Wzory Cramera (zadania) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj i poznać twierdzenie Cramera.

Zadanie 1. Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera układy równań:

a) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\; \; \; \\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}=4\: \\ 3x_{1}-x_{2}-x_{3}=5\; \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie:

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1& -1 & 2\\ 3 & -1 &-1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1\\ 1&-1 \\ 3 & -1 \end{matrix}=1+6-1+1+2+3=12\neq 0$ (układ Cramera)

Liczymy wyznaczniki $\dpi{120} W_{1},W_{2},W_{3.}$ W wyznaczniku $\dpi{120} W_{1}$ zastępujemy pierwszą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{1}=\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 4& -1 &2 \\ 5& -1 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 3 &1 \\ 4 &-1 \\ 5&-1 \end{matrix}=3+10-4+4+6+5=24.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{2}$ zastępujemy drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 1 & 3 &1 \\ 1 & 4 & 2\\ 3&5 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 3\\ 1 & 4\\ 3&5 \end{matrix}=-4+18+5+3-10-12=0.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{3}$ zastępujemy trzecią kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{3}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3\\ 1 & -1 & 4\\ 3& -1 & 5 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ 3& -1 \end{matrix}=-5+12-3-5+4+9=12.$

Wstawiamy wartości wyznaczników do wzoru Cramera:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{W_{1}}{W}=\frac{24}{12}=2\\ x_{2}=\frac{W_{2}}{W}=\frac{0}{12}=0\\ x_{3}=\frac{W_{3}}W=\frac{12}{12}=1 \end{matrix}\right..$

Jedynym rozwiązaniem układu równań jest $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=2\\ x_{2}=0\\ x_{3}=1 \end{matrix}\right..$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=2\; \; \; \\ 2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-5\\ 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=5\; \; \; \; \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie:

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2& -3& 1\\ 2 & 1 &-1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 2\\ 2&-3 \\ 2 & 1 \end{matrix}=3+4+6+4-1+18=34\neq 0$ (układ Cramera)

Liczymy wyznaczniki $\dpi{120} W_{1},W_{2},W_{3.}$ W wyznaczniku $\dpi{120} W_{1}$ zastępujemy pierwszą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{1}=\begin{vmatrix} 2 & 2 & 3\\ -5& -3 &1 \\ 5& 1 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 &2 \\ -5 &-3\\ 5&1 \end{matrix}=6+10-15-10-2+45=34.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{2}$ zastępujemy drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 1 & 2 &3\\ 2 & -5 & 1\\ 2&5 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & -5\\ 2&5 \end{matrix}=5+4+30+4-5+30=68.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{3}$ zastępujemy trzecią kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{3}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2\\ 2 & -3 & -5\\ 2& 1 & 5 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & -3\\ 2& 1 \end{matrix}=-15-20+4-20+5+12=-34.$

Wstawiamy wartości wyznaczników do wzoru Cramera:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{W_{1}}{W}=\frac{34}{34}=1\; \; \; \; \\ x_{2}=\frac{W_{2}}{W}=\frac{68}{34}=2\; \; \; \; \\ x_{3}=\frac{W_{3}}W=\frac{-34}{34}=-1 \end{matrix}\right.$

Jedynym rozwiązaniem układu równań jest $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=1\; \; \; \\ x_{2}=2\; \; \; \\ x_{3}=-1 \end{matrix}\right..$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+2x_{3}=-1\; \; \\ 2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-4\\ 4x_{1}+x_{2}+4x_{3}=-2 \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie:

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2& -1 & 2\\ 4 & 1 &4 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1\\ 2&-1 \\ 4 & 1 \end{matrix}=-4+8+4-8-2+8=6\neq 0$ (układ Cramera)

Liczymy wyznaczniki $\dpi{120} W_{1},W_{2},W_{3.}$ W wyznaczniku $\dpi{120} W_{1}$ zastępujemy pierwszą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{1}=\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2\\ -4& -1 &2 \\ -2& 1 & 4 \end{vmatrix}\begin{matrix} -1 &1 \\ -4 &-1 \\ -2&1 \end{matrix}=4-4-8+16+2-4=6.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{2}$ zastępujemy drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 1 & -1 &2 \\ 2 & -4 & 2\\ 4&-2 & 4 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & -1\\ 2 & -4\\ 4&-2 \end{matrix}=-16-8-8+8+4+32=12.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{3}$ zastępujemy trzecią kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{3}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\\ 2& -1 & -4\\ 4& 1 & -2\end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 4& 1 \end{matrix}=2-16-2+4+4-4=-12.$

