Ogólne wiadomości o układach równań – teoria

Układ równań postaci

układ równań liniowych

gdzie \dpi{120} a_{ij},b_{i}\in R dla \dpi{120} i=1,2,...,n nazywamy układem równań liniowych. Liczby \dpi{120} a_{ij} nazywamy współczynnikami układu równań, zaś \dpi{120} b_{i} wyrazami wolnymi. Macierz

\dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ a_{mn}& a_{m2} &\cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

utworzona ze współczynników przy niewiadomych nazywamy macierzą współczynników (macierzą układu).

Układ równań, w którym \dpi{120} b_{1}=b_{2}=...=b_{m}=0, nazywamy układem jednorodnym.

Rozwiązaniem układu równań nazywamy ciąg \dpi{120} \left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right ) liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań liniowych może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań bądź nie mieć ich wcale.

Układ równań liniowych nazywamy:

układem oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie,

układem nieoznaczonym, gdy ma nieskończenie  wiele rozwiązań,

układem sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań.