Wyznaczniki liczymy tylko z macierzy kwadratowych !!! Dla danej macierzy wyznacznik jest równy: dla mamy dla np. dla najczęstszą metodą liczenia wyznaczników jest tzw. metoda Sarrusa: (dopisujemy za macierzą dwie Read more about Wyznacznik macierzy – wzory[…]
Mamy 7 zadań. Zadanie 1 i 2 dotyczą wyznaczników macierzy 2 i 3 stopnia. Liczymy je bez użycia rozwinięcia Laplace’a (metodą Sarrusa). W zadaniu 2 wyznaczniki są ”włożone” w równanie bądź nierówność. W zadaniu 3 wkracza rozwinięcie Laplace’a. Kolejność podpunktów w zadaniu jest bardzo istotna. Zaczynamy od przykładów łatwych, kończymy na przykładzie dosyć długim. Prosimy Read more about Wyznacznik macierzy – zadania[…]
Dla danej macierzy kwadratowej macierz jest macierzą odwrotną do , jeśli Wyraża się ona wzorem: gdzie oznacza dopełnienie algebraiczne elementu macierzy Macierz odwrotna istnieje tylko do macierzy o wyznaczniku różnym od zera. Dopełnienie algebraiczne (występowało już w rozwinięciu Laplace’a): Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy jest iloczynem dwóch czynników: 1. wskaźniki mówiące na przecięciu którego wiersza i kolumny Read more about Macierz odwrotna – wzory[…]
We wcześniejszych tematach pojawiły się już równania macierzowe, ale macierze w nich występujące były najczęściej wymiaru . Zwiększenie wymiaru macierzy oraz zastosowanie poprzedniej metody rozwiązywania równań byłoby bardzo nieefektywne. Wprowadzenie macierzy odwrotnej znacznie uprości rachunki. Niech Jeśli istnieje macierz taka, że: gdzie – macierz jednostkowa stopnia , to macierz jest elementem odwrotnym do macierzy względem Read more about Macierz odwrotna – teoria[…]
Mamy 5 zadań. Zadanie 1 jest typowym liczeniem macierzy odwrotnej według schematu. W zadaniu 2 rozwiązujemy równania macierzowe, a więc stosujemy macierz odwrotną w praktyce. Jest to częste zadanie na kolokwiach czy egzaminach. Zadanie 4 i 5 są mniej standardowe. Wykorzystujemy w nich pewne własności wyznacznika i macierzy odwrotnych, bez wykorzystania rachunków jak we wcześniejszych Read more about Macierz odwrotna – zadania[…]
Układ równań postaci gdzie dla nazywamy układem równań liniowych. Liczby nazywamy współczynnikami układu równań, zaś wyrazami wolnymi. Macierz utworzona ze współczynników przy niewiadomych nazywamy macierzą współczynników (macierzą układu). Układ równań, w którym nazywamy układem jednorodnym. Rozwiązaniem układu równań nazywamy ciąg liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań liniowych może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań Read more about Ogólne wiadomości o układach równań – teoria[…]
Układ równań liniowych, w którym (liczba równań jest równa liczbie niewiadomych) oraz nazywa się układem Cramera lub układem cramerowskim. Zatem układ cramerowski to układ postaci: i taki, że TWIERDZENIE CRAMERA (wzory Cramera) Układ Cramera równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami: (wzory Cramera) gdzie oznacza wyznacznik macierzy współczynników, zaś jest wyznacznikiem macierzy Read more about Metoda wyznacznikowa – teoria[…]
Warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj i poznać twierdzenie Cramera. Zadanie 1. Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera układy równań: a) b) c) d) e) f) Zadanie 2 łączy wiadomości z liczb zespolonych z układami równań. Zadanie 2. Rozwiązać układ równań a) b)
Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się z zakładką Teoria tutaj. Zadanie 1. Zapisać układy równań w postaci macierzowej, a następnie rozwiązać je metodą macierzową: a) b) c) d) zwrócić uwagę na ten przykład e) f)
Układ równań liniowych Cramera zapisany w postaci algebraicznej możemy przedstawić w postaci macierzowej Wprowadźmy oznaczenia Wówczas otrzymamy równanie macierzowe Przekształcając je dostajemy: Jest to tzw. metoda macierzowa rozwiązywania układów równań Cramera. Zapraszamy do zadań! tutaj