Wstawiamy wartości wyznaczników do wzoru Cramera:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{W_{1}}{W}=\frac{6}{6}=1\; \; \; \; \; \; \\ x_{2}=\frac{W_{2}}{W}=\frac{12}{6}=2\; \; \; \; \; \\ x_{3}=\frac{W_{3}}W=\frac{-12}{6}=-2\end{matrix}\right.$

Jedynym rozwiązaniem układu równań jest $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=1\; \; \; \\ x_{2}=2\; \; \; \\ x_{3}=-2 \end{matrix}\right..$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=1\; \; \, \\ x_{1}+x_{2}-x_{3}=0\; \; \; \: \\ x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=6 \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie:

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1& 1 & -1\\ 1 & -2 &3 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 & 1\\ 1&1 \\ 1 & -2 \end{matrix}=6-1+2-3-4+1=1\neq 0$ (układ Cramera)

Liczymy wyznaczniki $\dpi{120} W_{1},W_{2},W_{3.}$ W wyznaczniku $\dpi{120} W_{1}$ zastępujemy pierwszą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{1}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0& 1 &-1 \\ 6& -2 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 &1 \\ 0 &1 \\ 6&-2 \end{matrix}=3-6+0-0-2+6=1.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{2}$ zastępujemy drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 2 & 1 &-1 \\ 1 & 0 & -1\\ 1&6 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 0\\ 1&6 \end{matrix}=0-1-6-3+12-0=2.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{3}$ zastępujemy trzecią kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{3}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1& -2 & 6 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 1\\ 1& -2 \end{matrix}=12+0-2-6-0-1=3.$

Wstawiamy wartości wyznaczników do wzoru Cramera:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{W_{1}}{W}=\frac{1}{1}=1\\ x_{2}=\frac{W_{2}}{W}=\frac{2}{1}=2\\ x_{3}=\frac{W_{3}}W=\frac{3}{1}=3 \end{matrix}\right..$

Jedynym rozwiązaniem układu równań jest $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=1\\ x_{2}=2\\ x_{3}=3 \end{matrix}\right..$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\; \; \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=2\; \; \\ 3x_{1}+x_{2}+x_{3}=4 \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie:

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1& -1 & 1\\ 3 & 1 &1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1\\ 1&-1 \\ 3 & 1 \end{matrix}=-1+3+1-1-1+3=4\neq 0$ (układ Cramera)

Liczymy wyznaczniki $\dpi{120} W_{1},W_{2},W_{3.}$ W wyznaczniku $\dpi{120} W_{1}$ zastępujemy pierwszą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{1}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 2& -1 &1 \\ 4& 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 &1 \\ 2 &-1 \\ 4&1 \end{matrix}=-2+4+2-2-2+4=4.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{2}$ zastępujemy drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 1 & 2 &1 \\ 1 & 2 & 1\\ 3&4 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 2\\ 1 & 2\\ 3&4 \end{matrix}=2+6+4-2-4-6=0.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{3}$ zastępujemy trzecią kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{3}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 2\\ 3& 1 & 4 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ 3& 1 \end{matrix}=-4+6+2-4-2+6=4.$

Wstawiamy wartości wyznaczników do wzoru Cramera:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{W_{1}}{W}=\frac{4}{4}=1\\ x_{2}=\frac{W_{2}}{W}=\frac{0}{4}=0\\ x_{3}=\frac{W_{3}}W=\frac{4}{4}=1 \end{matrix}\right..$

Jedynym rozwiązaniem układu równań jest $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=1\, \\ x_{2}=0\\ x_{3}=1 \end{matrix}\right..$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}-4x_{4}=3\\ -x_{2}+4x_{3}+5x_{4}=2\; \; \; \; \; \; \\ x_{1}+2x_{3}-3x_{4}=-1\; \; \; \; \; \\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=1 \end{matrix}\right..$

Rozwiązanie:

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników (częsty błąd – zwróćmy uwagę, że w układzie pewne współczynniki wynoszą zero):

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & -4\\ 0& -1 & 4 & 5\\ 1& 0 & 2 &-3 \\ 1& -1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$

