tutaj często błędy.

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}-2x+1}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-3\left ( x+\frac{1}{3} \right )^{2}+ \frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ({\color{Red} x+\frac{1}{3}} \right )^{2}+{\color{Blue} \frac{4}{9}}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} {\color{Red} x+\frac{1}{3}=}\sqrt{{\color{Blue} \frac{4}{9}}}t$

$\dpi{120} dx=\frac{2}{3}dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}-2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( x+\frac{1}{3}\right )^{2}+ \frac{4}{9}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{\frac{2}{3}dt}{\sqrt{-\left ( \frac{2}{3} t\right )^{2}+\frac{4}{9}}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{\frac{2}{3}dt}{\sqrt{-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{4}{9}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{\frac{2}{3}dt}{\sqrt{\frac{4}{9}\left ( -t^{2}+1 \right )}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin t+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} x+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}t\Rightarrow t=\frac{3x+1}{2}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}-2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin t+C_{1}\overset{t=\frac{3x+1}{2}}{=}\frac{1}{\sqrt{3}} \arcsin \frac{3x+1}{2}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-6x+7}}.$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy wyrażenie spod pierwiastka do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a}$ Mamy: $\dpi{120} \Delta =36-4\cdot \left ( -1 \right )\cdot 7=64$

$\dpi{120} -x^{2}-6x+7=-1\left ( x+\frac{-6}{2\cdot \left ( -1 \right )} \right )^{2}-\frac{64}{4\cdot \left ( -1 \right )}$

$\dpi{120} -x^{2}-6x+7=-\left ( x+3 \right )^{2}+16$

Całka przyjmuje postać:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-6x+7}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( {\color{Red} x+3} \right )^{2}+{\color{Blue} 16}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} {\color{Red} x+3=}\sqrt{{\color{Blue} 16}}t$

$\dpi{120} dx=4dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-6x+7}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( x+3\right )^{2}+ 16}}=\int \frac{4dt}{\sqrt{-\left ( 4 t\right )^{2}+16}}=$

$\dpi{120} =\int \frac{4dt}{\sqrt{-16t^{2}+16}}=\int \frac{4dt}{\sqrt{16\left ( -t^{2}+1 \right )}}=\frac{4}{4}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\arcsin t+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} x+3=4t\Rightarrow t=\frac{x+3}{4}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-6x+7}}=\arcsin t+C_{1}\overset{t=\frac{x+3}{4}}{=} \arcsin \frac{x+3}{4}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

W stosunku do poprzedniego zadania dochodzi nam jeszcze jeden początkowy krok. Później sprowadzamy poniższe całki do całek z zadania 2.

Zadanie 3. Obliczyć całki typu: $\dpi{120} \int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx,\; a<0$

1) $\dpi{120} \int \frac{2x+1}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}dx,$

Rozwiązanie

0. W liczniku musi pojawić się pochodna wyrażenia spod pierwiastka. Następnie uzgadniamy współczynniki tak jak robiliśmy to przy całkach wymiernych z $\dpi{120} \Delta <0$ .

$\dpi{120} \left ( -3x^{2}+x+2 \right )'=-6x+1$

Całka przyjmie postać:

$\dpi{120} \int \frac{2x+1}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}dx=\int \frac{-\frac{1}{3}\left ( -6x+1 \right )+1\frac{1}{3}}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}dx=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{3}\int \frac{-6x+1}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}dx+1\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}=$

Do całki pierwszej stosujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{f'\left ( x \right )}{\sqrt{f\left ( x \right )}}dx=2\sqrt{f\left ( x \right )}+C$

Czyli:

$\dpi{120} 1.\; \; \int \frac{-6x+1}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}dx=2\sqrt{-3x^{2}+x+2}+C_{1}$

Drugą liczymy według schematu z poprzedniego zadania. Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{2x+1}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}dx=-\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{-3x^{2}+x+2}+1\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}$

Liczymy całkę $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}$ .

1. Sprowadzamy wyrażenie spod pierwiastka do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a}$ Mamy: $\dpi{120} \Delta =1-4\cdot \left ( -3 \right )\cdot 2=25$

$\dpi{120} -3x^{2}+x+2=-3\left ( x+\frac{1}{2\cdot \left ( -3 \right )} \right )^{2}-\frac{25}{4\cdot \left ( -3 \right )}$

$\dpi{120} -3x^{2}+x+2=-3\left ( x-\frac{1}{6} \right )^{2}+\frac{25}{12}$

Całka przyjmuje postać:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-3\left ( x+\frac{1}{6} \right )^{2}+ \frac{25}{12}}}$

2. Wyłączamy współczynnik $\dpi{120} a=-3$ przed znak całki. Pamiętajmy, jest on pod pierwiastkiem. Zwróćmy uwagę na ten krok, bo są tutaj często błędy.

