Mamy 6 zadań. W zadaniu 1 i 2 liczymy pochodne z definicji. W zadaniu 3 liczymy pochodne ze wzorów przedstawionych w zakładce Wzory tutaj. Kolejność podpunktów jest znacząca: od łatwych do trudnych. Zadanie 4 to tzw. pochodne logarytmiczne. Zupełnie inny schemat dlatego przedstawiony w oddzielnym zadaniu. W zadaniu 5 i 6 przedstawiamy podstawowe zastosowanie pochodnej z wykorzystaniem wzoru na styczną do krzywej.
Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji z definicji:
1)
Rozwiązanie
Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie :
Mamy zatem dla dowolnego :
oraz
Wstawiamy do definicji:
Wyłączamy w liczniku przed nawias:
Z dowolności wyboru punktu otrzymujemy:
2)
Rozwiązanie
Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie :
Mamy zatem dla dowolnego :
oraz
Wstawiamy do definicji:
Aby pozbyć się symbolu nieoznaczonego mnożymy licznik i mianownik przez tzw. sprzężenie mianownika. Zatem:
W liczniku otrzymujemy wzór skróconego mnożenia
Z dowolności wyboru punktu otrzymujemy:
3) dla
,
Rozwiązanie Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie Mamy zatem dla dowolnego oraz Wstawiamy do definicji: Ułamki w liczniku sprowadzamy do wspólnego mianownika: W liczniku mnożymy wyrażenia w nawiasach i przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych: Z dowolności wyboru punktu :
:
otrzymujemy:
4)
Rozwiązanie
Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie :
Mamy zatem dla dowolnego :
oraz
Wstawiamy do definicji:
W liczniku stosujemy wzór na różnicę cosinusów . Zatem:
Z dowolności wyboru punktu otrzymujemy:
5) w punkcie
Rozwiązanie
Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie :
Mamy zatem:
oraz
Wstawiamy do definicji:
W liczniku stosujemy wzór . Zatem:
Wykorzystamy teraz następującą granicę
Zatem:
6) w punkcie
Rozwiązanie
Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie :
Mamy zatem:
oraz
Wstawiamy do definicji:
W liczniku stosujemy wzór na różnicę sinusów . Zatem:
Otrzymujemy:
Zadanie 2. Zbadaj z definicji, czy istnieje pochodna funkcji w punkcie
:
Pamiętajmy, że warunkiem koniecznym istnienia pochodnej jest ciągłość funkcji. Jeżeli funkcja nie jest ciągła w danym punkcie, to pochodna w tym punkcie nie istnieje. Wiele błędnie rozwiązanych zadań w różnych miejscach.
1) oraz
Rozwiązanie Funkcja jest ciągła w punkcie Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie Mamy, że: Wstawiliśmy liczbę Liczymy granice jednostronne w punkcie Jeżeli okaże się, że granica lewostronna jest równa granicy prawostronnej, to pochodna Zatem policzmy granicę lewostronną Wstawiliśmy Wstawiamy: Liczymy granicę prawostronną Wstawiliśmy Wstawiamy: Zatem granice lewostronna i prawostronna nie są równe, więc granica.
:
do
, gdyż tam dziedziną są
.
, czyli:
oraz
.
istnieje. Jeżeli granice te okażą się różne, to pochodna
nie istnieje.
. Mamy, że przy
:
do
, gdyż jeżeli do
podchodzimy z lewej strony zera (
), to
.
. Mamy, że przy
:
do
, gdyż jeżeli do
podchodzimy z prawej strony zera (
), to
.
nie istnieje. Zatem funkcja
nie ma pochodnej w punkcie
.
2) oraz
Rozwiązanie Funkcja jest ciągła w punkcie Zadanie wygląda podobnie do poprzedniego. Zobaczymy jednak, że wynik będzie inny. Kroki są takie same jak w podpunkcie 1). Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie Mamy, że: Wstawiliśmy liczbę Liczymy granice jednostronne w punkcie Jeżeli okaże się, że granica lewostronna jest równa granicy prawostronnej, to pochodna Zatem policzmy granicę lewostronną Wstawiliśmy Wstawiamy: Liczymy granicę prawostronną Wstawiliśmy Wstawiamy: Zatem granice lewostronna i prawostronna są równe, więc granica.
:
do
, gdyż tam dziedziną są
.
, czyli:
oraz
.
istnieje. Jeżeli granice te okażą się różne, to pochodna
nie istnieje.
. Mamy, że przy
:
do
, gdyż jeżeli do
podchodzimy z lewej strony zera (
), to
.
. Mamy, że przy
:
do
, gdyż jeżeli do
podchodzimy z prawej strony zera (
), to
.
istnieje i jest równa
. Zatem funkcja
ma pochodną w punkcie
, która wynosi
3) oraz
Rozwiązanie
Funkcja jest ciągła w punkcie .
Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie :
Mamy, że:
oraz
Wstawiamy do definicji:
Zatem pochodna wynosi:
Zadanie 3. Oblicz pochodną funkcji:
3)
Rozwiązanie
Najpierw przekształćmy funkcję:
Liczymy pochodną ze wzoru :
Ostatnie przekształcenie nie jest konieczne. Możemy pozostawić postać
4)
6)
Rozwiązanie
Wykorzystujemy wzór na pochodną z iloczynu funkcji . U nas
oraz
. Zatem:
7)
Rozwiązanie
Wykorzystujemy wzór na pochodną z iloczynu funkcji . U nas
oraz
. Zatem:
8)
Rozwiązanie
Wykorzystujemy wzór na pochodną z ilorazu funkcji . U nas
oraz
. Zatem:
Najczęściej tak możemy zostawić pochodną. Nie jest w większości przypadków wymagane wymnażanie wyrażeń i doprowadzanie do idealnej postaci. Szczególnie w coraz bardziej złożonych pochodnych byłoby to bardziej uciążliwe niż samo liczenie pochodnej.
9)
Rozwiązanie
Wykorzystujemy wzór na pochodną z ilorazu funkcji . U nas
oraz
. Zatem:
10)
Rozwiązanie
Najpierw stosujemy wzór na pochodną ilorazu, a następnie wzór na pochodną z iloczynu funkcji.
Do nawiasu stosujemy wzór na pochodną z iloczynu, czyli:
Wstawiamy do pochodnej i otrzymujemy:
11) ważne
Rozwiązanie
Jest to pierwszy przykład, w którym mamy do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Ważne jest abyśmy nauczyli się rozpoznawać co jest tzw. funkcją zewnętrzną, a co jest funkcją wewnętrzną. Funkcja zewnętrzna jest to funkcja, której wartość jest liczona jako ostatnia. U nas funkcją zewnętrzną jest funkcja ”pierwiastek”. Liczymy zatem najpierw pochodną z ”pierwiastka”, a ta pochodna jest równa . Pamiętajmy, że nie możemy zmienić funkcji będącej pod pierwiastkiem (u nas
). Zatem ze wzoru na pochodną funkcji złożonej mamy:
12)
Rozwiązanie
Ponownie mamy do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Funkcją zewnętrzną jest tutaj funkcja logarytm. Wiemy, że . Zatem:
Przy pochodnej z również mamy funkcję złożoną. Funkcją zewnętrzną jest cosinus, a wewnętrzną
.
13)
Rozwiązanie
Zwróćmy uwagę na pochodną . Częstym błędem jest wskazywanie jako funkcję zewnętrzną funkcję tangens. Tutaj funkcją zewnętrzną jest ”trzecia potęga”. A więc najpierw stosujemy wzór na
. Zatem:
Wstawiając do pochodnej mamy:
14)
Rozwiązanie
Dłuższy przykład, w którym występuje funkcja wielokrotnie złożona. Jako funkcję zewnętrzną przyjmujemy funkcję wykładniczą , której pochodna jest równa
. Zatem:
Teraz funkcją zewnętrzną jest ”pierwiastek”, którego pochodna jest równa . Mamy:
Ponownie, funkcją zewnętrzną jest funkcja kwadratowa. Zatem:
15)
Rozwiązanie
Jest to znowu funkcja złożona. Funkcją zewnętrzną jest logarytm. Mamy:
16)
Rozwiązanie
Do pochodnej w nawiasie stosujemy wzór na pochodną z ilorazu:
Możemy już tak zostawić wynik pochodnej. Można jeszcze doprowadzać ją do lepszej postaci (mnożyć, skracać), ale nie jest to konieczne.
17)
Rozwiązanie
Najpierw wyprowadźmy wzór na
Wracamy do naszej funkcji. Otrzymujemy:
19)
20)
Rozwiązanie
W zakładce wzory znajdujemy pochodną . Zatem:
Możemy już tak zostawić wynik pochodnej. Można jeszcze doprowadzać ją do lepszej postaci (mnożyć, skracać), ale nie jest to konieczne.
Zadanie 4. Obliczyć tzw. pochodne logarytmiczne.
Uwaga! Jest to specyficzny schemat rozwiązania. Koniecznie należy się z nim zapoznać.
1) Rozwiązanie Nie możemy bezpośrednio zastosować żadnego z podstawowych wzorów, gdyż zmienna 1 Krok Podstawę potęgi (u nas Pamiętajmy, że funkcje 2 Krok Równość z Kroku 1 podnosimy stronami do odpowiedniej potęgi (u nas do 3 Krok Liczymy pochodną tak przekształconej funkcji (z pochodnej funkcji złożonej):
znajduje się zarówno w podstawie, jak i w wykładniku potęgi.
) należy przedstawić jako:
oraz
są funkcjami odwrotnymi. Stąd powyższa równość jest prawdziwa.
).
(korzystamy z pochodnej iloczynu funkcji)
2)
Rozwiązanie
1 Krok
Podstawę potęgi (u nas ) należy przedstawić jako:
Pamiętajmy, że funkcje oraz
są funkcjami odwrotnymi. Stąd powyższa równość jest prawdziwa.
2 Krok
Równość z Kroku 1 podnosimy stronami do odpowiedniej potęgi (u nas do ).
3 Krok
Liczymy pochodną tak przekształconej funkcji (z pochodnej funkcji złożonej):
(korzystamy z pochodnej iloczynu funkcji)
(złożenie funkcji)
Uważajmy na pochodne funkcji złożonych.
3)
Rozwiązanie
1 Krok
Podstawę potęgi (u nas ) należy przedstawić jako:
Pamiętajmy, że funkcje oraz
są funkcjami odwrotnymi. Stąd powyższa równość jest prawdziwa.
2 Krok
Równość z Kroku 1 podnosimy stronami do odpowiedniej potęgi (u nas do ).
3 Krok
Liczymy pochodną tak przekształconej funkcji (z pochodnej funkcji złożonej):
(korzystamy z pochodnej iloczynu funkcji)
(funkcja złożona)
Uważajmy na pochodne funkcji złożonych.
4)
Rozwiązanie
1 Krok
Podstawę potęgi (u nas ) należy przedstawić jako:
Pamiętajmy, że funkcje oraz
są funkcjami odwrotnymi. Stąd powyższa równość jest prawdziwa.
2 Krok
Równość z Kroku 1 podnosimy stronami do odpowiedniej potęgi (u nas do ).
3 Krok
Liczymy pochodną tak przekształconej funkcji (z pochodnej funkcji złożonej):
(korzystamy z pochodnej ilorazu funkcji)
(funkcja złożona)
Uważajmy na pochodne funkcji złożonych.
Zadanie 5. Wyznacz punkty, w których styczna do krzywej o równaniu jest równoległa do osi .
Rozwiązanie Z zakładki Teoria wiemy, że współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy tangensowi kąta pomiędzy tą krzywą a osią Z drugiej strony wiemy, że współczynnik ten jest to pochodna funkcji w danym punkcie. Zatem: Porównując te dwie rzeczy dostajemy do rozwiązania równanie: Szukanym punktem jest
. Jeżeli styczna jest równoległa do osi
to znaczy, że tworzy z nią kąt
. Wobec tego tangens tego kąta jest równy:
. Wstawiliśmy liczbę
do funkcji
.
Zadanie 6. W jakim punkcie styczna do krzywej tworzy z osią
kąt równy połowie kąta prostego?
Rozwiązanie Z zakładki Teoria wiemy, że współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy tangensowi kąta pomiędzy tą krzywą a osią Z drugiej strony wiemy, że ten współczynnik jest to pochodna funkcji w danym punkcie. Zatem: Porównując te dwie rzeczy dostajemy do rozwiązania równanie: Szukanymi punktami są
. Jeżeli styczna tworzy z osią
kąt równy połowie kąta prostego to znaczy, że tworzy z nią kąt
. Wobec tego tangens tego kąta jest równy:
oraz
. Wstawiliśmy liczby
i
do funkcji
.