Twierdzenie Kroneckera-Capellego (zadania)

Przed przystąpieniem do tego tematu należy umieć liczyć rzędy macierzy tutaj oraz znać metodę wyznacznikową rozwiązywania układów równań tutaj.

Zadanie 1. Korzystając z twierdzenia Kroneckera – Capellego, wyznaczyć liczbę rozwiązań układów równań (można wyznaczyć również rozwiązania, korzystając z innych metod, będzie to pokazane w przykładach a), b), c)):

a) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}-x_{3}-3x_{4}=3\\ 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}-4x_{4}=-1\\ 4x_{1}+5x_{2}-x_{3}-6x_{4}=2 \end{matrix}\right.$

Rozwiązanie

Liczymy $\dpi{120} rzA$ oraz $\dpi{120} rz\bar{A},$ gdzie $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 &-3 \\ 2& 3& -1& -4\\ 4 & 5 & -1 & -6 \end{bmatrix}$ oraz $\dpi{120} \bar{A}=\begin{bmatrix} 1 &2 & -1 & -3 &3 \\ 2&3 &-1 &-4 &-1 \\ 4&5 & -1 &-6 &2 \end{bmatrix}.$ Zatem:

$\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 &-3 \\ 2& 3 & -1 &-4 \\ 4& 5&-1 &-6 \end{bmatrix}.$

Zauważmy, że $\dpi{120} -2w_{1}+3w_{2}=w_{3},$ więc trzeci wiersz możemy skreślić:

$\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 1 &2 & -1& -3\\ 2& 3 & -1 &-4 \end{bmatrix}=2,$ gdyż $\dpi{120} \begin{vmatrix} 1 &2 \\ 2&3 \end{vmatrix}=3-4=-1\neq 0.$

Liczymy $\dpi{120} rz\bar{A}:$

$\dpi{120} rz\bar{A}=rz\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 & -3 &3 \\ 2 & 3 & -1 & -4& -1\\ 4 & 5 & -1 & -6 &2 \end{bmatrix}=3,$ gdyż $\dpi{120} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 &-1 \\ 4 &5 &2 \end{vmatrix}=-11\neq 0.$

Stąd rzędy macierzy $\dpi{120} A$ i $\dpi{120} \bar{A }$ są różne

$\dpi{120} 2=rzA\neq rz\bar{A}=3,$

więc układ równań nie ma rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\\ x_{1}+3x_{2}+x_{3}=5\\ x_{1}+x_{2}+5x_{3}=-7\\ 2x_{1}+3x_{2}-3x_{3}=14 \end{matrix}\right.$

Rozwiązanie

1. Liczymy rząd macierzy rozszerzonej $\dpi{120} \bar{A}=\begin{bmatrix} 2 & 1 &1 &2 \\ 1 & 3 & 1 & 5\\ 1 & 1 &5 &-7 \\ 2& 3 &-3 &14 \end{bmatrix}.$ Zauważmy, że $\dpi{120} w_{4}=w_{1}+w_{2}-w_{3},$ zatem wiersz czwarty możemy skreślić (nie ma on wpływu na rząd macierzy). Mamy:

$\dpi{120} rz\bar{A}=rz\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 &2 \\ 1& 3 & 1 & 5\\ 1& 1 &5 &-7 \\ 2 &3 & -3 &14 \end{bmatrix}=rz\begin{bmatrix} 2 & 1 &1 &2 \\ 1 & 3 & 1 &5 \\ 1& 1 & 5 &-7 \end{bmatrix}=3,$ gdyż $\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & 1 &1 \\ 1& 3 &1 \\ 1& 1 &5 \end{vmatrix}=22\neq 0.$

2. Liczymy rząd macierzy współczynników $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 & 1 &1 \\ 1 & 3 &1 \\ 1 & 1 &5 \\ 2 & 3 &-3 \end{bmatrix}.$ Z wcześniejszych obliczeń wynika, że $\dpi{120} rzA=3,$ gdyż ponownie $\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix}=22\neq 0.$

3. Mamy więc, że $\dpi{120} rzA=rz\bar{A}=3$ i jest równy liczbie niewiadomych. Z twierdzenia Kroneckera – Capellego wynika, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest on równoważny układowi równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\\ x_{1}+3x_{2}+x_{3}=5\\ x_{1}+x_{2}+5x_{3}=-7 \end{matrix}\right.$

