Rząd macierzy – zadania

Metod liczenia rządu macierzy jest kilka. Pokażemy dwie najwygodniejsze i najkrótsze. Pierwsza niewątpliwie najkrótsza, ale wymagająca spostrzegawczości, druga nieco dłuższa z zastosowaniem rozwinięcia Laplace’a.  Pojawią się one w zadaniu 1. Zadanie 2 wymaga więcej myślenia. Badamy rząd macierzy w zależności od parametru. Pocieszenie. Bardzo rzadko na kolokwiach i egzaminach. W większości rząd macierzy nie pojawia się jako samodzielne zadanie, ale jako rachunek pomocniczy np. w twierdzeniu Kroneckera- Capellego lub w pewnych zadaniach z geometrii.

 

Zadanie 1. Wyznaczyć rzędy macierzy:

a)  \dpi{120} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 &4 \\ 0 & 1&-1 &3 \\ 2 & 5 & 1 & 11 \end{bmatrix},  (nie opuszczać tego przykładu)

b) \dpi{120} \begin{bmatrix} 1 &2 &1 &3 \\ 2& 1& 1 &1 \\ 3 &3 & 2 &4 \end{bmatrix},

c) \dpi{120} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 &1 \\ 2 & 4 & 2 & 0\\ 5& 10&-1 &3 \end{bmatrix},

d) \dpi{120} \begin{bmatrix} 377 & 259 & 481 &407 \\ 19 &133 & 247 & 209\\ 25 & 175& 325 & 275 \end{bmatrix},

e) \dpi{120} \begin{bmatrix} 1 & 1 &1 & 1\\ 2& 2&3 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -3\\ 3& 3 & 5 &-2 \end{bmatrix},

f) \dpi{120} \begin{bmatrix} 3 & 1& 1 & 4\\ 0&4 & 10 &1 \\ 1& 7 & 17 &3 \\ 2& 2 &4 &3 \end{bmatrix}  (druga metoda),

g) \dpi{120} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 &-1\\ 2 &-1 & -3 & 4\\ 5& 1 & -1 & 7\\ 7 & 7 &9 &1 \end{bmatrix}.

Zadanie 2. Wyznaczyć rząd macierzy w zależności od wartości parametru \dpi{120} \large p:

a) \dpi{120} \begin{bmatrix} 1 & p & -1& 2\\ 2&-1 & p & 5\\ 1 &10 &-6 &1 \end{bmatrix},

b) \dpi{120} \begin{bmatrix} 1 &2 & -1 &1 \\ 5 & 1 & 2& 1\\ 4&-1 & p & 0\\ 3 &p & 4 &-1 \end{bmatrix},

c) \dpi{120} \begin{bmatrix} 3+2p& 1+3p &p & p-1\\ 3p& 3+2p & p &p-1 \\ 3p &3p & 3 &p-1 \\ 3p&3p & p& p-1 \end{bmatrix}.