Rząd macierzy (teoria) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Niech $\dpi{120} A$ będzie dowolną macierzą wymiaru $\dpi{120} m\times n,\: \: k$ – dowolną liczbą naturalną mniejszą lub równą od mniejszej z liczb $\dpi{120} m, n.$ Minorem stopnia $\dpi{120} k$ macierzy $\dpi{120} A$ nazywamy wyznacznik macierzy utworzonej z elementów macierz $\dpi{120} A$ stojących na przecięciu dowolnie wybranych $\dpi{120} k$ wierszy i $\dpi{120} k$ kolumn.

Przykład

Dla danej macierzy $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 &-2 &3 &1 &0 \\ -3& 1 & 2 & 0 &2 \\ 2& 1 & 0 & 4 &-2 \\ 1 & 0 & 4 & 2 &-1 \end{bmatrix}$ utwórzmy minor stopnia $\dpi{120} 3.$ Wybierzmy przykładowo wiersze numer $\dpi{120} 1,3,4$ i kolumny numer $\dpi{120} 2,4,5.$ Wówczas szukany minor to:

$\dpi{120} \begin{vmatrix} -2 & 1 &0 \\ 1& 4 & -2\\ 0 & 2 &-1 \end{vmatrix}\begin{matrix} -2 & 1\\ 1& 4\\ 0 &2 \end{matrix}=8+0+0+1-8-0=1.$

Rzędem macierzy $\dpi{120} A$ nazywamy maksymalny stopień niezerowych minorów tej macierzy. Rząd macierzy oznaczamy $\dpi{120} rzA$ lub $\dpi{120} rangA.$

Przekształceniami elementarnymi macierzy są:

transpozycja (przestawienie) dwóch kolumn (wierszy),
pomnożenie dowolnej kolumny (wiersza) macierzy przez różną od zera liczbę rzeczywistą,
dodanie do dowolnej kolumny (wiersza) macierzy innej kolumny (wiersza) tej macierzy pomnożonej przez liczbę rzeczywistą.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy. Innymi przekształceniami nie zmieniającymi rzędu macierzy są:

skreślenie jednej z dwóch identycznych kolumn (wierszy),
skreślenie kolumny (wiersza) złożonej z samych zer.

Mamy, że:

$\dpi{120} rzA=rzA^{T}.$

Każdą macierz $\dpi{120} A_{m\times n}$ można sprowadzić do postaci diagonalnej za pomocą skończonej liczby przekształceń elementarnych. Ponadto rząd macierzy diagonalnej jest równy liczbie niezerowych elementów jej głównej przekątnej.

Zapraszamy do zadań! tutaj