Wyznacznik macierzy (wzory) - WYZNACZNIK

Wyznaczniki liczymy tylko z macierzy kwadratowych !!!

Dla danej macierzy $\dpi{120} A\in M_{n}(\mathbb{R})$ wyznacznik $\dpi{120} \det A$ jest równy:

dla $\dpi{120} n=1$ mamy $\dpi{120} \det A=\det \left [ a_{11} \right ]=a_{11},$

dla $\dpi{120} n=2$ $\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$

np. $\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & -3\\ -1& 5 \end{vmatrix}=2\cdot 5-(-3)\cdot (-1)=10-3=7$

dla $\dpi{120} n=3$ najczęstszą metodą liczenia wyznaczników jest tzw. metoda Sarrusa:

$metoda Sarrussa$ (dopisujemy za macierzą dwie pierwsze kolumny)

$\dpi{120} =a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}$

Tworzymy przekątne: trzy w prawą stronę zaczynając od $\dpi{120} a_{11},$ dalej od $\dpi{120} a_{12}$ i od $\dpi{120} a_{13}$ . Mnożymy elementy każdej przekątnej, a następnie je sumujemy. Następnie, trzy przekątne w lewą stronę poczynając od $\dpi{120} a_{12}$ , $\dpi{120} a_{11}$ i $\dpi{120} a_{13}.$ Mnożymy elementy na przekątnych. Zmieniamy znaki w trzech ostatnich iloczynach i je sumujemy.

np.

$\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 &-1 &1 \\ 0 & 4 &-2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 & -1\\ 0& 4\\ 1 & 2 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =2\cdot 4\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)\cdot 1+1\cdot 0\cdot 2-(-1)\cdot 0\cdot (-1)-2\cdot (-2)\cdot 2-1\cdot 4\cdot 1=$

$\dpi{120} =-8+2+0-0+8-4=-2$

Metodę Sarrusa stosujemy tylko do wyznaczników macierzy stopnia 3 !!!

Rozwinięcie Laplace’a dokładnie omówione w zadaniach tutaj, na konkretnych przykładach. Pamiętajmy, można go stosować również do wyznaczników macierzy stopnia 2 i 3.

Zapraszamy do zadań! tutaj