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-3\left ( x+\frac{1}{6} \right )^{2}+ \frac{25}{12}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ({\color{Red} x+\frac{1}{6}} \right )^{2}+{\color{Blue} \frac{25}{36}}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} {\color{Red} x+\frac{1}{6}=}\sqrt{{\color{Blue} \frac{25}{36}}}t$

$\dpi{120} dx=\frac{5}{6}dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( x+\frac{1}{6}\right )^{2}+ \frac{25}{36}}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{\frac{5}{6}dt}{\sqrt{-\left ( \frac{5}{6} t\right )^{2}+\frac{25}{36}}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{\frac{5}{6}dt}{\sqrt{-\frac{25}{36}t^{2}+\frac{25}{36}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{\frac{5}{6}dt}{\sqrt{\frac{25}{36}\left ( -t^{2}+1 \right )}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin t+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} x+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}t\Rightarrow t=\frac{6x+1}{5}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin t+C_{1}\overset{t=\frac{6x+1}{5}}{=}\frac{1}{\sqrt{3}} \arcsin \frac{6x+1}{5}+C$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{2x+1}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}dx=-\frac{2}{3}\sqrt{-3x^{2}+x+2}+1\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{-3x^{2}+x+2}}=$

$\dpi{120} =-\frac{2}{3}\sqrt{-3x^{2}+x+2}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin \frac{6x+1}{5}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{x+1}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}dx,$

Rozwiązanie

0. W liczniku musi pojawić się pochodna wyrażenia spod pierwiastka. Następnie uzgadniamy współczynniki tak jak robiliśmy to przy całkach wymiernych z $\dpi{120} \Delta <0$ .

$\dpi{120} \left ( -x^{2}+2x+8 \right )'=-2x+2$

Całka przyjmie postać:

$\dpi{120} \int \frac{x+1}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}dx=\int \frac{-\frac{1}{2}\left ( -2x+2 \right )+2}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}dx=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{2}\int \frac{-2x+2}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}dx+2\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}=$

Do całki pierwszej stosujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{f'\left ( x \right )}{\sqrt{f\left ( x \right )}}dx=2\sqrt{f\left ( x \right )}+C$

Czyli:

$\dpi{120} 1.\; \; \int \frac{-2x+2}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}dx=2\sqrt{-x^{2}+2x+8}+C_{1}$

Drugą liczymy według schematu z poprzedniego zadania. Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{x+1}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}dx=-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{-x^{2}+2x+8}+2\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}$

Liczymy całkę $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}$ .

1. Sprowadzamy wyrażenie spod pierwiastka do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a}$ Mamy: $\dpi{120} \Delta =4-4\cdot \left ( -1 \right )\cdot 8=36$

$\dpi{120} -x^{2}+2x+8=-1\left ( x+\frac{2}{2\cdot \left ( -1 \right )} \right )^{2}-\frac{36}{4\cdot \left ( -1 \right )}$

$\dpi{120} -x^{2}+2x+8=-\left ( x-1 \right )^{2}+9$

Całka przyjmuje postać:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( {\color{Red} x-1} \right )^{2}+{\color{Blue} 9}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} {\color{Red} x-1=}\sqrt{{\color{Blue} 9}}t$

$\dpi{120} dx=3dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( x-1\right )^{2}+ 9}}=\int \frac{3dt}{\sqrt{-\left ( 3 t\right )^{2}+9}}=$

$\dpi{120} =\int \frac{3dt}{\sqrt{-9t^{2}+9}}=\int \frac{3dt}{\sqrt{9\left ( -t^{2}+1 \right )}}=\frac{3}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\arcsin t+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} x-1=3t\Rightarrow t=\frac{x-1}{3}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}=\arcsin t+C_{1}\overset{t=\frac{x-1}{3}}{=} \arcsin \frac{x-1}{3}+C$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{x+1}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}dx=-\sqrt{-x^{2}+2x+8}+2\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+2x+8}}=$

$\dpi{120} =-\sqrt{-x^{2}+2x+8}+2\arcsin \frac{x-1}{3}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \frac{6x+5}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}dx.$

Rozwiązanie

0. W liczniku musi pojawić się pochodna wyrażenia spod pierwiastka. Następnie uzgadniamy współczynniki tak jak robiliśmy to przy całkach wymiernych z $\dpi{120} \Delta <0$ .

