Całki funkcji niewymiernych – zadania

Mamy 5 zadań. Pierwsze zadanie wykorzystuje twierdzenie z zakładki Wzory tutaj. Kolejne zadania pokazują typowe całki niewymierne z mianownikiem zawierającym wyrażenie kwadratowe. Schemat rozwiązania zależy od znaku współczynnika \dpi{120} a tego wyrażenia. Całki z zadań 2 – 5 można liczyć z gotowych wzorów, które pojawiły się w zakładce Wzory, ale większość wykładowców sobie tego nie życzy. Przedstawiliśmy więc pełne ich rozwiązania. Jedynie przykłady 2 i 3 z zadania 5 wykorzystują wspomniane wzory. 

 

Zadanie 1. Obliczyć całki:

 

W całkach niewymiernych wybór schematu zależy od znaku współczynnika \dpi{120} a przy zmiennej \dpi{120} x^{2}

Zadanie 2. Obliczyć całki typu: \dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}},\; a<0

 

W stosunku do poprzedniego zadania dochodzi nam jeszcze jeden początkowy krok. Później sprowadzamy poniższe całki do całek z zadania 2. 

Zadanie 3. Obliczyć całki typu: \dpi{120} \int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx,\; a<0

Zadanie 4. Obliczyć całki typu: \dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}},\; a>0 – pierwsze podstawienie Eulera

Zadanie 5. Obliczyć całki typu: \dpi{120} \int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx,\; a>0 – pierwsze podstawienie Eulera