Przypominamy rozwinięcie Laplace’a. Najpierw tworzymy dodatkowe zera w wyznaczniku. Wybierzmy, np. drugą kolumnę:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 &-4 \\ 0& -1 & 4 &5 \\ 1& 0 & 2 &-3 \\ 1& -1 & 2 & 2 \end{vmatrix}\overset{Iw+IIw}{=}\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & -4\\ 0+2& -1+1 & 4+1 & 5-4\\ 1 & 0 & 2 &-3 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & -4\\ 2 & 0 & 5 & 1\\ 1 & 0 & 2 & -3\\ 1& -1 &2 & 2 \end{vmatrix}\overset{Iw+IVw}{=}$

$\dpi{120} \overset{Iw+IVw}{=}\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & -4\\ 2 & 0 & 5&1 \\ 1 & 0 & 2 & -3\\ 1+2 & -1+1 & 2+1 & 2-4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & -4\\ 2& 0 & 5 & 1\\ 1& 0 &2 & -3\\ 3 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}$

Stosujemy rozwinięcie Laplace’a względem drugiej kolumny:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 &-4 \\ 2 & 0 & 5 & 1\\ 1& 0 & 2 & -3\\ 3& 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}=\overset{-1}{\overbrace{1\cdot \left ( -1 \right )^{1+2}}}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1\\ 1 & 2 &-3 \\ 3& 3 &-2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 & 5\\ 1 & 2\\ 3 & 3 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-1\cdot \left ( -8-45+3+10+18-6 \right )=28$

Liczymy wyznaczniki $\dpi{120} W_{1},W_{2},W_{3},W_{4}.$ W wyznaczniku $\dpi{120} W_{1}$ zastępujemy pierwszą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{1}=\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & -4\\ 2 & -1 & 4 &5 \\ -1& 0 & 2 & -3\\ 1 &-1 & 2 & 2 \end{vmatrix}\overset{IW+IIw}{=}\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & -4\\ 2+3& -1+1 & 4+1 & 5-4\\ -1& 0 & 2 &-3 \\ 1& -1 & 2 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1& -4\\ 5& 0 & 5 & 1\\ -1& 0 & 2 &-3 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \end{vmatrix}\overset{Iw+IVw}{=}$

$\dpi{120} \overset{Iw+IVw}{=}\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 &-4 \\ 5 & 0 & 5 & 1\\ -1& 0 & 2 &-3 \\ 1+3 & -1+1 &2+1 &2-4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 &1 & 1 & -4\\ 5& 0 &5 & 1\\ -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}=$

$\dpi{120} =\overset{-1}{\overbrace{1\cdot \left ( -1 \right )^{1+2}}}\cdot \begin{vmatrix} 5 & 5 & 1\\ -1 & 2 & -3\\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 5 &5 \\ -1 &2 \\ 4& 3 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-1\cdot \left ( -20-60-3-10+45-8 \right )=56.$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{2}$ zastępujemy drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 2 & 3 &1 &-4 \\ 0 & 2 & 4 & 5\\ 1 & -1 & 2 & -3\\ 1 & 1 &2 & 2 \end{vmatrix}$

Do tworzenia dodatkowych zer wybierzemy kolumnę pierwszą:

$\dpi{120} W_{2}=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 & -4\\ 0 & 2 & 4 & 5\\ 1& -1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}\overset{IIIw\cdot \left ( -2 \right )+Iw}{=}\begin{vmatrix} 2+1\cdot \left ( -2 \right ) & 3+\left ( -1 \right )\cdot \left ( -2 \right ) & 1+2\cdot \left ( -2 \right ) &-4+\left ( -3 \right )\cdot \left ( -2 \right ) \\ 0 & 2 & 4 &5 \\ 1& -1 & 2 &-3 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{vmatrix} 0 & 5 & -3 &2 \\ 0& 2 & 4 &5 \\ 1& -1 & 2 &-3 \\ 1& 1 &2 & 2 \end{vmatrix}\overset{IIIw\cdot \left ( -1 \right )+IVw}{=}\begin{vmatrix} 0 & 5 & -3 & 2\\ 0 & 2 & 4 & 5\\ 1 & -1 & 2 &-3 \\ 1+1\cdot \left ( -1 \right )&1+\left ( -1 \right )\cdot \left ( -1 \right ) & 2+2\cdot \left ( -1 \right ) &2+\left ( -3 \right )\cdot \left ( -1 \right ) \end{vmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{vmatrix} 0 & 5 & -3 & 2\\ 0& 2 & 4 & 5\\ 1& -1 & 2 & -3\\ 0& 2 & 0 & 5 \end{vmatrix}=\overset{1}{\overbrace{1\cdot \left ( -1 \right )^{3+1}}}\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 & 2\\ 2& 4 & 5\\ 2& 0 & 5 \end{vmatrix}\begin{matrix} 5 &-3 \\ 2 & 4\\ 2 & 0 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =100=30+0+30-0-16=84$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{3}$ zastępujemy trzecią kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{3}=\begin{vmatrix} 2 &1 & 3& -4\\ 0& -1 & 2 & 5\\ 1& 0 &-1 &-3 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}.$

