Macierz odwrotna – zadania

Mamy 5 zadań. Zadanie 1 jest typowym liczeniem macierzy odwrotnej według schematu. W zadaniu 2 rozwiązujemy równania macierzowe, a więc stosujemy macierz odwrotną w praktyce. Jest to częste zadanie na kolokwiach czy egzaminach. Zadanie 4 i 5 są mniej standardowe. Wykorzystujemy w nich pewne własności wyznacznika i macierzy odwrotnych, bez wykorzystania rachunków jak we wcześniejszych zadaniach. Są bardzo krótkie. Warto zapoznać się z zakładkami Teoria tutaj i Wzory tutaj.

 

Zadanie 1. Wyznaczyć macierze odwrotne do macierzy \dpi{120} \large A:

a) \dpi{120} A=\begin{bmatrix} -1 & 3\\ 2& -5 \end{bmatrix},

b) \dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 & 5\\ 1 & 2 \end{bmatrix},    

c) \dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 &2 &0 \\ 0& -1 &3 \\ 2& 0 & -2 \end{bmatrix},     

d) \dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 0 & 1 & 2\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix},    

e) \dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 &1 &-1 \\ 3 & 1&-2 \\ 1&0 & 1 \end{bmatrix},

f) \dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 0& 1 & 2\\ 2 & 1& 1 \end{bmatrix}.

Zadanie 2. Rozwiązać równania macierzowe:

a) \dpi{120} AX=B dla \dpi{120} A=\begin{bmatrix} -1 &3 \\ 2 &-5 \end{bmatrix},\; \; B=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3&2 \end{bmatrix},

b) \dpi{120} AXB=C dla \dpi{120} A= \begin{bmatrix} 3 &-1 \\ 5& -2 \end{bmatrix},\; \; B=\begin{bmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{bmatrix},\; \; C=\begin{bmatrix} 14 & 16\\ 9& 10 \end{bmatrix},

c) \dpi{120} XA=B dla \dpi{120} A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & -1 &3 \\ 2&0 & -2 \end{bmatrix},\; \; B=\begin{bmatrix} 1 &0 &-2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix},

d) \dpi{120} AXB=C dla \dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 & 1& 0\\ 3& 1& 0\\ 2 & 2 &-1 \end{bmatrix},\; \; B=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 4&3 \end{bmatrix}, \; \; C=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 4 & -2\\ 2 &-6 \end{bmatrix},

e) \dpi{120} AX=B dla \dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 3 & 2 &-4 \\ 2& -1 & 0 \end{bmatrix}, \; \; B=\begin{bmatrix} 1 & -3 &0 \\ 10& 2 & 7\\ 10 & 7 & 8 \end{bmatrix},

f) \dpi{120} A\cdot \left ( B+X \right )=C dla \dpi{120} A= \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3&1 \end{bmatrix},\; \; B=\begin{bmatrix} -3 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \; \; C=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 1& 1 \end{bmatrix},

g) \dpi{120} A\cdot \left ( X-C \right )=B^{T} dla \dpi{120} A=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 3\\ 2 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix},\; \; B=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1\\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix},\; \; C=\begin{bmatrix} 2 & 2\\ -1 &0 \\ 1& 4 \end{bmatrix}.

Zadanie 3. Obliczyć \dpi{120} A=B^{3}-2B+4B^{-2} dla \dpi{120} B=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1&2 \end{bmatrix}.

Zadanie 4. Niech macierze \dpi{120} \large A,B,C będą macierzami kwadratowymi trzeciego stopnia takimi, że \dpi{120} \large \det A=2,\, \det B=-1,\, \det C=3. Obliczyć \dpi{120} \large \det \left ( BA^{-1} 2C^{T}\right ).

Zadanie 5. Niech macierze \dpi{120} \large A,B,C będą macierzami kwadratowymi trzeciego stopnia takimi, że \dpi{120} \large \det A=2,\, \det B=-1,\, \det C=3. Obliczyć\dpi{120} \large \det \left ( \left ( BA^{T} \right )^{-1}2C^{T} \right )^{-1}.