Podstawowe działania na macierzach – teoria

Niech \dpi{120} m,n\in \mathbb{N}. Prostokątną tablicę

macierz prostokątna

utworzoną z liczb rzeczywistych (zespolonych)  \dpi{120} a_{ij}  dla \dpi{120} i=1,...,m ,\; j=1,...,n nazywamy rzeczywistą (zespoloną) macierzą prostokątną o wymiarze \dpi{120} m\times n Elementy \dpi{120} a_{ij} nazywamy wyrazami macierzy. Rzędy pionowe nazywamy kolumnami, zaś poziomie – wierszami tej macierzy. Symbol  \dpi{120} a_{ij} jest to element stojący na przecięciu \dpi{120} i-tego wiersza oraz \dpi{120} j-tej kolumny. Macierze oznaczamy wielkimi literami alfabetu: \dpi{120} A,B,C... . Zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych (zespolonych) \dpi{120} m\times n (\dpi{120} m-wierszy, \dpi{120} n-kolumn) będziemy oznaczali \dpi{120} M_{m\times n}(R) (\dpi{120} M_{m\times n}(C) ).

Rodzaje macierzy:

1. macierz kwadratowa stopnia \dpi{120} n – macierz, w której ilość wierszy równa jest ilości kolumn, czyli \dpi{120} m=n.

macierz kwadratowa

Elementy \dpi{120} a_{ii}, \dpi{120} i=1,2,...,n, tzn. \dpi{120} \left (a_{11},a_{22},...,a_{nn} \right ) tworzą główną przekątną macierzy. Sumę tych wyrazów czyli \dpi{120} a_{11}+a_{22}+...+a_{nn} nazywamy śladem macierzy i oznaczamy \dpi{120} tr(A).

2. macierz trójkątna dolna (górna) – macierz kwadratowa stopnia \dpi{120} n\geqslant 2, w której wszystkie elementy leżące nad (pod) główną przekątną są równe 0.

macierz trójkątna

3. macierz diagonalna – macierz kwadratowa stopnia \dpi{120} n, w której wszystkie wyrazy znajdujące się poza główną przekątną są równe 0.

macierz diagonalnaO macierzy diagonalnej można również mówić dla macierzy prostokątnych.

4. macierz jednostkowa – macierz diagonalna stopnia \dpi{120} n, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1. Oznaczamy ją \dpi{120} I.

macierz jednostkowa

5. macierz zerowa – macierz wymiaru \dpi{120} m\times n, w której elementy równe są 0. Oznaczamy ją \dpi{120} O.

macierz zerowa

Dwie macierze \dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n} i \dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{m'\times n'} są równe, gdy mają ten sam wymiar, tzn. \dpi{120} m=m'  i  \dpi{120} n=n'  oraz elementy obu macierzy znajdujące się na tych samych miejscach są sobie równe, czyli  \dpi{120} a_{ij}=b_{ij}  dla dowolnych \dpi{120} i=1,2,...,m,\; j=1,2,...,n.

W zbiorze macierzy określamy podstawowe działania: transponowanie, dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą  \dpi{120} \alpha,  mnożenie macierzy. Zapamiętajmy, nie istnieje dzielenie macierzy. 

  • Transponowanie macierzy

Macierzą transponowaną do macierzy  \dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}  nazywamy macierz \dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{n\times m} określoną wzorem  \dpi{120} b_{ij}=a_{ij}  dla   \dpi{120} i=1,2,...,m,j=1,2,...,n. Piszemy wówczas

\dpi{120} B=A^{T}

Transponowanie macierzy polega zatem na zamianie wierszy z kolumnami w danej macierzy.

  • Dodawanie i odejmowanie macierzy

Sumą (różnicą) macierzy   \dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}   i   \dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{m\times n}    nazywamy macierz   \dpi{120} C=\left [ c_{ij} \right ]_{m\times n},  której elementy określone są jako   \dpi{120} c_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}   dla \dpi{120} i=1,2,...,m,\; j=1,2,...,n.   A więc

\dpi{120} C=\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} & ... &c_{1n} \\ c_{21} &c_{22} & ... &c_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ c_{m1}& c_{m2} & ... & c_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} & ... &a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21 }\pm b_{21} &a_{22} \pm b_{22} &... &a_{2n}\pm b_{2n} \\ \vdots & &\ddots \ & \\ a_{m1}\pm b_{m1}&a_{m2 }\pm b_{m2} &... & a_{mn}\pm b_{mn} \end{bmatrix}  \dpi{120} =A\pm B

Dodawać i odejmować możemy jedynie macierze tych samych wymiarów.

  • Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą \dpi{120} \alpha

Iloczynem macierzy   \dpi{120} A=\left \left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}    przez liczbę   \dpi{120} \alpha \, \in \, R   nazywamy macierz   \dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{m\times n}, której elementy określamy jako   \dpi{120} b_{ij}=\alpha \cdot a_{ij}  dla   \dpi{120} i=1,2,...,m,\; j=1,2,...,n.  Mamy zatem

\dpi{120} B=\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} & ... &b_{1n} \\ b_{21}&b_{22} &... & b_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \\ b_{m1} &b_{m2} &... & b_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha \cdot a_{11} & \alpha \cdot a_{12} & ... &\alpha \cdot a_{1n} \\ \alpha \cdot a_{21}& \alpha \cdot a_{22} &... & \alpha \cdot a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \\ \alpha \cdot a_{m1}&\alpha \cdot a_{m2} & ... & \alpha \cdot a_{mn} \end{bmatrix}=\alpha \cdot A

  • Mnożenie macierzy

Iloczynem macierzy  \dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}  i   \dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{n\times k}   nazywamy macierz   \dpi{120} C=\left [ c_{ij} \right ]_{m\times k}, której elementy określa wzór

mnożenie macierzy   dla   \dpi{120} i=1,2,...,k.

Iloczyn macierzy \dpi{120} A\cdot B jest wykonalny, gdy ilość kolumn macierzy \dpi{120} A jest taka sama jak ilość wierszy macierzy \dpi{120} B.

Podstawowe własności działań na macierzach:

Załóżmy, że macierze \dpi{120} A,B,C są takie, aby działania na nich przeprowadzane były wykonalne.

Wówczas zachodzi:

1. Przemienność dodawania:

\dpi{120} A+B=B+A.

    Mnożenie macierzy nie jest przemienne. Nie wyklucza to istnienia macierzy \dpi{120} A,B  takich, że \dpi{120} A\cdot B= B\cdot A

2. Łączność dodawania i mnożenia:

\dpi{120} \left (A+B \right )+C=A+\left ( B+C \right )

\dpi{120} \left (A\cdot B \right )\cdot C=A\cdot \left ( B\cdot C \right )

3. Rozdzielność mnożenia względem dodawania:

\dpi{120} \left ( B+C \right )\cdot A=B\cdot A+C\cdot A,

\dpi{120} A\cdot \left ( B+C \right )=A\cdot B+A\cdot C.

4.  \dpi{120} \alpha \cdot \left (A\cdot B \right )=\left ( \alpha \cdot A \right )\cdot B=A\cdot \left ( \alpha \cdot B \right )    dla   \dpi{120} \alpha \in R.

5.  \dpi{120} \alpha \cdot \left ( A +B \right )=\alpha \cdot A+\alpha \cdot B   dla   \dpi{120} \alpha \in R.

6.  \dpi{120} A\cdot I=I\cdot A=A.

7.  \dpi{120} (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.

8.   \dpi{120} \left ( A\cdot B \right )^{T}=B^{T}\cdot A^{T},

9.   \dpi{120} \left ( A^{T} \right )^{T}=A.

Zapraszamy do zadań! tutaj