Kategoria: Zadania

Wzajemne położenie płaszczyzn – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. Wykorzystujemy w nich wzory na odległość płaszczyzn równoległych, kąt miedzy płaszczyznami. Patrz zakładka Wzory tutaj lub Teoria tutaj. W zadaniu 3 mamy pośrednio pokazane jak przejść od postaci parametrycznej równania płaszczyzny do postaci ogólnej równania płaszczyzny. Cały czas potrzebna jest wiedza dotycząca iloczynu wektorowego i skalarnego. tutaj   Zadanie 1. Obliczyć odległość płaszczyzn Read more about Wzajemne położenie płaszczyzn – zadania[…]

Prosta w przestrzeni – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 4 zadania. Podobnie jak w zadaniach dotyczących płaszczyzn, podstawą jest poprawne zastosowanie iloczynu wektorowego. Rada: zawsze zacznijmy od zastanowienia się, które wektory są do siebie prostopadłe. Warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj.   Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty  i : Zadanie 2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt  i  prostopadłej do Read more about Prosta w przestrzeni – zadania[…]

Płaszczyzna w przestrzeni – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 5 zadań. W każdym z nich mamy napisać równanie płaszczyzny mając różne dane. Podstawą jest umiejętność liczenia iloczynu wektorowego. Patrz tutaj. Pamiętajmy,  że wektor powstały w wyniku iloczynu wektorowego jest prostopadły do składowych tego iloczynu. Prosimy zajrzeć do zakładki Teoria tutaj, gdzie podane są podstawowe postaci prostych.   Zadanie 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej Read more about Płaszczyzna w przestrzeni – zadania[…]

Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W temacie tym mamy 15 zadań. 6 pierwszych zadań dotyczy iloczynu skalarnego.  Dwa pierwsze są bardzo łatwe i uczymy się w nich zastosowania podstawowych wzorów. Zadania 3 i 4 wykorzystują ważną własność iloczynu skalarnego, a mianowicie: wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Pozostałe dwa zadania są zastosowaniem pewnych innych własności iloczynu Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – zadania[…]

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 4 zadania. Zadania 1 i 2 dotyczą pojęcia bazy i wykorzystują niezależność liniową wektorów wchodzących w skład bazy.  Są bardzo proste. W zadaniu 3 i 4 zapisujemy wektory w różnych bazach. Podstawą jest tutaj znajomość pojęcia kombinacji liniowej wektorów. Zadania nie są również skomplikowane.   Zadanie 1. Zbadać, czy dane wektory tworzą bazę przestrzeni Read more about Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – zadania[…]

Liniowa niezależność wektorów – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 5 zadań. Dwa pierwsze są przypomnieniem działań na wektorach. Zadanie 3 bada niezależność wektorów w przypadku, gdy ilość wektorów jest zgodna z wymiarem przestrzeni. Jest to bardzo proste sprawdzenie. W zadaniu 4 również badamy niezależność wektorów, ale  ilość wektorów jest różna od wymiaru przestrzeni, co uniemożliwia zastosowanie poprzedniej metody. Zadanie nieco trudniejsze. Zadanie ostatnie Read more about Liniowa niezależność wektorów – zadania[…]

Pola i objętości figur obrotowych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy tu tylko 5 przykładów, ale są to przykłady dosyć długie. Właściwie nie ma w tym temacie zadań krótkich. Wykorzystuje się tutaj całą dotychczasową wiedzę na temat całek. Używamy w rozwiązaniach gotowych wzorów, aby rozwiązania nie były tak długie. Raczej nie na kolokwia i egzaminy. Ewentualnie może się trafić liczenie objętości brył, jako najkrótsze z Read more about Pola i objętości figur obrotowych – zadania[…]

Całki niewłaściwe – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 2 zadania. Prosimy o wcześniejsze zapoznanie się z zakładką Teoria tutaj. W pierwszym zadaniu liczymy całki w granicach których występuje , zaś w zadaniu drugim niewłaściwość jest innego rodzaju. Jest ono bardzo podchwytliwe, gdyż całki w nim występujące wyglądają jak zwykłe całki oznaczone.   Zadanie 1. Obliczyć całki niewłaściwe I rodzaju: 7)   Zadanie Read more about Całki niewłaściwe – zadania[…]

Całka oznaczona jako pole obszaru – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 2 zadania. Zadanie 1 jest liczeniem całek oznaczonych. W rzeczywistości jest to powtórka z liczenia całek nieoznaczonych. Mając całkę nieoznaczoną, obliczenie całki oznaczonej jest bardzo proste i sprowadza się do wstawienia dwóch liczb: granicy dolnej i górnej całki. Zadanie 2 to podstawowe zastosowanie całki oznaczonej do liczenia pól obszarów ograniczonych pewnymi krzywymi. Patrz zakładka Read more about Całka oznaczona jako pole obszaru – zadania[…]

Równania w dziedzinie zespolonej – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się ze schematami rozwiązań przedstawionych w zakładce Wzory. tutaj Mamy pięć zadań. W pierwszym pojawiają się równania wykorzystujące wcześniejsze pojęcia z liczb zespolonych. W drugim rozwiązujemy równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, w trzecim równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych, zaś kolejne to równania wyższych stopni. Zadanie 1. Rozwiązać równania: 1)  Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – zadania[…]