Liczby zespolone, postać trygonometryczna, zadania

Zanim przejdziemy do zadań należy zapoznać się z zakładką Wzory do tego tematu. tutaj Znajdują się tam wszystkie potrzebne wzory, jak również tabele niezbędne do znajdowania postaci trygonometrycznej. Podany jest również algorytm sprowadzania liczby zespolonej do postaci trygonometrycznej.

Zadanie 1. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:

W zadaniu korzystamy ze wzoru na postać trygonometryczną liczby zespolonej $\dpi{120} z=a+bi$ :

$postać trygonometryczna liczby zespolonej$ ,

gdzie

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\: \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |},\: \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}$ .

a) $\dpi{120} 1$ ,

Rozwiązanie

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=1$ oraz $\dpi{120} b=0$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{0}{1}=0,$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{1}{1}=1.$

W Tabeli wartości (zakładka Wzory tutaj ) znajdujemy kąt $\dpi{120} \varphi$ , dla którego $\dpi{120} \sin \varphi=0$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi =1.$

Mamy:

$\dpi{120} \varphi =0.$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=1\cdot \left ( \cos 0 +i\sin 0\right ),$

$\dpi{120} z=\cos 0+i\sin 0.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} -1,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} z=-1$

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=-1$ oraz $\dpi{120} b=0.$ Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+0^{2}}=1,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{0}{1}=0,$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{-1}{1}=-1.$

W Tabeli wartości (zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \varphi$ , dla którego $\dpi{120} \sin \varphi =0$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi =-1.$

Mamy:

$\dpi{120} \varphi =\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=1\cdot \left ( \cos \pi +i\sin \pi \right ),$

$\dpi{120} z=\cos \pi +i\sin \pi .$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} i,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} z=i$

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=0$ oraz $\dpi{120} b=1$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{1}{1}=1,$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{0}{1}=0.$

W Tabeli wartości (zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \varphi$ , dla którego $\dpi{120} \sin \varphi =1$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi =0.$

Mamy:

$\dpi{120} \varphi =\frac{\pi }{2}.$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=1\cdot \left ( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right ),$

$\dpi{120} z=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} -i,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} z=-i$

Z postaci liczby wynika, że $\dpi{120} a=0$ oraz $\dpi{120} b=-1.$ Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{0^{2}+\left ( -1 \right )^{2}}=1,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{-1}{1}=-1,$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{0}{1}=0.$

W Tabeli wartości (zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \varphi$ , dla którego $\dpi{120} \sin \varphi =-1$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi =0.$

Mamy:

$\dpi{120} \varphi =\frac{3\pi }{2}.$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=1\cdot \left ( \cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2} \right ),$

$\dpi{120} z=\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} 1+i,$

Rozwiązanie:

$\dpi{120} z=1+i$

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=1$ oraz $\dpi{120} b=1$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Obydwie funkcje są dodatnie, więc $\dpi{120} \varphi \in$ I ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory). W Tabeli wartości ( zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \varphi$ , dla którego $\dpi{120} \sin \varphi =\frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi =\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Mamy:

$\dpi{120} \varphi =\frac{\pi }{4}.$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} 1-i,$

Rozwiązanie:

$\dpi{120} z=1-i$

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=1$ oraz $\dpi{120} b=-1.$ Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left ( -1 \right )^{2}}=\sqrt{2},$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Funkcja $\dpi{120} \sin \varphi$ jest ujemna, zaś $\dpi{120} \cos \varphi$ jest dodatnia, więc $\dpi{120} \varphi \in$ IV ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ (pomijamy znak minus).

Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{4}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ IV ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =2\pi -\alpha =2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7}{4}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

g) $\dpi{120} -1+i,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} z=-1+i$

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=-1$ oraz $\dpi{120} b=1$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Funkcja $\dpi{120} \sin \varphi$ jest dodatnia, zaś $\dpi{120} \cos \varphi$ ujemna, więc $\dpi{120} \varphi \in$ II ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ (pomijamy znak minus). Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{4}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ II ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =\pi -\alpha =\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

h) $\dpi{120} -1-i,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} z=-1-i$

Z postaci liczby wynika, że $\dpi{120} a=-1$ oraz $\dpi{120} b=-1$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{2}}=\sqrt{2},$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Obydwie funkcje są ujemne, więc $\dpi{120} \varphi \in$ III ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ (pomijamy znak minus).

Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{4}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ III ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =\pi +\alpha =\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5}{4}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{5\pi }{4} +i\sin \frac{5\pi }{4}\right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

i) $\dpi{120} 1+i\sqrt{3},$

Rozwiązanie

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=1$ oraz $\dpi{120} b=\sqrt{3}$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}=2,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{\sqrt{3}}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{1}{2}.$

Obydwie funkcje są dodatnie, więc $\dpi{120} \varphi \in$ I ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \varphi$ , dla którego $\dpi{120} \sin \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi =\frac{1}{2}.$

Mamy:

$\dpi{120} \varphi =\frac{\pi }{3}.$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=2\cdot \left ( \cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

j) $\dpi{120} 1-i\sqrt{3},$

Rozwiązanie

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=1$ oraz $\dpi{120} b=-\sqrt{3}$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}}=2,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{1}{2}.$

Funkcja $\dpi{120} \sin \varphi$ jest ujemna, zaś $\dpi{120} \cos \varphi$ jest dodatnia, więc $\dpi{120} \varphi \in$ IV ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{1}{2}$ (pomijamy znak minus).

Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{3}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ IV ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =2\pi -\alpha =2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5}{3}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=2\cdot \left ( \cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

k) $\dpi{120} -1-i\sqrt{3},$

Rozwiązanie

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=-1$ oraz $\dpi{120} b=-\sqrt{3}$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}}=2,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.$

Obydwie funkcje są ujemne, więc $\dpi{120} \varphi \in$ III ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{1}{2}$ (pomijamy znak minus).

Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{3}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ III ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =\pi +\alpha =\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4}{3}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=2\cdot \left ( \cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

l) $\dpi{120} -1+i\sqrt{3},$

Rozwiązanie

Z postaci liczb widzimy, że $\dpi{120} a=-1$ oraz $\dpi{120} b=\sqrt{3}$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}=2,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{\sqrt{3}}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.$

Funkcja $\dpi{120} \sin \varphi$ jest dodatnia, zaś $\dpi{120} \cos \varphi$ ujemna, więc $\dpi{120} \varphi \in$ II ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{1}{2}$ (pomijamy znak minus).

Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{3}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ II ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =\pi -\alpha =\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2}{3}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=2\cdot \left ( \cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

m) $\dpi{120} \sqrt{3}+i,$

Rozwiązanie

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=\sqrt{3}$ oraz $\dpi{120} b=1$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}+1^{2}}=2,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{1}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Obydwie funkcje są dodatnie, więc $\dpi{120} \varphi \in$ I ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \varphi$ , dla którego $\dpi{120} \sin \varphi =\frac{1}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Mamy:

$\dpi{120} \varphi =\frac{\pi }{6}.$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=2\cdot \left ( \cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

n) $\dpi{120} \sqrt{3}-i,$

Rozwiązanie

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=\sqrt{3}$ oraz $\dpi{120} b=-1$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{2}}=2$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Funkcja $\dpi{120} \sin \varphi$ jest ujemna, zaś $\dpi{120} \cos \varphi$ jest dodatnia, więc $\dpi{120} \varphi \in$ IV ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{1}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ (pomijamy znak minus).

Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{6}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ IV ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =2\pi -\alpha =2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11}{6}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=2\cdot \left ( \cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

o) $\dpi{120} -\sqrt{3}+i,$

Rozwiązanie

Z postaci tej liczby widzimy, że $\dpi{120} a=-\sqrt{3}$ oraz $\dpi{120} b=1$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}+1^{2}}=2,$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{1}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Funkcja $\dpi{120} \sin \varphi$ jest dodatnia, zaś $\dpi{120} \cos \varphi$ ujemna, więc $\dpi{120} \varphi \in$ II ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{1}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ (pomijamy znak minus).

Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{6}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ II ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =\pi -\alpha =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5}{6}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=2\cdot \left ( \cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

p) $\dpi{120} -\sqrt{3}-i.$

Rozwiązanie

Z postaci liczby widzimy, że $\dpi{120} a=-\sqrt{3}$ oraz $\dpi{120} b=-1$ . Liczymy moduł tej liczby, $\dpi{120} \sin \varphi$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi$ :

$\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{2}}=2$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\left | z \right |}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2},$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\left | z \right |}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Obydwie funkcje są ujemne, więc $\dpi{120} \varphi \in$ III ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha$ , dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\frac{1}{2}$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ (pomijamy znak minus).

Mamy:

$\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{6}.$

Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt $\dpi{120} \varphi \in$ III ćw. zapisze się jako:

$\dpi{120} \varphi =\pi +\alpha =\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7}{6}\pi .$

Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:

$\dpi{120} z=2\cdot \left ( \cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

W zadaniu tym przedstawione są wszystkie możliwe liczby zespolone dające się „ładnie” sprowadzić do postaci trygonometrycznej. Można oczywiście każdą z tych liczb pomnożyć przez dowolną liczbę rzeczywistą i otrzymamy nową liczbę zespoloną i nową postać trygonometryczną. Jednak łatwo ją otrzymać z już istniejącej, przez pomnożenie jej przez odpowiedni współczynnik, np. liczba $\dpi{100} z=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-i \right ).$ Z podpunktu f) wiemy, że postać trygonometryczna liczby $\dpi{100} 1-i=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4} \right ).$ Wobec tego postać trygonometryczna liczby $\dpi{100} z=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-i \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left [ \sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4} \right ) \right ]=$

$\dpi{100} =\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}.$

Oczywiście można ją liczyć również bezpośrednio ze wzorów podanych wcześniej.

Kolejne zadanie wykorzystuje wiadomości dotyczące modułu, sprzężenia i postaci algebraicznej. Bardzo często dawane są zadania o innej formie, a wiadomości, które się wykorzystuje są bardzo podstawowe.

Zadanie 2. Rozwiąż równania:

a) $\dpi{120} \left | z \right |-z=1+2i,$

Rozwiązanie

Wstawiamy $\dpi{120} z=x+iy.$

$\dpi{120} \left | x+iy \right |-x-iy=1+2i$

Mamy, że $\dpi{120} \left | x+iy \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , więc

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}-x-iy=1+2i$ (pierwiastek zostawiamy po lewej stronie, resztę przenosimy na prawą)

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=1+2i+x+iy$ (po prawej stronie grupujemy część rzeczywistą i urojoną)

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left ( 1+x \right )+i\left ( 2+y \right )$

Porównujemy część rzeczywistą z lewej i prawej strony, to samo z częścią urojoną. Otrzymujemy układ równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 1+x=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; \; \; \; \\ 2+y=0\Rightarrow y=-2 \end{matrix}\right.$ (wstawiamy $\dpi{100} y=-2$ do pierwszego równania)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 1+x=\sqrt{x^{2}+2^{2}}\\ y=-2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+x=\sqrt{x^{2}+4}\\ y=-2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$ (podnosimy pierwsze równanie stronami do kwadratu)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \left ( 1+x \right )^{2}=x^{2}+4\\ y=-2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+2x+x^{2}=x^{2}+4\\ y=-2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left\ \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+2x=4 \\ y=-2\; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\dpi{120} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{2}\; \; \\ y=-2 \end{matrix}\right.$

Szukana liczba zespolona ma postać: $\dpi{120} z=\frac{3}{2}-2i.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \left | z \right |+z=2+i,$

Rozwiązanie

Wstawiamy $\dpi{120} z=x+iy.$

$\dpi{120} \left | x+iy \right |+x+iy=2+i$

Mamy ,że $\dpi{120} \left | x+iy \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , więc

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x+iy=2+i$ (pierwiastek zostawiamy po lewej stronie, resztę przenosimy na prawą)

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2+i-x-iy$ (po prawej stronie grupujemy część rzeczywistą i urojoną)

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left ( 2-x \right )+i\left ( 1-y \right )$

Porównujemy część rzeczywistą z lewej i prawej strony, to samo z częścią urojoną. Otrzymujemy układ równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2-x=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; \; \\ 1-y=0\Rightarrow y=1 \end{matrix}\right.$ (wstawiamy $\dpi{100} y=1$ do pierwszego równania)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2-x=\sqrt{x^{2}+1^{2}}\\ y=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2-x=\sqrt{x^{2}+1}\\ y=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$ (podnosimy pierwsze równanie stronami do kwadratu)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \left ( 2-x \right )^{2}=x^{2}+1\\ y=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4-4x+x^{2}=x^{2}+1\\ y=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\dpi{120} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4-4x=1\Rightarrow x=\frac{3}{4}.\\ y=-2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Szukana liczba zespolona ma postać $\dpi{120} z=\frac{3}{4}+i.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} \left | z \right |+\left ( 1+i \right )z=4+7i,$

Rozwiązanie

Wstawiamy $\dpi{120} z=x+iy.$

$\dpi{120} \left | x+iy \right |+\left ( 1+i \right )\left ( x+iy \right )=4+7i$

Mamy, że $\dpi{120} \left | x+iy \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ oraz mnożąc $\dpi{120} \left ( 1+i \right )\left ( x+iy \right )$ otrzymujemy:

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x+iy+ix+i^{2}y=4+7i$ (pierwiastek zostawiamy po lewej stronie, resztę przenosimy na prawą)

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=4+7i-x-iy-ix+y$ (po prawej stronie grupujemy część rzeczywistą i urojoną)

$\dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left ( 4-x+y \right )+i\left ( 7-y-x \right )$

Porównujemy część rzeczywistą z lewej i prawej strony, to samo z częścią urojoną. Otrzymujemy układ równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 4-x+y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; \; \; \; \; \; \; \; \\ 7-y-x=0\Rightarrow x=7-y \end{matrix}\right.$ (wstawiamy $\dpi{100} x=7-y$ do pierwszego równania)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 4-\left ( 7-y \right )+y=\sqrt{\left ( 7-y \right )^{2}+y^{2}}\\ x=7-y \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -3+2y=\sqrt{49-14y+y^{2}+y^{2}}/\left ( \: \right )^{2}\\ x=7-y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Podnosimy pierwsze równanie stronami do kwadratu:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 9-12y+4y^{2}=49-14y+2y^{2}\\ x=7-y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$ (redukcja wyrazów podobnych)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2y^{2}+2y-40=0/:2\\ x=7-y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y^{2}+y-20=0\\ x=7-y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Pierwsze równanie rozwiązujemy jako równanie kwadratowe:

$\dpi{120} \Delta =81,y_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a},y_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

Stąd:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y_{1}=-5\vee y_{2}=4\\ x=7-y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=12\\ y_{1}=-5 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x_{2}=3\\ y_{2}=4 \end{matrix}\right..$

Otrzymaliśmy dwie liczby zespolone spełniające to równanie: $\dpi{120} z_{1}=12-5i$ oraz $\dpi{120} z_{2}=3+4i.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} z\cdot \bar{z}+\left ( z-\bar{z} \right )=3+2i,$

Rozwiązanie

Pamiętamy, że liczbą sprzężoną z liczbą $\dpi{120} z=x+yi$ jest liczba $\dpi{120} \bar{z}=x-yi$ . Wstawiając otrzymujemy:

$\dpi{120} \left ( x+iy \right )\left ( x-iy \right )+\left [ x+iy-\left ( x-iy \right ) \right ]=3+2i$ (stosujemy wzór $\dpi{100} \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2}$ )

$\dpi{120} x^{2}-i^{2}y^{2}+\left ( x+iy-x+iy \right )=3+2i$ (redukcja oraz $\dpi{100} i^{2}=-1$ )

$\dpi{120} x^{2}+y^{2}+2iy=3+2i$ (porównujemy część rzeczywistą i urojoną po obydwu stronach)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x^{2}+1^{2}=3\Rightarrow x_{1}=-\sqrt{2}\vee x_{2}=\sqrt{2}\\ y=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-\sqrt{2}\\ y_{1}=1\; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x_{2}=\sqrt{2}\\ y_{2}=1\; \; \; \end{matrix}\right.$

Otrzymaliśmy dwie liczby zespolone spełniające to równanie: $\dpi{120} z_{1}=-\sqrt{2}+i$ oraz $\dpi{120} z_{2}=\sqrt{2}+i.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} z^{2}=\bar{z},$

Rozwiązanie

Pamiętamy, że liczbą sprzężoną z liczbą $\dpi{120} z=x+iy$ jest liczba $\dpi{120} \bar{z}=x-iy$ . Wstawiając otrzymujemy:

$\dpi{120} \left ( x+iy \right )^{2}=x-iy$ (stosujemy wzór $\dpi{100} \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ )

$\dpi{120} x^{2}+2xyi+i^{2}y^{2}=x-iy$ ( $\dpi{120} \small i^{2}=-1$ )

$\dpi{120} x^{2}+2xyi-y^{2}=x-iy$ (porównujemy część rzeczywistą i urojoną po obydwu stronach)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=x\\ 2xy=-y\; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=x\\ 2xy+y=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=x\; \; \; \; \\ y\left ( 2x+1 \right )=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ y=0\vee 2x+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\dpi{120} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=x\\ y=0\vee x=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Rozważamy dwa przypadki. Pierwszy dla $\dpi{120} y=0$ , drugi dla $\dpi{120} x=-\frac{1}{2}.$

1. $\dpi{120} y=0$ , wówczas po wstawieniu do pierwszego równania mamy:

$\dpi{120} x^{2}-0^{2}=x$

$\dpi{120} x^{2}-x=0\Rightarrow x\left ( x-1 \right )=0\Rightarrow x_{1}=0\vee x_{2}=1$

W tym przypadku dostaliśmy dwie liczby zespolone $\dpi{120} z_{1}=0$ oraz $\dpi{120} z_{2}=1.$

2. $\dpi{120} x=-\frac{1}{2}$ , wówczas po wstawieniu do pierwszego równania mamy:

$\dpi{120} \left ( -\frac{1}{2} \right )^{2}-y^{2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{4}-y^{2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{3}{4}-y^{2}=0\Rightarrow y_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\: \vee\: \: y_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Również w tym przypadku dostaliśmy dwie liczby zespolone $\dpi{120} z_{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\dpi{120} z_{4}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Podsumowując, rozwiązaniami tego równania są cztery liczby zespolone:

$\dpi{120} z_{1}=0,z_{2}=1,z_{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2},z_{4}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} i\left ( z+\bar{z} \right )+i\left ( z-\bar{z} \right )=2i-3.$

Rozwiązanie

Pamiętajmy, że liczbą sprzężoną z liczbą $\dpi{120} z=x+iy$ jest liczba $\dpi{120} \bar{z}=x-iy.$ Wstawiając otrzymujemy:

$\dpi{120} i\left ( x+iy+x-iy \right )+i\left ( x+iy-\left ( x-iy \right ) \right )=2i-3$

$\dpi{120} 2xi+i\left ( x+iy-x+iy \right )=2i-3$

$\dpi{120} 2xi+i\cdot 2iy=2i-3$

$\dpi{120} 2xi-2y=2i-3$ (porównujemy część rzeczywistą i urojoną po obydwu stronach równania)

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -2y=-3\\ 2x=2\; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{3}{2}\\ x=1 \end{matrix}\right.$

Szukana liczba zespolona ma postać $\dpi{120} z=1+\frac{3}{2}i.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń