Granice funkcji – zadania

Data wpisu 30 września 2019 przez Joanna Piasecka

Mamy 6 zadań. Kolejność zadań i podpunktów w zadaniach jest istotna. Zadanie 1 pokazuje liczenie granic z podstawowych ich własności, zadania kolejne wykorzystują schematy przedstawione w zakładce Wzory tutaj dla poszczególnych grup granic. Zadanie 5 to ”mieszanka” wszystkich typów granic. Ostatnie zadanie 6 to badanie ciągłości funkcji. Granice z zastosowaniem reguły de l’Hospitala znajdziemy w temacie Pochodne i ich zastosowania tutaj.

Zadanie 1. Korzystając z własności granic obliczyć:

1) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow \pi }x^{3}\sin x,$

Rozwiązanie

Wstawiamy za $\dpi{120} x$ jego wartość graniczną:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow {\color{Red} \pi} }x^{3}\sin x={\color{Red} \pi} ^{3}\cdot \sin {\color{Red} \pi} =\pi ^{3}\cdot 0=0.$

Nie otrzymaliśmy nigdzie symbolu nieoznaczonego, więc jest to wartość graniczna naszej funkcji.

Pokaż rozwiązanie

2) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}e^{\cos x},$

Rozwiązanie

Wstawiamy za $\dpi{120} x$ jego wartość graniczną:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow {\color{Red} 0}}e^{\cos x}=e^{\cos {\color{Red} 0}} =e^{1}=1.$

Nie otrzymaliśmy nigdzie symbolu nieoznaczonego, więc jest to wartość graniczna naszej funkcji.

Pokaż rozwiązanie

3) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right ),$

Rozwiązanie

Korzystamy z podstawowych własności granic:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow { \infty }}\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }x+\lim_{x\rightarrow \infty }\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{1}{x^{2}}}}=\infty +0=\infty.$

Nie otrzymaliśmy nigdzie symbolu nieoznaczonego, więc jest to wartość graniczna naszej funkcji.

Pokaż rozwiązanie

4) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 3}\frac{3x^{2}-6x+5}{2x^{2}-1}.$

Rozwiązanie

Wstawiamy za $\dpi{120} x$ jego wartość graniczną:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow {\color{Red} 3}}\frac{3x^{2}-6x+5}{2x^{2}-1}=\frac{{ 3}\cdot {\color{Red} 3}^{2}-6\cdot {\color{Red} 3}+5}{2\cdot {\color{Red} 3}^{2}-1}=\frac{27-18+5}{18-1}=\frac{13}{17}.$

Nie otrzymaliśmy nigdzie symbolu nieoznaczonego, więc jest to wartość graniczna naszej funkcji.

Pokaż rozwiązanie

Zadanie 2. Oblicz granice funkcji: (grupa I – zakładka Wzory tutaj)

Uwaga! Granice poniższe można liczyć również z reguły de l’Hospitala (o której później).

1) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-9}{x-3},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}={\color{Red} \frac{0}{0}}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{{\color{Blue} \left ( x-3 \right )}\left ( x+3 \right )}{{\color{Blue} x-3}}=\lim_{x\rightarrow 3}\left ( x+3 \right )=3+3=6.$

Pokaż rozwiązanie

2) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -3}\frac{x^{3}+27}{x^{2}-9},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -3}\frac{x^{3}+27}{x^{2}-9}={\color{Red} \frac{0}{0}}\overset{1.}{=} \lim_{x\rightarrow -3}\frac{{\color{Blue} \left ( x+3 \right )}\left ( x^{2}-3x+9 \right )}{\left ( x-3 \right ){\color{Blue} \left ( x+3 \right )}}=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{x^{2}-3x+9}{x-3}=$

$\dpi{120} =\frac{\left ( -3 \right )^{2}-3\cdot \left ( -3 \right )+9}{-3-3}=\frac{27}{-6}=-\frac{9}{2}.$

Wykorzystaliśmy tutaj wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\cdot \left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ).$

Pokaż rozwiązanie

3) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -2}\frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-x-6},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -2}\frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-x-6}={\color{Red} \frac{0}{0}}\overset{1.}{=}\lim_{x\rightarrow -2}\frac{{\color{Blue} \left ( x+2 \right )}\left ( 2x-1 \right ) }{{\color{Blue} \left ( x+2 \right )}\left ( x-3 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow -2}\frac{2x-1}{x-3}=\frac{2\cdot \left ( -2 \right )-1}{-2-3}=\frac{-5}{-5}=1.$

Wyrażenie w liczniku i mianowniku rozkładamy na czynniki np. licząc $\dpi{120} \Delta$ i jego pierwiastki. Jeśli potrafimy zrobić to w pamięci jest to mile widziane.

Pokaż rozwiązanie

4) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{3}+8}{x^{2}+3x+2},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{3}+8}{x^{2}+3x+2}={\color{Red} \frac{0}{0}}\overset{1.}{=}\lim_{x\rightarrow -2}\frac{{\color{Blue} \left ( x+2 \right )}\left ( x^{2}-2x+4 \right )}{{\color{Blue} \left ( x+2 \right )}\left ( x+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{2}-2x+4}{x+1}=\frac{\left ( -2 \right )^{2}-2\cdot \left ( -2 \right )+4}{-2+1}=\frac{12}{-1}=-12.$

wzór: $\dpi{120} a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\cdot \left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$ , a w mianowniku liczymy $\dpi{120} \Delta$ i pierwiastki.

Pokaż rozwiązanie

5) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1}={\color{Red} \frac{0}{0}}\overset{1.}{=}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{{\color{Blue} \left ( x-1 \right )}\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+ x+1\right )}{{\color{Blue} \left ( x-1 \right )}\left ( x+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{1+1+1+1+1}{1+1}=\frac{5}{2}.$

Do rozłożenia licznika stosujemy np. schemat Hornera (szczegóły tutaj )

	$\dpi{120} \tiny x^{5}$	$\dpi{120} \tiny x^{4}$	$\dpi{120} \tiny x^{3}$	$\dpi{120} \tiny x^{2}$	$\dpi{120} \tiny x$	$\dpi{120} \tiny a_{0}$
1	1	0	0	0	0	-1
	1	1·1+0=1	1·1+0=1	1·1+0=1	1·1+0=1	1·1-1=0
	$\dpi{120} \tiny x^{4}$	$\dpi{120} \tiny x^{3}$	$\dpi{120} \tiny x^{2}$	$\dpi{120} \tiny x$	$\dpi{120} \tiny a_{0}$

Pokaż rozwiązanie

6) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}+x^{2}+3x-5}{x^{2}-1}.$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}+x^{2}+3x-5}{x^{2}-1}={\color{Red} \frac{0}{0}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+2x+5 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}+2x+5}{x+1}=\frac{1+2+5}{1+1}=\frac{8}{2}=4.$

Pokaż rozwiązanie

Zadanie 3. Obliczyć granice funkcji: (grupa II – zakładka Wzory tutaj)

Uwaga! Granice te można liczyć również z reguły de l’Hospitala, ale nie poleca się.

1) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+4}-2}{\sqrt{x^{2}+1}-1},$

Rozwiązanie

Ponieważ pojawia się symbol nieoznaczony $\dpi{120} \frac{0}{0}$ , więc mnożymy licznik i mianownik przez ich sprzężenia. Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} \sqrt{x^{2}+4}-2}}{{\color{Blue} \sqrt{x^{2}+1}-1}}\cdot \frac{{\color{Red} \sqrt{x^{2}+4}+2}}{{\color{Red} \sqrt{x^{2}+4}+2}}\cdot \frac{{\color{Blue} \sqrt{x^{2}+1}+1}}{{\color{Blue} \sqrt{x^{2}+1}+1}}=$

Pamiętajmy, że mnożymy zawsze przez $\dpi{120} 1$ . Na czerwono domnożenie do licznika, na niebiesko do mianownika.

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\overset{\left ( \sqrt{x^{2}+4} \right )^{2}-4}{\overbrace{{\color{Red} \left ( \sqrt{x^{2}+4}-2 \right )}{\color{Red} \left ( \sqrt{x^{2}+4}+2 \right )}}}{\color{Blue} \left ( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right )}}{\underset{\left ( \sqrt{x^{2}+1} \right )^{2}-1}{\underbrace{{\color{Blue} \left ( \sqrt{x^{2}+1}-1 \right )}{\color{Blue} \left ( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right )}}}{\color{Red} \left ( \sqrt{x^{2}+4}+2 \right )}}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left (x^{2}+4-4 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right )}{\left ( x^{2}+1-1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+4}+2 \right )}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2} \left ( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right )}{ x^{2}\left ( \sqrt{x^{2}+4}+2 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ \sqrt{x^{2}+1}+1 }{ \sqrt{x^{2}+4}+2 }=\frac{\sqrt{0^{2}+1}+1}{\sqrt{0^{2}+4}+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

2) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{x},$

Rozwiązanie

Ponieważ pojawia się symbol nieoznaczony $\dpi{120} \frac{0}{0}$ , więc mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie licznika. Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{x}\cdot \frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( \sqrt{x^{2}+1} \right )^{2}-\left ( \sqrt{x+1} \right )^{2}}{x\left ( \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}\right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+1-x-1}{x\left ( \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1} \right )}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-x}{x\left ( \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\left ( x-1 \right )}{x\left ( \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1} \right )}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x-1 }{ \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

3) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}+16}-\sqrt{x+16}},$

Rozwiązanie

Ponieważ pojawia się symbol nieoznaczony $\dpi{120} \frac{0}{0}$ , więc mnożymy licznik i mianownik przez ich sprzężenia. Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} \sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}}{{\color{Blue} \sqrt{x^{2}+16}-\sqrt{x+16}}}\cdot \frac{{\color{Red} \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^{2}+16}+\sqrt{x+16}}{{\color{Blue} \sqrt{x^{2}+16}+\sqrt{x+16}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left [\left ( \sqrt{x^{2}+1} \right )^{2}-\left ( \sqrt{x+1} \right )^{2} \right ]\left ( \sqrt{x^{2}+16} +\sqrt{x+16}\right )}{\left [ \left ( \sqrt{x^{2}+16} \right )^{2}-\left ( \sqrt{x+16} \right )^{2} \right ]\left ( \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( x^{2}+1-x-1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+16}+\sqrt{x+16} \right )}{\left ( x^{2}+16-x-16 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( x^{2}-x \right )\left ( \sqrt{x^{2}+16}+\sqrt{x+16} \right )}{\left ( x^{2}-x \right )\left ( \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ \sqrt{x^{2}+16}+\sqrt{x+16} }{ \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1} }=\frac{4+4}{1+1}=\frac{8}{2}=4.$

Pokaż rozwiązanie

4) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x^{2}-2x},$ ważny

Rozwiązanie

Trochę trudniejszy przykład, wykorzystujący wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right ).$ Mnożymy zatem licznik i mianownik przez czynnik $\dpi{120} a^{2}+ab+b^{2}$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x^{2}-2x}\cdot \frac{\sqrt[3]{\left ( x+1 \right )^{2}}+\sqrt[3]{x+1}\cdot 1+1^{2}}{\sqrt[3]{\left ( x+1 \right )^{2}}+\sqrt[3]{x+1}\cdot 1+1^{2}}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left (\sqrt[3]{x+1} \right )^{3}-1^{3}}{x\left ( x-2 \right )\left ( \sqrt[3]{\left ( x+1 \right )^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+1-1}{x\left ( x-2 \right )\left ( \sqrt[3]{\left ( x+1 \right )^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} x}}{{\color{Red} x}\left ( x-2 \right )\left ( \sqrt[3]{\left ( x+1 \right )^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\left ( x-2 \right )\left ( \sqrt[3]{\left ( x+1 \right )^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right )}=\frac{1}{-2\cdot \left ( 1+1+1 \right )}=-\frac{1}{6}.$

Pokaż rozwiązanie

5) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+8}-2}{\sqrt[3]{x+27}-3}.$

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednim przykładzie wykorzystujemy wzór $\dpi{120} a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right ).$ Mnożymy przez czynnik $\dpi{120} a^{2}+ab+b^{2}$ odpowiadający zarówno licznikowi jak i mianownikowi.

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} \sqrt[3]{x^{2}+8}-2}}{{\color{Blue} \sqrt[3]{x+27}-3}}\cdot \frac{{\color{Red} \left ( \sqrt[3]{x^{2}+8} \right )^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}+8}+2^{2}}}{\left ( \sqrt[3]{x^{2}+8} \right )^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}+8}+2^{2}} \cdot \frac{\left ( \sqrt[3]{x+27} \right )^{2}+3\sqrt[3]{x+27}+3^{2}}{{\color{Blue} \left ( \sqrt[3]{x+27} \right )^{2}+3\sqrt[3]{x+27}+3^{2}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left [\left ( \sqrt[3]{x^{2}+8} \right )^{3}-2^{3} \right ]\cdot \left [ \left ( \sqrt[3]{x+27} \right )^{2}+3\sqrt[3]{x+27}+9 \right ]}{\left [ \left ( \sqrt[3]{x+27} \right )^{3}-3^{3} \right ]\cdot \left [ \left ( \sqrt[3]{x^{2}+8} \right )^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}+8}+4 \right ]}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( x^{2}+8-8 \right )\cdot \left [\left ( \sqrt[3]{x+27} \right )^{2}+3\sqrt[3]{x+27}+9 \right ]}{\left ( x+27-27 \right )\cdot \left [\left ( \sqrt[3]{x^{2}+8} \right )^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}+8}+4 \right ]}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}\cdot \left [\left ( \sqrt[3]{x+27} \right )^{2}+3\sqrt[3]{x+27}+9 \right ]}{x\cdot \left [\left ( \sqrt[3]{x^{2}+8} \right )^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}+8}+4 \right ]}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\color{Red} x}}}\cdot \left [\left ( \sqrt[3]{x+27} \right )^{2}+3\sqrt[3]{x+27}+9 \right ]}{ \left ( \sqrt[3]{x^{2}+8} \right )^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}+8}+4 }=0.$

Pokaż rozwiązanie

Zadanie 4. Obliczyć granice funkcji: (grupa III – zakładka Wzory tutaj)

Uwaga! Granice te można liczyć z reguły de l’Hospitala (o której później). Rozwiązania są wówczas jeszcze krótsze.

1) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{8x},$

Rozwiązanie

Pojawia się symbol nieoznaczony $\dpi{120} \frac{0}{0}$ . Będziemy korzystać z granicy $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{ax}=1$ . Zatem:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} \sin { 3x}}}{8x}\cdot \frac{3x}{{\color{Red} 3x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{\sin 3x}{3x}}}\cdot \frac{3{\color{Blue} x}}{8{\color{Blue} x}}=1\cdot \frac{3}{8}=\frac{3}{8}.$

Pokaż rozwiązanie

2) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{2}2x}{7x},$

Rozwiązanie

Pojawia się symbol nieoznaczony $\dpi{120} \frac{0}{0}$ . Będziemy korzystać z granicy $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{ax}=1$ . Zatem:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{2}2x}{7x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} \sin { 2x}}\cdot {\color{Blue} \sin { 2x}}}{7x}\cdot \frac{2x}{{\color{Red} 2x}}\cdot \frac{2x}{{\color{Blue} 2x}}=$

Częsty błąd, w przykładzie był $\dpi{120} \sin ^{2}2x$ i należy pamiętać, aby dopisać dwukrotnie $\dpi{120} \frac{2x}{2x}$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{\sin 2x}{2x}}}\cdot \underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{\sin 2x}{2x}}}\cdot \frac{2{\color{Red} x}\cdot 2x}{7{\color{Red} x}}=1\cdot 1\cdot \frac{4\cdot 0}{7}=0.$

Pokaż rozwiązanie

3) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg5x}{\sin 7x},$

Rozwiązanie

Pojawia się symbol nieoznaczony $\dpi{120} \frac{0}{0}$ . Będziemy korzystać z granic $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{ax}=1$ oraz $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg ax}{ax}=1$ . Zatem:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} tg5x}}{{\color{Blue} \sin 7x}}\cdot \frac{5x}{{\color{Red} 5x}}\cdot \frac{7x}{{\color{Blue} 7x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{tg5x}{5x}}}\cdot \underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{7x}{\sin 7x}}}\cdot \underset{=35x^{2}}{\underbrace{5x\cdot 7x}}=1\cdot 1\cdot 35\cdot 0^{2}=0.$

Pokaż rozwiązanie

4) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^{2}\cos 4x}{\sin 2x\cdot \sin 5x}.$

Rozwiązanie

Pojawia się symbol nieoznaczony $\dpi{120} \frac{0}{0}$ . Będziemy korzystać z granicy $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{ax}=1$ . Zatem:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^{2}\cos 4x}{{\color{Red} \sin 2x}\cdot {\color{Blue} \sin 5x}}\cdot \frac{{\color{Red} 2x}}{2x}\cdot \frac{{\color{Blue} 5x}}{5x}=$

Uwaga! Nie dopisujemy nic do funkcji cosinus, gdyż $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\cos 4x= \cos \left ( 4\cdot 0 \right )= \cos 0=1$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}{\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{2x}{\sin 2x}}}}\cdot \underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{5x}{\sin 5x}}}\cdot \frac{5{\color{Red} x^{2}}\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\cos 4x}}}{2{\color{Red} x}\cdot 5{\color{Red} x}}=1\cdot 1\cdot \frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zadanie 5. Oblicz granice funkcji: (różne typy)

1) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+25}-5}{13x^{2}},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+25}-5}{13x^{2}}\cdot \frac{\sqrt{x^{2}+25}+5}{\sqrt{x^{2}+25}+5}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( \sqrt{x^{2}+25} \right )^{2}-5^{2}}{13x^{2}\cdot \left ( \sqrt{x^{2}+25}+5 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+25-25}{13x^{2}\cdot \left ( \sqrt{x^{2}+25}+5 \right )}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} x^{2}}}{13{\color{Red} x^{2}}\cdot \left ( \sqrt{x^{2}+25}+5 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{13\left ( \sqrt{x^{2}+25}+5 \right )}=\frac{1}{13\cdot \left ( 5+5 \right )}=\frac{1}{130}.$

Pokaż rozwiązanie

2) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg^{2}2x}{3\cos 5x\cdot \sin 7x},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg^{2}2x}{3\cos 5x\cdot \sin 7x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} tg2x}\cdot {\color{Blue} tg2x}}{3\cos 5x\cdot {\color{Green} \sin 7x}}\cdot \frac{2x}{{\color{Red} 2x}}\cdot \frac{2x}{{\color{Blue} 2x}}\cdot \frac{{\color{Green} 7x}}{7x}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 0}\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{tg2x}{2x}}}\cdot \underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{tg2x}{2x}}}\cdot \underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{7x}{\sin 7x}}}\cdot \frac{2x\cdot 2{\color{Red} x}}{3\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\cos 5x}}\cdot 7{\color{Red} x}}=1\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{4\cdot 0}{3\cdot 1\cdot 7}=0.$

Pokaż rozwiązanie

3) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{3}-27}{x^{2}-9}.$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{3}-27}{x^{2}-9}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{{\color{Red} \left ( x-3 \right )}\left ( x^{2}+3x+9 \right )}{{\color{Red} \left ( x-3 \right )}\left ( x+3 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+3x+9}{x+3}=\frac{3^{2}+3\cdot 3+9}{3+3}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zadanie 6. Wyznacz wartość parametru $\dpi{120} \large a$ , dla której dana funkcja jest ciągła:

1) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{x^{3}-1} & dla & x\neq 1\\ a & dla & x=1 \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie

Aby funkcja była ciągła granica funkcji w punkcie musi być równa wartości funkcji w danym punkcie. Jedyny problem ciągłości w naszej funkcji jest w punkcie $\dpi{120} x=1$ . Dla $\dpi{120} x\in \mathbb{R}-\left \{ 1 \right \}$ funkcja jest ciągła, jako funkcja wymierna. Liczymy zatem granicę funkcji w $\dpi{120} x=1$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 1}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^{3}-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{{\color{Red} x-1}}{{\color{Red} \left ( x-1 \right )}\left ( x^{2}+x+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{2}+x+1}=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}$

Zatem dla $\dpi{120} a=\frac{1}{3}$ funkcja jest funkcją ciągłą.

Pokaż rozwiązanie

2) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{2x+6}{x^{3}+27} & dla & x\neq -3\\ a & dla & x=-3 \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie

Aby funkcja była ciągła granica funkcji w punkcie musi być równa wartości funkcji w danym punkcie. Jedyny problem ciągłości w naszej funkcji jest w punkcie $\dpi{120} x=-3$ . Dla $\dpi{120} x\in \mathbb{R}-\left \{ -3 \right \}$ funkcja jest ciągła, jako funkcja wymierna. Liczymy zatem granicę funkcji w $\dpi{120} x=-3$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -3}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2x+6}{x^{3}+27}=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2{\color{Red} \left (x+3 \right )}}{{\color{Red} \left ( x+3 \right )}\left ( x^{2}-3x+9\right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2}{x^{2}-3x+9}=\frac{2}{9+9+9}=\frac{2}{27}$

Zatem dla $\dpi{120} a=\frac{2}{27}$ funkcja jest funkcją ciągłą.

Pokaż rozwiązanie

3) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{3-\sqrt{1+2x}}{2-\sqrt{x}} & dla & x\neq 4\\ a & dla & x=4 \end{matrix}\right..$

Rozwiązanie

Aby funkcja była ciągła granica funkcji w punkcie musi być równa wartości funkcji w danym punkcie. Jedyny problem ciągłości w naszej funkcji jest w punkcie $\dpi{120} x=4$ , gdyż mianownik w tym punkcie jest równy zero. Dla $\dpi{120} x\in \mathbb{R}_{+}-\left \{ 4 \right \}$ funkcja jest ciągła. Liczymy zatem granicę funkcji w $\dpi{120} x=4$ .

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 4}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{{\color{Red} 3-\sqrt{1+2x}}}{{\color{Blue} 2-\sqrt{x}}}\cdot \frac{{\color{Red} 3+\sqrt{1+2x}}}{3+\sqrt{1+2x}}\cdot \frac{{2+\sqrt{x}}}{{\color{Blue} 2+\sqrt{x}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( 3^{2}-\left ( \sqrt{1+2x} \right )^{2} \right )\cdot \left ( 2+\sqrt{x} \right )}{\left ( 2^{2}-\left ( \sqrt{x} \right )^{2} \right )\cdot \left ( 3+\sqrt{1+2x} \right )}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( 9-1-2x \right )\cdot \left ( 2+\sqrt{x} \right )}{\left ( 4-x \right )\cdot \left ( 3+\sqrt{1+2x} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( 8-2x \right )\cdot \left ( 2+\sqrt{x} \right )}{\left ( 4-x \right )\cdot \left ( 3+\sqrt{1+2x} \right )}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2{\color{Red} \left ( 4-x \right )}\cdot \left ( 2+\sqrt{x} \right )}{{\color{Red} \left ( 4-x \right )}\cdot \left ( 3+\sqrt{1+2x} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2\left (2+\sqrt{x} \right )}{3+\sqrt{1+2x}}=\frac{2\cdot \left (2+\sqrt{4} \right )}{3+\sqrt{1+2\cdot 4}}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$

Zatem dla $\dpi{120} a=\frac{4}{3}$ funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest funkcją ciągłą.

Pokaż rozwiązanie