$\dpi{120} \left ( -x^{2}+x+6 \right )'=-2x+1$

Całka przyjmie postać:

$\dpi{120} \int \frac{6x+5}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}dx=\int \frac{-3\left ( -2x+1 \right )+8}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}dx=$

$\dpi{120} =-3\int \frac{-2x+1}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}dx+8\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}=$

Do całki pierwszej stosujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{f'\left ( x \right )}{\sqrt{f\left ( x \right )}}dx=2\sqrt{f\left ( x \right )}+C$

Czyli:

$\dpi{120} 1.\; \; \int \frac{-2x+1}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}dx=2\sqrt{-x^{2}+x+6}+C_{1}$

Drugą liczymy według schematu z poprzedniego zadania. Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{6x+5}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}dx=-3\cdot 2\sqrt{-x^{2}+x+6}+8\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}$

Liczymy całkę $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}$ .

1. Sprowadzamy wyrażenie spod pierwiastka do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a}$ Mamy: $\dpi{120} \Delta =1-4\cdot \left ( -1 \right )\cdot 6=25$

$\dpi{120} -x^{2}+x+6=-1\left ( x+\frac{1}{2\cdot \left ( -1 \right )} \right )^{2}-\frac{25}{4\cdot \left ( -1 \right )}$

$\dpi{120} -x^{2}+x+6=-\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{25}{4}$

Całka przyjmuje postać:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( {\color{Red} x-\frac{1}{2}} \right )^{2}+{\color{Blue} \frac{25}{4}}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} {\color{Red} x-\frac{1}{2}=}\sqrt{{\color{Blue} \frac{25}{4}}}t$

$\dpi{120} dx=\frac{5}{2}dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( x-\frac{1}{2}\right )^{2}+ \frac{25}{4}}}=\int \frac{\frac{5}{2}dt}{\sqrt{-\left ( \frac{5}{2} t\right )^{2}+\frac{25}{4}}}=$

$\dpi{120} =\int \frac{\frac{5}{2}dt}{\sqrt{-\frac{25}{4}t^{2}+\frac{25}{4}}}=\int \frac{\frac{5}{2}dt}{\sqrt{\frac{25}{4}\left ( -t^{2}+1 \right )}}=$

$\dpi{120} =\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\arcsin t+C_{1}$

Z podstawienia mamy:

$\dpi{120} x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}t\Rightarrow t=\frac{2x-1}{5}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}=\arcsin t+C_{1}\overset{t=\frac{2x-1}{5}}{=} \arcsin \frac{2x-1}{5}+C$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{6x+5}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}dx=-6\sqrt{-x^{2}+x+6}+8\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+x+6}}=$

$\dpi{120} =-6\sqrt{-x^{2}+x+6}+8\arcsin \frac{2x-1}{5}+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Obliczyć całki typu: $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}},\; a>0$ – pierwsze podstawienie Eulera

1) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6x+15}},$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy wyrażenie podpierwiastkowe do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} \Delta =36-4\cdot 1\cdot 15=-24$ Zatem:

$\dpi{120} x^{2}-6x+15=1\left ( x+\frac{-6}{2\cdot 1} \right )^{2}-\frac{-24}{4\cdot 1}$

$\dpi{120} x^{2}-6x+15=\left ( x-3 \right )^{2}+6$

Całka zapisze się jako:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6x+15}}=\int \frac{dx}{\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}+6}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x-3=t$

$\dpi{120} dx=dt$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6x+15}}=\int \frac{dx}{\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}+6}}=\int \frac{dt}{{\color{Red} \sqrt{t^{2}+6}}}$

3. Dokonujemy kolejnego podstawienia (pierwsze podstawienie Eulera). Są na taką całkę gotowe wzory (zakładka Wzory), ale większość wykładowców dając taki przykład chce zobaczyć całość rozwiązania. Jest ono długie.

$\dpi{120} t+{\color{Red} \sqrt{t^{2}+6}}=s$ – pierwsze podstawienie Eulera

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}+6}=s-t/\left ( \; \right )^{2}$

$\dpi{120} t^{2}+6=s^{2}-2st+t^{2}$

$\dpi{120} 6=s^{2}-2st$

$\dpi{120} {\color{blue} t=\frac{s^{2}-6}{2s}}$

Różniczkujemy, pamiętając, że po prawej stronie mamy iloraz:

$\dpi{120} dt=\frac{2s\cdot 2s-\left ( s^{2}-6 \right )\cdot 2}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{4s^{2}-2s^{2}+12}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{2s^{2}+12}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{2\left ( s^{2}+6 \right )}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} {\color{Purple} dt=\frac{s^{2}+6}{2s^{2}}ds}$

Do całki $\dpi{120} \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+6}}$ potrzebny jest jeszcze sam $\dpi{120} \sqrt{t^{2}+6}$ , który wyliczmy z podstawienia Eulera:

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}+6}=s-t$ wstawiamy $\dpi{120} {\color{Blue} t=\frac{s^{2}-6}{2s}}$

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}+6}=s-\frac{s^{2}-6}{2s}$ sprowadzamy do wspólnego mianownika

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}+6}=\frac{2s^{2}-s^{2}+6}{2s}$

$\dpi{120} {\color{DarkOrange} \sqrt{t^{2}+6}=\frac{s^{2}+6}{2s}}$

Wracamy do całki i wstawiamy odpowiednie wyrażenia. Jeżeli nie ma błędów dużo się skróci i zawsze otrzymamy $\dpi{120} \int \frac{ds}{s}$ ewentualnie z jakimś współczynnikiem przed całką.

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6x+15}}=\int \frac{{\color{Purple} dt}}{ {\color{DarkOrange} \sqrt{t^{2}+6}}}=\int \frac{{\color{Purple} \frac{s^{2}+6}{2s^{2}}ds}}{{\color{DarkOrange} \frac{s^{2}+6}{2s}}}=\int \frac{ds}{s}=\ln \left | s \right |+C_{1}$

Po kolei wracamy do podstawień:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6x+15}}=\ln \left | s \right |+C_{1}\overset{s=t+\sqrt{t^{2}+6}}{=}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}+6} \right |+C_{2}=$

$\dpi{120} \overset{t=x-3}{=}\ln \left | x-3+\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}+6} \right |+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x+5}},$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy wyrażenie podpierwiastkowe do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} \Delta =16-4\cdot 4\cdot 5=-64$

Zatem:

$\dpi{120} 4x^{2}-4x+5=4\left ( x+\frac{-4}{2\cdot 4} \right )^{2}-\frac{-64}{4\cdot 4}$

$\dpi{120} 4x^{2}-4x+5=4\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+4$

Całka zapisze się jako:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x+5}}=\int \frac{dx}{\sqrt{4\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+4}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x-\frac{1}{2}=t$

$\dpi{120} dx=dt$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x+5}}=\int \frac{dx}{\sqrt{4\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+4}}=\int \frac{dt}{ \sqrt{4t^{2}+4}}$

3. Wyłączamy współczynnik $\dpi{120} a=4$ przed pierwiastek i całkę:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x+5}}=\int \frac{dt}{ \sqrt{4t^{2}+4}}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{{\color{Red} \sqrt{t^{2}+1}}}$

4. Dokonujemy kolejnego podstawienia (pierwsze podstawienie Eulera).

$\dpi{120} t+{\color{Red} \sqrt{t^{2}+1}}=s$ – pierwsze podstawienie Eulera

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}+1}=s-t/\left ( \; \right )^{2}$

$\dpi{120} t^{2}+1=s^{2}-2st+t^{2}$

$\dpi{120} 1=s^{2}-2st$

$\dpi{120} {\color{blue} t=\frac{s^{2}-1}{2s}}$

Różniczkujemy, pamiętając, że po prawej stronie mamy iloraz:

$\dpi{120} dt=\frac{2s\cdot 2s-\left ( s^{2}-1 \right )\cdot 2}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{4s^{2}-2s^{2}+2}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{2s^{2}+2}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{2\left ( s^{2}+1 \right )}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} {\color{Purple} dt=\frac{s^{2}+1}{2s^{2}}ds}$

Do całki $\dpi{120} \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+1}}$ potrzebny jest jeszcze sam $\dpi{120} \sqrt{t^{2}+1}$ , który wyliczmy z podstawienia Eulera:

