Kategoria: Analiza

Całki potrójne bez współrzędnych sferycznych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Całkę potrójną po prostopadłościanie oznaczamy symbolem: Funkcja ciągła na prostopadłościanie jest na nim całkowalna. Jeżeli funkcja jest całkowalna na prostopadłościanie , to Podobnie jak w całce podwójnej kolejność całkowania można dowolnie zmieniać, jeżeli są stałe granice całkowania. Jeżeli obszarem całkowania jest inny obszar tzw. obszar normalny np. względem : to całka potrójna w tym obszarze Read more about Całki potrójne bez współrzędnych sferycznych – teoria[…]

Współrzędne biegunowe – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. Zadanie 1 jest to typowe liczenie całek podwójnych z zastosowaniem współrzędnych biegunowych. Pojawiają się tutaj standardowe obszary całkowania odpowiednie dla tego typu całek. Zadanie 2 i 3 są zastosowaniem całek podwójnych do liczenia objętości figur. Zadanie 2 trochę łatwiejsze, gdyż z zapisu figury widać zarówno obszar całkowania jak i funkcję podcałkową, potrzebne Read more about Współrzędne biegunowe – zadania[…]

Współrzędne biegunowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W przypadku, gdy obszar całkowania jest kołem, wycinkiem koła, pierścieniem lub wycinkiem pierścienia wygodnie jest nam wprowadzić tzw. współrzędne biegunowe. Można je używać również przy innych obszarach, ale te pojawiają się najczęściej na studiach. Wzory przejścia od współrzędnych do współrzędnych biegunowych : Całka podwójna we współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem: gdzie jest zbiorem wartości przyporządkowanych Read more about Współrzędne biegunowe – teoria[…]

Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 4 zadania. Są one ułożone od łatwych do trudnych. Zadanie 1 ”przyzwyczaja” nas do dwóch zmiennych i do kolejności całkowania. Zadanie 2 to właściwie to samo co w zadaniu 1, ale inaczej sformułowane polecenie. Nie wymaga rysowania obszaru całkowania. W zadaniu 3 bardzo ważny jest poprawny wykres obszaru całkowania, z którego najczęściej możemy odczytać Read more about Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – zadania[…]

Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Całkę podwójną w prostokącie  z kolejnością całkowania najpierw względem , potem względem oznaczamy symbolem: lub częściej bez użycia nawiasów Możemy również liczyć całkę podwójną z przeciwną kolejnością całkowania: Całka podwójna w obszarze to: lub w obszarze  to: Zapraszamy do zadań! tutaj  

Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. W zadaniu 1 uczymy się rozwiązywać równania jednorodne rzędu II. Chociaż w podpunkcie 8 i 9 tego zadania pojawiają się równania wyższego rzędu. Warto zobaczyć, gdyż nie jest to nic skomplikowanego. W zadaniu 2 dołożony jest warunek początkowy, ale dalej ćwiczymy rozwiązywanie równań jednorodnych. Zadanie 3 to już pełne równanie rzędu II Read more about Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach – zadania[…]

Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach- teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach to równanie postaci: I krok Aby rozwiązać powyższe równanie w pierwszym kroku należy rozwiązać równanie jednorodne, czyli takie, którego prawa strona jest równa zero: Schemat w dalszej części. Otrzymujemy rozwiązanie . II krok Następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne metodą przewidywań. III krok Rozwiązanie końcowe równania ma postać: Schemat rozwiązania Read more about Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach- teoria[…]

Równania liniowe – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. Pierwsze zadanie jest zastosowaniem metody przewidywań. Wszystkie podpunkty są ważne, gdyż w każdym z nich pojawia się nowa ważna rzecz. Prosimy nie opuszczać żadnego. Zadanie 2 to wykorzystywane kolejne dwie metody: uzmiennienia stałej i czynnika całkującego. Podpunkt pierwszy rozwiązujemy oboma metodami (dla porównania). Następne na przemian tymi metodami. Proponujemy nauczenie się jednej Read more about Równania liniowe – zadania[…]

Równania liniowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Równanie różniczkowe liniowe rzędu I jest to równanie postaci: Poznamy trzy metody rozwiązywania tego typu równań: 1) metoda przewidywań, 2) metoda uzmiennienia stałej, 3) metoda czynnika całkującego. Metoda przewidywań nie jest metodą ogólną. Rozwiązuje tylko pewne równania liniowe. Są one postaci: gdzie jest pewną stałą (nie funkcją) rzeczywistą, a funkcja ma jedną z postaci: a) Read more about Równania liniowe – teoria[…]