Do tworzenia dodatkowych zer wybierzemy kolumnę drugą:

$\dpi{120} W_{3}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & -4\\ 0& -1 &2 & 5\\ 1& 0& -1 & -3\\ 1& -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\overset{Iw+IIw}{=}\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & -4\\ 0+2 & -1+1 & 2+3&5-4 \\ 1& 0 & -1 &-3 \\ 1 &-1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 &-4 \\ 2& 0 &5 & 1\\ 1 & 0 & -1 &-3 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\overset{Iw+IVw}{=}$

$\dpi{120} \overset{Iw+IVw}{=}\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & -4\\ 2& 0& 5 & 1\\ 1& 0 & -1 & -3\\ 1+2 & -1+1 &1+3 & 2-4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 &1 & 3 & -4\\ 2& 0 & 5 & 1\\ 1& 0 & -1 &-3 \\ 3& 0 & 4 & -2 \end{vmatrix}=$

$\dpi{120} =\overset{-1}{\overbrace{1\cdot \left ( -1 \right )^{1+2}}}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1\\ 1 &-1 &-3 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 &5 \\ 1 & -1\\ 3& 4 \end{matrix}=-1\cdot \left ( 4-45+4+10+24+3 \right )=0$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{4}$ zastępujemy czwarta kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{4}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 &3 \\ 0 & -1 & 4 & 2\\ 1 & 0 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 2 &1 \end{vmatrix}\overset{Iw+IIw}{=}\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 3\\ 0+2 & -1+1 & 4+1 &2+3 \\ 1& 0& 2 & -1\\ 1 & -1 &2 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 0 & 5& 5\\ 1 & 0 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}\overset{Iw+IVw}{=}$

$\dpi{120} \overset{Iw+IVw}{=}\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 &3 \\ 2& 0 & 5 & 5\\ 1 & 0 & 2 & -1\\ 1+2 & -1+1 &2+1 & 1+3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 &3 \\ 2 & 0 & 5 & 5\\ 1 & 0 & 2 & -1\\ 3 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}=$

$\dpi{120} =\overset{-1}{\overbrace{1\cdot \left ( -1 \right )^{1+2}}}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 & 5\\ 1& 2 &-1 \\ 3 & 3 &4 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 &5 \\ 1 &2 \\ 3 & 3 \end{matrix}=-1\cdot \left ( 16-15+15-20+6-30 \right )=28$

Wstawiamy wartości wyznaczników do wzoru Cramera:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{W_{1}}{W}=\frac{56}{28}=2\\ x_{2}=\frac{W_{2}}{W}=\frac{84}{28}=3\\ x_{3}=\frac{W_{3}}{W}=\frac{0}{28}=0\\ x_{4}=\frac{W_{4}}{W}=\frac{28}{28}=1 \end{matrix}\right.$

Jedynym rozwiązaniem układu równań jest $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=2\\ x_{2}=3\\ x_{3}=0\\ x_{4}=1 \end{matrix}\right..$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2 łączy wiadomości z liczb zespolonych z układami równań.