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}+1}=s-t$ wstawiamy $\dpi{120} {\color{Blue} t=\frac{s^{2}-1}{2s}}$

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}+1}=s-\frac{s^{2}-1}{2s}$ sprowadzamy do wspólnego mianownika

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}+1}=\frac{2s^{2}-s^{2}+1}{2s}$

$\dpi{120} {\color{DarkOrange} \sqrt{t^{2}+1}=\frac{s^{2}+1}{2s}}$

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x+5}}=\frac{1}{2}\int \frac{{\color{Purple} dt}}{ {\color{DarkOrange} \sqrt{t^{2}+1}}}=\frac{1}{2}\int \frac{{\color{Purple} \frac{s^{2}+1}{2s^{2}}ds}}{{\color{DarkOrange} \frac{s^{2}+1}{2s}}}=\frac{1}{2}\int \frac{ds}{s}=\frac{1}{2}\ln \left | s \right |$

Po kolei wracamy do podstawień:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x+5}}=\frac{1}{2}\ln \left | s \right |+C_{1}\overset{s=t+\sqrt{t^{2}+1}}{=}\frac{1}{2}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}+1} \right |+C_{2}=$

$\dpi{120} \overset{t=x-\frac{1}{2}}{=}\frac{1}{2}\ln \left | x-\frac{1}{2}+\sqrt{\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+1} \right |+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}+8x-1}}.$

Rozwiązanie

1. Sprowadzamy wyrażenie podpierwiastkowe do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} \Delta =64-4\cdot 2\cdot \left ( -1 \right )=72$

Zatem:

$\dpi{120} 2x^{2}+8x-1=2\left ( x+\frac{8}{2\cdot 2} \right )^{2}-\frac{72}{4\cdot 2}$

$\dpi{120} 2x^{2}+8x-1=2\left ( x+2 \right )^{2}-9$

Całka zapisze się jako:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}+8x-1}}=\int \frac{dx}{\sqrt{2\left ( x+2 \right )^{2}-9}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x+2=t$

$\dpi{120} dx=dt$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}+8x-1}}=\int \frac{dx}{\sqrt{2\left ( x+2 \right )^{2}-9}}=\int \frac{dt}{ \sqrt{2t^{2}-9}}$

3. Wyłączamy współczynnik $\dpi{120} a=2$ przed pierwiastek i całkę:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}+8x-1}}=\int \frac{dt}{ \sqrt{2t^{2}-9}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{{\color{Red} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}}}$

4. Dokonujemy kolejnego podstawienia (pierwsze podstawienie Eulera).

$\dpi{120} t+{\color{Red} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}}=s$ – pierwsze podstawienie Eulera

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}=s-t/\left ( \; \right )^{2}$

$\dpi{120} t^{2}-\frac{9}{2}=s^{2}-2st+t^{2}$

$\dpi{120} -\frac{9}{2}=s^{2}-2st$

$\dpi{120} {\color{blue} t=\frac{s^{2}+\frac{9}{2}}{2s}}$

Różniczkujemy, pamiętając, że po prawej stronie mamy iloraz:

$\dpi{120} dt=\frac{2s\cdot 2s-\left ( s^{2}+\frac{9}{2} \right )\cdot 2}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{4s^{2}-2s^{2}-9}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{2s^{2}-9}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{2\left ( s^{2}-\frac{9}{2} \right )}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} {\color{Purple} dt=\frac{s^{2}-\frac{9}{2}}{2s^{2}}ds}$

Do całki $\dpi{120} \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}}$ potrzebny jest jeszcze sam $\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}$ , który wyliczmy z podstawienia Eulera:

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}=s-t$ wstawiamy $\dpi{120} {\color{Blue} t=\frac{s^{2}+\frac{9}{2}}{2s}}$

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}=s-\frac{s^{2}+\frac{9}{2}}{2s}$ sprowadzamy do wspólnego mianownika

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}=\frac{2s^{2}-s^{2}-\frac{9}{2}}{2s}$

$\dpi{120} {\color{DarkOrange} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}=\frac{s^{2}-\frac{9}{2}}{2s}}$

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}+8x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{{\color{Purple} dt}}{ {\color{DarkOrange} \sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{{\color{Purple} \frac{s^{2}-\frac{9}{2}}{2s^{2}}ds}}{{\color{DarkOrange} \frac{s^{2}-\frac{9}{2}}{2s}}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{ds}{s}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | s \right |+C_{1}$

Po kolei wracamy do podstawień:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}+8x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | s \right |+C_{1}\overset{s=t+\sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}}}{=}\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}-\frac{9}{2}} \right |+C_{2}=$

$\dpi{120} \overset{t=x+2}{=}\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | x+2+\sqrt{\left ( x+2 \right )^{2}-\frac{9}{2}} \right |+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Obliczyć całki typu: $\dpi{120} \int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx,\; a>0$ – pierwsze podstawienie Eulera

1) $\dpi{120} \int \frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}dx,$

Rozwiązanie

0. W liczniku musi pojawić się pochodna wyrażenia spod pierwiastka. Następnie uzgadniamy współczynniki tak jak robiliśmy to przy całkach wymiernych z $\dpi{120} \Delta <0$ lub w zadaniu 3.

$\dpi{120} \left ( x^{2}+5x+-10 \right )'=2x+5$

Całka przyjmie postać:

$\dpi{120} \int \frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}dx=\int \frac{\frac{3}{2}\left ( 2x+5 \right )-6\frac{1}{2}}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}dx=$

$\dpi{120} =\frac{3}{2}\int \frac{2x+5}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}dx-6\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}=$

Do całki pierwszej stosujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{f'\left ( x \right )}{\sqrt{f\left ( x \right )}}dx=2\sqrt{f\left ( x \right )}+C$

Czyli:

$\dpi{120} 1.\; \; \int \frac{2x+5}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}dx=2\sqrt{x^{2}+5x-10}+C_{1}$

Drugą liczymy według schematu z poprzedniego zadania. Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}dx=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{x^{2}+5x-10}-6\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}$

Liczymy całkę $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}$ .

1. Sprowadzamy wyrażenie podpierwiastkowe do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} \Delta =25-4\cdot 1\cdot \left (-10 \right )=65$

Zatem:

$\dpi{120} x^{2}+5x-10=1\left ( x+\frac{5}{2\cdot 1} \right )^{2}-\frac{65}{4\cdot 1}$

$\dpi{120} x^{2}+5x-10=\left ( x+\frac{5}{2} \right )^{2}-\frac{65}{4}$

Całka zapisze się jako:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}=\int \frac{dx}{\sqrt{\left ( x+\frac{5}{2} \right )^{2}-\frac{65}{4}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x+\frac{5}{2}=t$

$\dpi{120} dx=dt$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}=\int \frac{dx}{\sqrt{\left ( x+\frac{5}{2} \right )^{2}-\frac{65}{4}}}=\int \frac{dt}{{\color{Red} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}}}$

$\dpi{120} t+{\color{Red} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}}=s$ – pierwsze podstawienie Eulera

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}=s-t/\left ( \; \right )^{2}$

$\dpi{120} t^{2}-\frac{65}{4}=s^{2}-2st+t^{2}$

$\dpi{120} -\frac{65}{4}=s^{2}-2st$

$\dpi{120} {\color{blue} t=\frac{s^{2}+\frac{65}{4}}{2s}}$

Różniczkujemy, pamiętając, że po prawej stronie mamy iloraz:

$\dpi{120} dt=\frac{2s\cdot 2s-\left ( s^{2}+\frac{65}{4} \right )\cdot 2}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{4s^{2}-2s^{2}-\frac{65}{2}}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{2s^{2}-\frac{65}{2}}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} dt=\frac{2\left ( s^{2}-\frac{65}{4} \right )}{4s^{2}}ds$

$\dpi{120} {\color{Purple} dt=\frac{s^{2}-\frac{65}{4}}{2s^{2}}ds}$

Do całki $\dpi{120} \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}}$ potrzebny jest jeszcze sam $\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}$ , który wyliczmy z podstawienia Eulera:

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}=s-t$ wstawiamy $\dpi{120} {\color{Blue} t=\frac{s^{2}+\frac{65}{4}}{2s}}$

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}=s-\frac{s^{2}+\frac{65}{4}}{2s}$ sprowadzamy do wspólnego mianownika

$\dpi{120} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}=\frac{2s^{2}-s^{2}-\frac{65}{4}}{2s}$

$\dpi{120} {\color{DarkOrange} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}=\frac{s^{2}-\frac{65}{4}}{2s}}$

