DEFINICJA Działaniem w zbiorze niepustym nazywamy każde odwzorowanie iloczyn kartezjańskiego w zbiór : Najprostszymi przykładami działań są: 1) dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb naturalnych, 2) dodawanie, odejmowanie i mnożenie w zbiorze liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, 3) dzielenie w zbiorach oraz . Zauważmy, że odejmowanie nie jest działaniem w , gdyż np. Mówimy, że Read more about Grupy – teoria[…]
Przed przystąpieniem do tego tematu należy umieć liczyć rzędy macierzy tutaj oraz znać metodę wyznacznikową rozwiązywania układów równań tutaj. Zadanie 1. Korzystając z twierdzenia Kroneckera – Capellego, wyznaczyć liczbę rozwiązań układów równań (można wyznaczyć również rozwiązania, korzystając z innych metod, będzie to pokazane w przykładach a), b), c)): a) b) c) d) e) f) Pamiętajmy, Read more about Twierdzenie Kroneckera – Capellego – zadania[…]
Niech będzie dany układ równań Macierzą rozszerzoną tego układu równań nazywamy macierz: Przypomnijmy,macierz współczynników oznaczyliśmy jako: Podstawowym kryterium istnienia rozwiązania takiego układu równań jest TWIERDZENIE KRONECKERA – CAPELLEGO Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy przy czym jeżeli: to układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie), to układ jest nieoznaczony (ma Read more about Twierdzenie Kroneckera-Capellego – teoria[…]
W temacie tym nie mamy zakładki Teoria, gdyż metodę eliminacji Gaussa (metoda przekształceń elementarnych) najlepiej tłumaczyć na przykładach. Metoda ta pozwala na rozwiązanie zarówno układów cramerowskich, jak również ogólnych układów, w których poprzednio stosowaliśmy twierdzenie Kroneckera-Capellego tutaj. U podstaw tej metody leżą przekształcenia elementarne, które wykonane na równaniach układu, prowadzą do układu równoważnego z wyjściowym Read more about Metoda eliminacji Gaussa – zadania[…]
Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się ze schematami rozwiązań przedstawionych w zakładce Wzory. tutaj Mamy pięć zadań. W pierwszym pojawiają się równania wykorzystujące wcześniejsze pojęcia z liczb zespolonych. W drugim rozwiązujemy równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, w trzecim równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych, zaś kolejne to równania wyższych stopni. Zadanie 1. Rozwiązać równania: 1) Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – zadania[…]
Równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych Algorytm rozwiązania: 1. Liczymy Dostajemy liczbę rzeczywistą. Jeżeli: a) , rozwiązaniami są liczby rzeczywiste. Liczymy jak w szkole. Koniec zadania. b) , szukamy rozwiązań zespolonych. Przechodzimy do dalszych punktów. 2. Wyróżnik ma wówczas postać: Zapisujemy go jako 3. Obliczamy 4. Obliczamy pierwiastki ze wzorów: Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – wzory[…]
RÓWNANIA STOPNIA DRUGIEGO o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy standardowo, tzn. obliczamy wyróżnik (deltę) i stosujemy znane ze szkoły wzory na pierwiastki równania kwadratowego W szkole uczono, że gdy to rozwiązań brak. Jest to prawda w liczbach rzeczywistych. My, już wiemy, że w liczbach zespolonych istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Zatem równanie kwadratowe ma zawsze dwa Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – teoria[…]
Postać trygonometryczna liczb zespolonych jest szczególnie przydatna przy podnoszeniu liczby zespolonej do potęgi i obliczaniu pierwiastka tej liczby. Wróćmy do wzoru. Podstawmy , otrzymujemy: Uogólnijmy powyższy wzór (indukcja matematyczna) na dowolną liczbę czynników. Otrzymujemy wzór na n-tą (n – liczba naturalna) potęgę liczby zespolonej zwany wzorem de Moivre’a: Zapraszamy do zadań! tutaj
Polecamy zajrzeć do zakładki Wzory tutaj, gdzie znajdziemy wszystkie potrzebne wzory, jak również algorytm na potęgowanie liczb zespolonych. Zadanie 1. Korzystając ze wzoru de Moivre’a, obliczyć: Wykorzystujemy wzór: b) e) f) g) h) i)
Wzór de Moivre’a: Fakty potrzebne do potęgowania liczb zespolonych: 1) funkcje sinus oraz cosinus są okresowe o okresie 2) wzory redukcyjne (minimalny zestaw): 3) wszystkie wiadomości z zakładki Wzory – postać trygonometryczna liczby zespolonej Algorytm podnoszenia liczby zespolonej do potęgi Zapraszamy do zadań! tutaj