Zadanie 2. Rozwiązać układ równań $\dpi{120} \large \left ( z,w\in \mathbb{C} \right ):$

a) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \left ( 1+i \right )z+\left ( 2-i \right )w=2-2i\; \; \; \\ \left ( 1-i \right )z-\left ( 3+i \right )w=-3+3i \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie:

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 1+i & 2-i\\ 1-i & -\left ( 3+i \right ) \end{vmatrix}=-\left ( 1+i \right )\cdot \left ( 3+i \right )-\left ( 2-i \right )\left ( 1-i \right )=$

$\dpi{120} =-\left ( 3+i+3i+i^{2} \right )-\left ( 2-2i-i+i^{2} \right )=-3-4i+1-2+3i+1=-3-i$

Liczymy wyznaczniki $\dpi{120} W_{z},W_{w}.$ W wyznaczniku $\dpi{120} W_{z}$ zastępujemy pierwszą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{z}=\begin{vmatrix} 2-2i & 2-i\\ 1-i& -3+3i \end{vmatrix}=-\left ( 2-2i \right )\left ( 3+i \right )-\left ( 2-i \right )\left ( -3+3i \right )=$

$\dpi{120} =-\left ( 6+2i-6i-2i^{2} \right )-\left ( -6+6i+3i-3i^{2} \right )=$

$\dpi{120} =-6+4i-2+6-9i-3=-5-5i$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{w}$ zastępujemy drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{w}=\begin{vmatrix} 1+i & 2-2i\\ 1-i& -3+3i \end{vmatrix}=\left ( 1+i \right )\left ( -3+3i \right )-\left ( 2-2i \right )\left ( 1-i \right )=$

$\dpi{120} =-3+3i-3i+3i^{2}-\left ( 2-2i-2i+2i^{2} \right )=-3-3-2+4i+2=-6+4i$

Wstawiamy wartość wyznaczników do wzorów Cramera:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{W_{z}}{W}=\frac{-5-5i}{-3-i}\cdot \frac{-3+i}{-3+i}=\frac{15-5i+15i-5i^{2}}{9-i^{2}}=\frac{20+10i}{10}=2+i\\ x_{2}=\frac{W_{w}}{W}=\frac{-6+4i}{-3-i}\cdot \frac{-3+i}{-3+i}=\frac{18-6i-12i+4i^{2}}{9-i^{2}}\frac{14-18i}{10}=\frac{7}{5}-\frac{9}{5}i\; \; \end{matrix}\right.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \left ( 3-i \right )z+\left ( 4+2i \right )w=2+6i\; \; \\ \left ( 4+2i \right )z-\left ( 2+3i \right )w=5+4i \end{matrix}\right..$

Rozwiązanie:

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników:

$\dpi{120} W=\begin{vmatrix} 3-i & 4+2i\\ 4+2i & -\left ( 2+3i \right ) \end{vmatrix}=-\left ( 3-i \right )\left ( 2+3i \right )-\left ( 4+2i \right )^{2}=$

$\dpi{120} =-\left ( 6+9i-2i-3i^{2} \right )-\left ( 16+16i+4i^{2} \right )=$

$\dpi{120} =-6-7i-3-16-16i+4=-21-23i$

Liczymy wyznaczniki $\dpi{120} W_{z},W_{w}.$ W wyznaczniku $\dpi{120} W_{z}$ zastępujemy pierwszą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{z}=\begin{vmatrix} 2+6i &4+2i \\ 5+4i & -\left ( 2+3i \right ) \end{vmatrix}=-\left ( 2+6i \right )\left ( 2+3i \right )-\left ( 4+2i \right )\left ( 5+4i \right )=$

$\dpi{120} =-\left ( 4+6i+12i+18i^{2} \right )-\left ( 20+16i+10i+8i^{2} \right )=$

$\dpi{120} =14-18i-12-26i=2-44i$

W wyznaczniku $\dpi{120} W_{w}$ zastępujemy drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych:

$\dpi{120} W_{w}=\begin{vmatrix} 3-i &2+6i \\ 4+2i & 5+4i \end{vmatrix}=\left ( 3-i \right )\left ( 5+4i \right )-\left ( 2+6i \right )\left ( 4+2i \right )=$

$\dpi{120} =15+12i-5i-4i^{2}-\left ( 8+4i+24i+12i^{2} \right )=19+7i+4-28i=23-21i$

Wstawiamy wartości wyznaczników do wzorów Cramera:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{Wz}{}W=\frac{2-44i}{-21-23i}\cdot \frac{-21+23i}{-21+23i}=\frac{-42+46i+924i-1012i^{2}}{441-529i^{2}}=\frac{970+970i}{970}=1+i\\ x_{2}=\frac{W_{w}}W{=\frac{23-21i}{-21-23i}\cdot \frac{-21+23i}{-21+23i}=\frac{-483+529i+441i-483i^{2}}{970}=\frac{970i}{970}}=i\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń