Działania na zbiorach, teoria - WYZNACZNIK

Sumą zbiorów $\dpi{120} A$ i $\dpi{120} B$ nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru $\dpi{120} A$ lub należą do zbioru $\dpi{120} B$ . Oznaczamy $\dpi{120} A\cup B$ . Zatem:

$\dpi{120} A\cup B=\left \{ x:x\in A\; \vee \: x\in B \right \}$

Iloczynem zbiorów (częścią wspólną) $\dpi{120} A$ i $\dpi{120} B$ nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru $\dpi{120} A$ i należą do zbioru $\dpi{120} B$ . Oznaczamy $\dpi{120} A\cap B$ . Zatem:

$\dpi{120} A\cap B=\left \{ x:x\in A\; \wedge \: x\in B \right \}$

Różnicą zbiorów $\dpi{120} A$ i $\dpi{120} B$ nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru $\dpi{120} A$ i nie należą do zbioru $\dpi{120} B$ . Oznaczamy $\dpi{120} A\setminus B$ . Zatem:

$\dpi{120} A\setminus B=\left \{ x:x\in A\; \wedge \: x\notin B \right \}$

Różnica symetryczna zbiorów $\dpi{120} A$ i $\dpi{120} B$ :

$\dpi{120} A\div B=\left ( A\setminus B \right )\cup \left ( B\setminus A \right )$

Własności działań na zbiorach:

1) prawo przemienności sumy (iloczynu) zbiorów

a) $\dpi{120} A\cup B=B\cup A$

b) $\dpi{120} A\cap B=B\cap A$

2) prawo łączności sumy (iloczynu) zbiorów

a) $\dpi{120} \left (A\cup B \right )\cup C=A\cup \left (B\cup C \right )$

b) $\dpi{120} \left (A\cap B \right )\cap C=A\cap \left (B\cap C \right )$

3) prawo rozdzielności iloczynu zbiorów względem sumy zbiorów

$\dpi{120} A\cap \left ( B\cup C \right )=\left ( A\cap B \right )\cup \left ( A\cap C \right )$

4) prawo rozdzielności sumy zbiorów względem iloczynu zbiorów

$\dpi{120} A\cup \left ( B\cap C \right )=\left ( A\cup B \right )\cap \left ( A\cup C \right )$

Kwantyfikatory:

1) ogólny – $\dpi{120} \forall x\in X,\Phi \left ( x \right )$ – czyt. dla każdego $\dpi{120} x\in X$ spełniona jest funkcja zdaniowa $\dpi{120} \Phi\left ( x \right )$

2) szczegółowy – $\dpi{120} \exists \: x\in X,\Phi \left ( x \right )$ – czyt. istnieje $\dpi{120} x\in X$ , dla którego spełniona jest funkcja zdaniowa $\dpi{120} \Phi\left ( x \right )$

Tautologie rachunku kwantyfikatorów:

1) $\dpi{120} \exists x, \left [\Phi \left ( x \right )\vee \Psi \left ( x \right ) \right ] \Leftrightarrow \left (\exists \: x,\Phi \left ( x \right )\vee \exists \: x,\Psi \left ( x \right ) \right )$

2) $\dpi{120} \exists x, \left [\Phi \left ( x \right )\wedge \Psi \left ( x \right ) \right ] \Leftrightarrow \left (\exists \: x,\Phi \left ( x \right )\wedge \exists \: x,\Psi \left ( x \right ) \right )$

3) $\dpi{120} \forall x, \left [\Phi \left ( x \right )\wedge \Psi \left ( x \right ) \right ] \Leftrightarrow \left (\forall \: x,\Phi \left ( x \right )\wedge \forall \: x,\Psi \left ( x \right ) \right )$

4) $\dpi{120} \forall x, \left [\Phi \left ( x \right )\vee \Psi \left ( x \right ) \right ] \Rightarrow \left (\forall \: x,\Phi \left ( x \right )\vee \forall \: x,\Psi \left ( x \right ) \right )$

5) $\dpi{120} \sim \forall x,\Phi \left ( x \right )\Leftrightarrow \exists x,\sim \Phi \left ( x \right )$

6) $\dpi{120} \sim \exists \: x,\Phi \left ( x \right )\Leftrightarrow \forall x,\sim \Phi \left ( x \right )$

Uogólnioną sumą zbiorów rodziny $\dpi{120} \left \{ A_{t} \right \}_{t\in T}$ nazywamy zbiór tych elementów, które należą co najmniej do jednego ze zbiorów rodziny.

$\dpi{120} \underset{t\in T}{\bigcup }A_{t}=\left \{ x:\exists \: t\in T,x\in A_{t}\right \}$

Uogólnionym iloczynem zbiorów rodziny $\dpi{120} \left \{ A_{t} \right \}_{t\in T}$ nazywamy zbiór tych elementów, które należą do każdego ze zbiorów tej rodziny.

$\dpi{120} \underset{t\in T}{\bigcap }A_{t}=\left \{ x:\forall \: t\in T,x\in A_{t}\right \}$

Zapraszamy do zadań! tutaj