DEFINICJA
Działaniem w zbiorze niepustym nazywamy każde odwzorowanie iloczyn kartezjańskiego w zbiór :
Najprostszymi przykładami działań są:
1) dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb naturalnych,
2) dodawanie, odejmowanie i mnożenie w zbiorze liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych,
3) dzielenie w zbiorach oraz .
Zauważmy, że odejmowanie nie jest działaniem w , gdyż np. Mówimy, że odejmowanie nie jest działaniem wewnętrznym. Podobnie dzielenie w , czy dzielenie w i (nie istnieje dzielenie przez 0).
Działanie określone w zbiorze nazywamy:
1) przemiennym, jeśli
2) łącznym, jeśli
DEFINICJA
Zbiór , w którym określone jest działanie , nazywamy grupą, jeśli spełnione są warunki:
1) działanie jest łączne,
2) istnieje element neutralny , tzn. taki, że
3) jeśli jest elementem neutralnym, to
Element nazywamy elementem odwrotnym do elementu .
Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek przemienności, to grupę nazywamy przemienną lub abelową.
Mówimy, że zbiór z pewnym działaniem tworzy pewną strukturę algebraiczną, w tym przypadku grupę.