Postać trygonometryczna liczb zespolonych-zadania

Zanim przejdziemy do zadań należy zapoznać się z zakładką Wzory do tego tematu. tutaj Znajdują się tam wszystkie potrzebne wzory, jak również tabele niezbędne do znajdowania postaci trygonometrycznej. Podany jest również algorytm sprowadzania liczby zespolonej do postaci trygonometrycznej.

 

Zadanie 1. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:

W zadaniu korzystamy ze wzoru na postać trygonometryczną liczby zespolonej \dpi{120} z=a+bi:

postać trygonometryczna liczby zespolonej,

gdzie

\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\: \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |},\: \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}.

W zadaniu tym przedstawione są wszystkie możliwe liczby zespolone dające się „ładnie” sprowadzić do postaci trygonometrycznej. Można oczywiście każdą z tych liczb pomnożyć przez dowolną liczbę rzeczywistą i otrzymamy nową liczbę zespoloną i nową postać trygonometryczną. Jednak łatwo ją otrzymać z już istniejącej, przez pomnożenie jej przez odpowiedni współczynnik, np. liczba \dpi{100} z=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-i \right ). Z podpunktu f) wiemy, że postać trygonometryczna liczby \dpi{100} 1-i=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4} \right ). Wobec tego postać trygonometryczna liczby \dpi{100} z=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-i \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left [ \sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4} \right ) \right ]=

   \dpi{100} =\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}.

Oczywiście można ją liczyć również bezpośrednio ze wzorów podanych wcześniej.

Kolejne zadanie wykorzystuje wiadomości dotyczące modułu, sprzężenia i postaci algebraicznej. Bardzo często dawane są  zadania o innej formie, a wiadomości, które się wykorzystuje są bardzo podstawowe.

Zadanie 2. Rozwiąż równania: