Liczenie pochodnych (teoria) - WYZNACZNIK

Niech $\dpi{120} f\left ( x \right )$ będzie funkcją określoną na pewnym otoczeniu $\dpi{120} Q$ punktu $\dpi{120} x_{0}$ . Symbolem $\dpi{120} \Delta x$ oznaczamy przyrost zmiennej $\dpi{120} x$ , który może być dodatni albo ujemny, lecz różny od zera i taki, że $\dpi{120} x_{0}+\Delta x\in Q.$

Iloraz

$iloraz różnicowy$

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji $\dpi{120} f\left ( x \right )$ w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ dla przyrostu $\dpi{120} \Delta x$ zmiennej $\dpi{120} x$ .

DEFINICJA

Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę właściwą, gdy $\dpi{120} \Delta x$ dąży do zera, to granicę tę nazywamy pochodną funkcji $\dpi{120} f$ w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ i oznaczamy symbolem $\dpi{120} f'\left ( x \right )$ , tzn.

$definicja pochodej funkcji$

Jeżeli granica ta istnieje to mówimy, że funkcja $\dpi{120} f$ ma pochodną w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ lub, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Jeżeli zaś granica ta nie istnieje, to mówimy, że pochodna $\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )$ nie istnieje.

Jeśli pochodna $\dpi{120} f'\left ( x _{0}\right )$ istnieje w każdym punkcie $\dpi{120} x_{0}$ zbioru $\dpi{120} X$ , to funkcję $\dpi{120} f'\left ( x \right )$ określoną na zbiorze $\dpi{120} X$ nazywamy pochodną funkcji $\dpi{120} f\left ( x \right )$ .

TWIERDZENIE

Jeżeli istnieją pochodne $\dpi{120} f'\left ( x \right )$ i $\dpi{120} g'\left ( x \right )$ , to:

1) $pochodna sumy funkcji$

2) $pochodna iloczynu funkcji$

3) $pochodna ilorazu funkcji$ o ile $\dpi{120} g\left ( x \right )\neq 0.$

TWIERDZENIE

Jeżeli funkcja $\dpi{120} u=h\left ( x \right )$ ma pochodną $\dpi{120} h'\left ( x \right )$ oraz funkcja $\dpi{120} y=f\left ( u \right )$ ma pochodną $\dpi{120} f'\left ( u \right )$ , to funkcja złożona $\dpi{120} y=f\left [ h\left ( x \right ) \right ]$ ma pochodną

$pochodna złożenia funkcji$

Geometrycznie, iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia $\dpi{120} \beta$ siecznej do osi $\dpi{120} OX$ , czyli współczynnikowi kierunkowemu tej siecznej. Pochodna $\dpi{120} f'\left ( x \right )$ , a więc granica ilorazu różnicowego, jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ w punkcie o odciętej $\dpi{120} x_{0}$