Do układu wzięliśmy te wiersze, których współczynniki wchodziły w skład niezerowego wyznacznika. Jest to układ Cramera i rozwiązanie znajdujemy np. za pomocą wzorów Cramera. Mamy:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 2 & 1 &1 \\ 1 &3 & 1\\ 1&1 & 5 \end{vmatrix}=22,\: \: W_{1}=\begin{vmatrix} 2 &1 &1 \\ 5 & 3 & 1\\ -7 & 1 & 5 \end{vmatrix}=22,$

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 2 & 1 &1 \\ 1& 5 &1 \\ 1& -7 & 5 \end{vmatrix}=44,\: \: W_{3}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 5\\ 1 & 1 &-7 \end{vmatrix}=-44.$

Otrzymujemy, że:

$\dpi{120} x_{1}=\frac{W_{1}}{W}=1,\: \: x_{2}=\frac{W_{2}}{W}=2,\: \: x_{3}=\frac{W_{3}}{W}=-2$

będące jedynym rozwiązaniem tego układu.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1\\ 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2\\ 5x_{1}-x_{2}+3x_{3}=3\\ 7x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=5 \end{matrix}\right.$

Rozwiązanie

1. Liczymy

$\dpi{120} rz\bar{A}=rz\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 &1 & 2\\ 5 & -1 & 3& 3\\ 7 & -2 & 4&5 \end{bmatrix}$

Zauważmy, że $\dpi{120} w_{3}=w_{1}+2w_{2}$ oraz $\dpi{120} w_{4}=w_{1}+3w_{2}.$ Możemy więc wiersz trzeci i czwarty skreślić, gdyż nie ma on wpływu na rząd macierzy (jest kombinacją liniową pozostałych wierszy). Zatem

$\dpi{120} rz\bar{A}=rz\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}=2,$ gdyż np. $\dpi{120} \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 2&-1 \end{vmatrix}=-3\neq 0.$

2. Liczymy analogicznie $\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 2 & -1 & 1\\ 5 & -1 &3 \\ 7 & -2 & 4 \end{bmatrix}=rz\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 2&-1 & 1 \end{bmatrix}=2.$

Mamy $\dpi{120} rz\bar{A}=rzA=2,$ a niewiadomych w tym układzie było trzy, więc układ ma na podstawie twierdzenie Kroneckera- Capellego nieskończenie wiele rozwiązań.

3. Znajdziemy dodatkowo te rozwiązania. Układ równoważny naszemu układowi równań ma postać (wiersz trzeci i czwarty nie miał znaczenia dla rzędu macierzy, również dla całego układu równań):

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1\\ 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 \end{matrix}\right.$

Mamy dwa równania i trzy niewiadome. Jedną z niewiadomych traktujemy jako parametr, np. $\dpi{120} x_{3},$ ponieważ jej współczynniki nie wchodziły w skład niezerowego wyznacznika, który wcześniej wskazywaliśmy. Niech zatem $\dpi{120} x_{3}=t\in R.$ Wówczas:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-1-t\\ 2x_{1}-x_{2}=2-t \end{matrix}\right.$

4. Rozwiązując wzorami Cramera, otrzymujemy:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 2 &-1 \end{vmatrix}=-3,\: \:$

$\dpi{120} W_{1}=\begin{vmatrix} -1-t & 1\\ 2-t &-1 \end{vmatrix}=2t-1,$

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 2 & -1-t\\ 2 & 2-t \end{vmatrix}=4+t.$

Stąd:

$\dpi{120} x_{1}=\frac{2t-1}{-3},\: \: x_{2}=\frac{4+t}{-3},\: \: x_{3}=t$ dla $\dpi{120} t\in \mathbb{R}.$

Układ ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+3x_{2}-x_{3}+3x_{4}=4\\ 2x_{1}+2x_{2}+x_{3}+5x_{4}=5\\ 3x_{1}+5x_{2}+8x_{4}=7\; \; \; \; \; \; \; \\ \end{matrix}\right.$

Rozwiązanie

Liczymy $\dpi{120} rzA$ oraz $\dpi{120} rz\bar{A},$ gdzie $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 &3 \\ 2& 2 &1 &5 \\ 3 & 5 & 0 &8 \end{bmatrix}$ oraz $\dpi{120} \bar{A}=\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 & 3 &4 \\ 2& 2 & 1 & 5 &5 \\ 3 & 5 & 0 &8 & 7 \end{bmatrix}.$ Zatem:

$\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 & 3\\ 2& 2 &1 &5 \\ 3& 5 &0 & 8 \end{bmatrix}.$

Zauważmy, że $\dpi{120} w_{1}+w_{2}=w_{3},$ więc trzeci wiersz możemy skreślić:

$\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1&3 \\ 2 &2 &1 & 5 \end{bmatrix}=2,$ gdyż $\dpi{120} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2& 2 \end{vmatrix}=2-6=-4\neq 0.$

Liczymy $\dpi{120} rz\bar{A}:$

$\dpi{120} rz\bar{A}=rz\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1&3 & 4\\ 2 & 2&1 & 5 &5 \\ 3 &5 & 0 &8 &7 \end{bmatrix}=3,$ gdyż $\dpi{120} \begin{vmatrix} 1 &3 &4 \\ 2 &2 & 5\\ 3& 5 & 7 \end{vmatrix}=8\neq 0.$

Stąd rzędy macierzy $\dpi{120} A$ i $\dpi{120} \bar{A}$ są różne

$\dpi{120} 2=rz A\neq rz\bar{A}=3,$

więc układ nie ma rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-1\\ 2x_{1}+4x_{2}+5x_{3}=2\\ 3x_{1}+6x_{2}+7x_{3}=5\\ 4x_{1}+8x_{2}+11x_{3}=0 \end{matrix}\right.$

Rozwiązanie

1. Liczymy

$\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -1\\ 2& 4 &5 &2 \\ 3&6 &7 &5 \\ 4 & 18 & 11 &0 \end{bmatrix}$

Zauważmy, że $\dpi{120} w_{4}=2w_{1}+w_{2}$ oraz $\dpi{120} w_{3}=2w_{2}-w_{1}.$ Możemy więc wiersz trzeci i czwarty skreślić, gdyż nie mają one wpływu na rząd macierzy (są kombinacją liniową pozostałych wierszy). Zatem

$\dpi{120} rz\bar{A}=rz\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 & -1\\ 2& 4 &5 & 2 \end{bmatrix}=2,$ gdyż np. $\dpi{120} \begin{vmatrix} 1 &3 \\ 2& 5 \end{vmatrix}=5-6=-1\neq 0.$

2. Liczymy analogicznie

$\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2&4 &5 \\ 3& 6 &7 \\ 4&8 & 11 \end{bmatrix}\overset{k_{2}=2k_{1}}{=}rz\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2 &5 \\ 3&7 \\ 4 & 11 \end{bmatrix}=2,$ gdyż $\dpi{120} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2&5 \end{vmatrix}=-1\neq 0.$

Mamy $\dpi{120} rz\bar{A}=rzA=2,$ a niewiadomych w tym układzie było trzy, więc układ ma na podstawie twierdzenie Kroneckera – Capellego nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x_{1}-2x_{2}+6x_{3}=-7\\ 6x_{1}+x_{2}+8x_{3}=5\\ 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=12\\ 4x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=1 \end{matrix}\right.$

Rozwiązanie

1. Liczymy rząd macierzy rozszerzonej $\dpi{120} \bar{A}=\begin{bmatrix} 2 & -2 & 6 & -7\\ 6 & 1 & 8&5 \\ 4 & 3 & 2&12 \\ 4 & 5 & 2 & 1 \end{bmatrix}.$ Zauważmy, że $\dpi{120} w_{3}=w_{2}-w_{1}$

Zatem wiersz czwarty możemy skreślić (nie ma on wpływu na rząd macierzy). Mamy:

$\dpi{120} rz\bar{A}=rz\begin{bmatrix} 2 & -2&6 &-7 \\ 6&1 &8 & 5\\ 4& 3 & 2 & 12\\ 4 & 5 & 2 & 1 \end{bmatrix}=rz\begin{bmatrix} 2 & -2 & 6 &-7 \\ 6 & 1& 8 &5\\ 4&5 & 2 &1 \end{bmatrix}=3,$

gdyż $\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & -2 & 6\\ 6& 1 & 8\\ 4 &5 & 2 \end{vmatrix}=40\neq 0.$

2. Liczymy rząd macierzy współczynników $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 & -2 &6 \\ 6 & 1 & 8\\ 4 & 3 & 12\\ 4& 5 &1 \end{bmatrix}.$ Z wcześniejszych obliczeń wynika, że

$\dpi{120} rzA=3,$ gdyż ponownie $\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & -2 &6 \\ 6 & 1 & 8\\ 4 &5 &2 \end{vmatrix}=40\neq 0.$

3. Mamy więc, że $\dpi{120} rzA=rz\bar{A}=3$ i jest równy liczbie niewiadomych. Z twierdzenia Kroneckera – Capellego wynika, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Pamiętajmy, że twierdzenie Kroneckera – Capellego służy jedynie do stwierdzenia ilości rozwiązań układu równań.

Zadanie 2. Dla jakiej wartości parametru $\dpi{120} \large t\in \mathbb{R}$ układ równań

$\dpi{120} \large \left\{\begin{matrix} 2x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\; \; \; \; \\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}+4x_{4}=2\; \; \; \\ x_{1}+7x_{2}-4x_{3}+11x_{4}=t \end{matrix}\right.$

ma rozwiązanie?

Rozwiązanie

Zbadajmy rzędy macierzy współczynników i macierzy rozszerzonej.

$\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 2 & -1 &1 &1 \\ 1&2 &-1 &4 \\ 1 & 7 & -4 &11 \end{bmatrix}.$

Zauważmy, że $\dpi{120} w_{3}=3w_{2}-w_{1},$ zatem wiersz trzeci możemy skreślić:

$\dpi{120} rzA=rz\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 & 1\\ 1&2 & -1 & 4\\ 1 & 7& -4 & 11 \end{bmatrix}=rz\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1 &4 \end{bmatrix}=2,$ gdyż $\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 &-1 \\ 1&2 \end{vmatrix}=4+1=5\neq 0.$

Zatem $\dpi{120} rzA$ również powinien być równy 2. Stąd:

$\dpi{120} rz\bar{A}=rz\begin{bmatrix} 2 & -1&1 &1 &1 \\ 1 & 2 & -1&4 & 2\\ 1& 7& -4 & 11 &t \end{bmatrix}\overset{w_{1}\leftrightarrow w_{2}}{=}rz\begin{bmatrix} -1 & 2 & 1& 1 &1 \\ 2 & 1& -1 & 4 &2 \\ 7& 1 &-4 &11 & t \end{bmatrix}\overset{2w_{1}+w_{2}}{ \overset{7w_{1}+w_{3}}{=}}$

$\dpi{120} \overset{2w_{1}+w_{2}}{ \overset{7w_{1}+w_{3}}{=}}rz\begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 & 1 & 1\\ 0& 5 & 1 & 6 &4 \\ 0 & 15 &3 & 18 &t+7 \end{bmatrix}\overset{-3w_{2}+w_{3}}{=}rz\begin{bmatrix} -1 & 2 & 1& 1 &1 \\ 0& 5 & 1& 6 &4 \\ 0 & 0 &0 & 0 &t-5 \end{bmatrix}$

Aby rząd tej macierzy równał się 2, w trzecim wierszu muszą pojawić się same zera. Zatem dla $\dpi{120} t=5$ mamy, że $\dpi{120} rz\bar{A}=2.$ Wówczas układ ma rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Dla jakiej wartości parametru $\dpi{120} \large t\in \mathbb{R}$ układ równań

$\dpi{120} \large \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3tx_{3}=-1\\ x_{1}+x_{2}+-x_{3}=1\; \; \; \; \\ 2x_{1}+x_{2}+5x_{3}=3 \; \; \; \end{matrix}\right.$

ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Rozwiązanie

Aby powyższy układ miał nieskończenie wiele rozwiązań, powinien być spełniony warunek:

$\dpi{120} W=0,\: \: W_{1}=0,\: \: W_{2}=0,\: \: W_{3}=0,$

gdyż wtedy $\dpi{120} rzA=2$ i $\dpi{120} rz\bar{A}=2,$ ponadto liczba niewiadomych wynosi trzy. Z twierdzenia Kroneckera – Capellego mamy wtedy nieskończenie wiele rozwiązań.

Zauważmy jednak, że $\dpi{120} W_{3}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1\\ 1 & 1 &1 \\ 2 &1 &3 \end{vmatrix}=1\neq 0$ niezależnie od parametru $\dpi{120} t\in \mathbb{R}.$ Zatem układ ten dla żadnego parametru $\dpi{120} t\in \mathbb{R}.$ nie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń