Kategoria: Algebra

Podstawowe działania na macierzach – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech . Prostokątną tablicę utworzoną z liczb rzeczywistych (zespolonych)    dla  nazywamy rzeczywistą (zespoloną) macierzą prostokątną o wymiarze  Elementy  nazywamy wyrazami macierzy. Rzędy pionowe nazywamy kolumnami, zaś poziomie – wierszami tej macierzy. Symbol  jest to element stojący na przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny. Macierze oznaczamy wielkimi literami alfabetu:  . Zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych (zespolonych)  (-wierszy, -kolumn) będziemy Read more about Podstawowe działania na macierzach – teoria[…]

Wyznacznik macierzy – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Oznaczamy przez  zbiór macierzy kwadratowych stopnia o wyrazach rzeczywistych. Macierz  zapiszmy w postaci ciągu jej kolumn: ,    gdzie    Wyznacznik macierzy jest to funkcja przyporządkowująca tej macierzy pewną liczbę rzeczywistą. Będziemy go oznaczać   lub DEFINICJA Wyznacznikiem stopnia macierzy nazywamy funkcję spełniającą następujące warunki: 1. det det det 2. det  det 3.  det 4. det W definicji Read more about Wyznacznik macierzy – teoria[…]

Wyznacznik macierzy – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 7 zadań. Zadanie 1 i 2 dotyczą wyznaczników macierzy 2 i 3 stopnia. Liczymy je bez użycia rozwinięcia Laplace’a (metodą Sarrusa). W zadaniu 2 wyznaczniki są ”włożone” w równanie bądź nierówność. W zadaniu 3 wkracza rozwinięcie Laplace’a. Kolejność podpunktów w zadaniu jest bardzo istotna. Zaczynamy od przykładów łatwych, kończymy na przykładzie dosyć długim. Prosimy Read more about Wyznacznik macierzy – zadania[…]

Macierz odwrotna – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dla danej macierzy kwadratowej macierz jest macierzą odwrotną do , jeśli Wyraża się ona wzorem: gdzie oznacza dopełnienie algebraiczne elementu macierzy Macierz odwrotna istnieje tylko do macierzy o wyznaczniku różnym od zera. Dopełnienie algebraiczne (występowało już w rozwinięciu Laplace’a): Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy  jest iloczynem dwóch czynników: 1.   wskaźniki mówiące na przecięciu którego wiersza i kolumny Read more about Macierz odwrotna – wzory[…]

Macierz odwrotna – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

We wcześniejszych tematach pojawiły się już równania macierzowe, ale macierze w nich występujące były najczęściej wymiaru . Zwiększenie wymiaru macierzy oraz zastosowanie poprzedniej metody rozwiązywania równań byłoby bardzo nieefektywne. Wprowadzenie macierzy odwrotnej znacznie uprości rachunki. Niech  Jeśli istnieje macierz  taka, że: gdzie – macierz jednostkowa stopnia , to macierz jest elementem odwrotnym do macierzy względem Read more about Macierz odwrotna – teoria[…]

Macierz odwrotna – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 5 zadań. Zadanie 1 jest typowym liczeniem macierzy odwrotnej według schematu. W zadaniu 2 rozwiązujemy równania macierzowe, a więc stosujemy macierz odwrotną w praktyce. Jest to częste zadanie na kolokwiach czy egzaminach. Zadanie 4 i 5 są mniej standardowe. Wykorzystujemy w nich pewne własności wyznacznika i macierzy odwrotnych, bez wykorzystania rachunków jak we wcześniejszych Read more about Macierz odwrotna – zadania[…]

Ogólne wiadomości o układach równań – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Układ równań postaci gdzie  dla nazywamy układem równań liniowych. Liczby nazywamy współczynnikami układu równań, zaś wyrazami wolnymi. Macierz utworzona ze współczynników przy niewiadomych nazywamy macierzą współczynników (macierzą układu). Układ równań, w którym nazywamy układem jednorodnym. Rozwiązaniem układu równań nazywamy ciąg liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań liniowych może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań Read more about Ogólne wiadomości o układach równań – teoria[…]

Metoda wyznacznikowa – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Układ równań liniowych, w którym  (liczba równań jest równa liczbie niewiadomych) oraz  nazywa się układem Cramera lub układem cramerowskim. Zatem układ cramerowski to układ postaci: i taki, że  TWIERDZENIE CRAMERA (wzory Cramera) Układ Cramera równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami:         (wzory Cramera) gdzie  oznacza wyznacznik macierzy współczynników, zaś jest wyznacznikiem macierzy Read more about Metoda wyznacznikowa – teoria[…]