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}=\int \frac{{\color{Purple} dt}}{ {\color{DarkOrange} \sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}}}=\int \frac{{\color{Purple} \frac{s^{2}-\frac{65}{4}}{2s^{2}}ds}}{{\color{DarkOrange} \frac{s^{2}-\frac{65}{4}}{2s}}}=\int \frac{ds}{s}=\ln \left | s \right |+C_{1}$

Po kolei wracamy do podstawień:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}=\ln \left | s \right |+C_{1}\overset{s=t+\sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}}}{=}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}-\frac{65}{4}} \right |+C_{2}=$

$\dpi{120} \overset{t=x+\frac{5}{2}}{=}\ln \left | x+\frac{5}{2}+\sqrt{\left ( x+\frac{5}{2} \right )^{2}-\frac{65}{4}} \right |+C$

4. Pamiętajmy, aby na koniec wrócić do całki:

$\dpi{120} \int \frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}dx=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{x^{2}+5x-10}-6\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x-10}}$

$\dpi{120} \int \frac{3x+1 }{\sqrt{x^{2}+5x-10}}dx=3\sqrt{x^{2}+5x-10}-\frac{13}{2}\ln \left | x+\frac{5}{2}+\sqrt{\left ( x+\frac{5}{2} \right )^{2}-\frac{65}{4}} \right |$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{3x-4}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx,$

Rozwiązanie

0. W liczniku musi pojawić się pochodna wyrażenia spod pierwiastka. Następnie uzgadniamy współczynniki tak jak robiliśmy to przy całkach wymiernych z $\dpi{120} \Delta <0$ lub w zadaniu 3.

$\dpi{120} \left ( 4x^{2}+5x-8 \right )'=8x+5$

Całka przyjmie postać:

$\dpi{120} \int \frac{3x-4}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx=\int \frac{\frac{3}{8}\left ( 8x+5 \right )-5\frac{7}{8}}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx=$

$\dpi{120} =\frac{3}{8}\int \frac{8x+5}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx-5\frac{7}{8}\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}=$

Do całki pierwszej stosujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{f'\left ( x \right )}{\sqrt{f\left ( x \right )}}dx=2\sqrt{f\left ( x \right )}+C$

Czyli:

$\dpi{120} 1.\; \; \int \frac{8x+5}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx=2\sqrt{4x^{2}+5x-8}+C_{1}$

Drugą liczymy według schematu z poprzedniego zadania. Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{3x-4}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx=\frac{3}{8}\cdot 2\sqrt{4x^{2}+5x-8}-5\frac{7}{8}\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}$

Liczymy całkę $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}$ .

1. Sprowadzamy wyrażenie podpierwiastkowe do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} \Delta =25-4\cdot 4\cdot \left (-8 \right )=153$

Zatem:

$\dpi{120} 4x^{2}+5x-8=4\left ( x+\frac{5}{2\cdot 4} \right )^{2}-\frac{153}{4\cdot 4}$

$\dpi{120} 4x^{2}+5x-8=4\left ( x+\frac{5}{8} \right )^{2}-\frac{153}{16}$

Całka zapisze się jako:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}=\int \frac{dx}{\sqrt{4\left ( x+\frac{5}{8} \right )^{2}-\frac{153}{16}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x+\frac{5}{8}=t$

$\dpi{120} dx=dt$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}=\int \frac{dx}{\sqrt{4\left ( x+\frac{5}{8} \right )^{2}-\frac{153}{16}}}=\int \frac{dt}{ \sqrt{4t^{2}-\frac{153}{16}}}$

3. Wykorzystamy teraz wzór:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+k}}=\ln \left | x+\sqrt{x^{2}+k} \right |+C$ Zwracam jednak uwagę, że większość wykładowców nie życzy sobie korzystania z gotowych wzorów. We wcześniejszych przykładach liczyliśmy wszystko bez użycia skrótów.

Aby jednak wykorzystać powyższy wzór należy jeszcze wyłączyć współczynnik $\dpi{120} a=4$ przed całkę. Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}=\int \frac{dt}{ \sqrt{4t^{2}-\frac{153}{16}}}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}-\frac{153}{64}}}$

Teraz stosujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}-\frac{153}{64}}}=\frac{1}{2}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}-\frac{153}{64}} \right |+C_{1}$

Wracamy do podstawienia:

$\dpi{120} t=x+\frac{5}{8}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}=\frac{1}{2}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}-\frac{153}{64}} \right |+C_{1}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\ln \left | x+\frac{5}{8}+\sqrt{\left ( x+\frac{5}{8} \right )^{2}-\frac{153}{64}} \right |+C$

4. Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{3x-4}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx=\frac{3}{8}\cdot 2\sqrt{4x^{2}+5x-8}-5\frac{7}{8}\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}$

$\dpi{120} \int \frac{3x-4}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx=\frac{3}{4}\sqrt{4x^{2}+5x-8}-\frac{47}{8}\cdot \frac{1}{2}\ln \left | x+\frac{5}{8}+\sqrt{\left ( x+\frac{5}{8} \right )^{2}-\frac{153}{64}} \right |$

$\dpi{120} \int \frac{3x-4}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx=\frac{3}{4}\sqrt{4x^{2}+5x-8}-\frac{47}{16}\ln \left | x+\frac{5}{8}+\sqrt{\left ( x+\frac{5}{8} \right )^{2}-\frac{153}{64}} \right |$

$\dpi{120} \int \frac{3x-4}{\sqrt{4x^{2}+5x-8}}dx=\frac{3}{4}\sqrt{4x^{2}+5x-8}-\frac{47}{16}\ln \left | x+\frac{5}{8}+\sqrt{4x^{2}+5x-8}\right |$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \frac{5x-4}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx.$

Rozwiązanie

0. W liczniku musi pojawić się pochodna wyrażenia spod pierwiastka. Następnie uzgadniamy współczynniki tak jak robiliśmy to przy całkach wymiernych z $\dpi{120} \Delta <0$ lub w zadaniu 3.

$\dpi{120} \left ( 3x^{2}-2x+1 \right )'=6x-2$

Całka przyjmie postać:

$\dpi{120} \int \frac{5x-4}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx=\int \frac{\frac{5}{6}\left ( 6x-2 \right )-2\frac{1}{3}}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx=$

$\dpi{120} =\frac{5}{6}\int \frac{6x-2}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx-2\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}=$

Do całki pierwszej stosujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{f'\left ( x \right )}{\sqrt{f\left ( x \right )}}dx=2\sqrt{f\left ( x \right )}+C$

Czyli:

$\dpi{120} 1.\; \; \int \frac{6x-2}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx=2\sqrt{3x^{2}-2x+1}+C_{1}$

Drugą liczymy według schematu z poprzedniego zadania. Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{5x-4}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx=\frac{5}{6}\cdot 2\sqrt{3x^{2}-2x+1}-2\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}$

Liczymy całkę $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}$ .

1. Sprowadzamy wyrażenie podpierwiastkowe do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} \Delta =4-4\cdot 3\cdot 1=-8$

Zatem:

$\dpi{120} 3x^{2}-2x+1=3\left ( x+\frac{-2}{2\cdot 3} \right )^{2}-\frac{-8}{4\cdot 3}$

$\dpi{120} 3x^{2}-2x+1=3\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{2}{3}$

Całka zapisze się jako:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}=\int \frac{dx}{\sqrt{3\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{2}{3}}}$

2. Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x-\frac{1}{3}=t$

$\dpi{120} dx=dt$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}=\int \frac{dx}{\sqrt{3\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{2}{3}}}=\int \frac{dt}{ \sqrt{3t^{2}+\frac{2}{3}}}$

3. Wykorzystamy teraz wzór:

Aby jednak wykorzystać powyższy wzór należy jeszcze wyłączyć współczynnik $\dpi{120} a=3$ przed całkę. Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}=\int \frac{dt}{ \sqrt{3t^{2}+\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+\frac{2}{9}}}$

Teraz stosujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+\frac{2}{9}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}+\frac{2}{9}} \right |+C_{1}$

Wracamy do podstawienia:

$\dpi{120} t=x-\frac{1}{3}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}+\frac{2}{9}} \right |+C_{1}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{3}}\ln \left | x-\frac{1}{3}+\sqrt{\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{2}{9}} \right |+C$

4. Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{5x-4}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx=\frac{5}{6}\cdot 2\sqrt{3x^{2}-2x+1}-2\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}$

$\dpi{120} \int \frac{5x-4}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx=\frac{5}{3}\sqrt{3x^{2}-2x+1}-\frac{7}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}+C$

$\dpi{120} \int \frac{5x-4}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}dx=\frac{5}{3}\sqrt{3x^{2}-2x+1}-\frac{7}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\ln \left | x-\frac{1}{3}+\sqrt{\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{2}{9}} \right |$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń