Postać trygonometryczna liczb zespolonych-wzory

postać algebraiczna liczby zespolonej                                 – postać algebraiczna liczby zespolonej

postać trygonometryczna liczby zespolonej         – postać trygonometryczna liczb zespolonych

gdzie

moduł liczby zespolonej                    – moduł liczby zespolonej

\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

Z zależności tych wyliczamy kąt \dpi{120} \varphi – tzw. argument główny liczby zespolonej. Będą nam potrzebne następujące wiadomości poznane w szkole średniej:

Tabela znaków funkcji \dpi{120} \sin x \dpi{120} \cos x

\dpi{120} \varphi I ćw. II ćw. III ćw. IV ćw.
\dpi{120} \sin \varphi + +
\dpi{120} \cos \varphi + +

 

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Kąt w stopniach \dpi{120} 0^{\circ} \dpi{120} 30^{\circ} \dpi{120} 45^{\circ} \dpi{120} 60^{\circ} \dpi{120} 90^{\circ} \dpi{120} 180^{\circ} \dpi{120} 270^{\circ} \dpi{120} 360^{\circ}
Miara łukowa \dpi{120} 0 \dpi{120} \small \frac{\pi }{6} \dpi{120} \small \frac{\pi }{4} \dpi{120} \small \frac{\pi }{3} \dpi{120} \small \frac{\pi }{2} \dpi{120} \pi \dpi{120} \small \frac{3}{2}\pi \dpi{120} 2\pi
\dpi{120} \sin \alpha \dpi{120} 0 \dpi{120} \small \frac{1}{2} \dpi{120} \small \frac{\sqrt{2}}{2} \dpi{120} \small \frac{\sqrt{3}}{2} \dpi{120} 1 \dpi{120} 0 \dpi{120} -1 \dpi{120} 0
\dpi{120} \cos \alpha \dpi{120} 1 \dpi{120} \small \frac{\sqrt{3}}{2} \dpi{120} \small \frac{\sqrt{2}}{2} \dpi{120} \small \frac{1}{2} \dpi{120} 0 \dpi{120} -1 \dpi{120} 0 \dpi{120} 1
\dpi{120} tg\, \alpha \dpi{120} 0 \dpi{120} \small \frac{\sqrt{3}}{3} \dpi{120} 1 \dpi{120} \sqrt{3} \dpi{120} 0 \dpi{120} 0
\dpi{120} ctg\, \alpha \dpi{120} \sqrt{3} \dpi{120} 1 \dpi{120} \small \frac{\sqrt{3}}{3} \dpi{120} 0 \dpi{120} 0

 

Zapis kąta \dpi{120} \varphi w zależności od kąta \dpi{120} \alpha \in I ćw.

\dpi{120} \varphi \in I ćw. \dpi{120} \Rightarrow \varphi =a

\dpi{120} \varphi \in II ćw. \dpi{120} \Rightarrow \varphi =\pi -\alpha

\dpi{120} \varphi \in III ćw. \dpi{120} \Rightarrow \varphi =\pi +\alpha

\dpi{120} \varphi \in IV ćw. \dpi{120} \Rightarrow \varphi =2\pi -\alpha .

 

Algorytm sprowadzania liczby zespolonej \dpi{120} z=a+bi do postaci trygonometrycznej 

Zapraszamy do zadań! tutaj